1.7.2. Трансверсали

Пусть дано множество мощности n и множество , элементы которого являются подмножествами множества S, т.е. . , . При этом допускается что при

Системой различных представителей (транверсалью) для совокупности множеств M(S) называется множество элементов мощности m из множества S и таких, что

1. ,

2. , при .

Критерием существования трансверсали для M(S) служит следующая теорема.

Теорема Холла. Совокупность множеств M(S) имеет трансверсаль тогда и только тогда, когда для любого k и любой k – выборки без повторений из множества индексов выполняется следующее неравенство

то есть число элементов объединения множеств не меньше k.

Если для некоторого подсемейства семейства M(S) имеет место равенство

то такое подсемейство называется критическим.

1.7.3. Пермамент матрицы

Рассматривается матрица A = (a_ij), , , .

Перманентом матрицы A называется число, определяемое следующим выражением

Где суммирование производится по всевозможным выборкам объема n из m различных элементов.

Рассмотрим примеры

1. 

2. 

3. 

Если m = n, то суммирование производится по всевозможным перестановкам элементов 1,2,…,n ; а пермамент матрицы А (perA) получается из определителя этой матрицы при условии, что все слагаемые соответствующей суммы берутся с положительными знаками.

Свойства перманентов.

1. Если строка матрицы A состоит полностью из нулей, то perA=0.

2. Перманент матрицы инвариантен относительно любой перестановки строк и столбцов.

3. При умножении какой-либо строки (или столбца) на скаляр , перманент матрицы умножается на .

4. Если A квадратная матрица, то per A^T = per A.

5. Если A_ij получена вычеркиванием из А i – строки и j–го столбца, - матрица, полученная из A заменой элемента a_ij на 0, тогда

6. Разложение перманента по i – строке.

Многие свойства перманента подобны свойствам определителя для квадратных матриц, однако свойство

,

вообще говоря, не верно для перманентов. Перманент в отличие от определителя в общем случае не равен 0 при наличии строк (столбцов), линейно выражающихся через другие строки (столбцы).

1.7.4. Число трансверсалей

Важнейшее применение перманентов определяется следующей теоремой.

Теорема. Пусть A = (a_ij), i = 1,2,..,n, j = 1,2,..,m, , есть матрица инцидентности множеств , являющихся подмножествами множества .

То есть

Тогда для числа трансверсалей семейства имеет место равенство

Трансверсаль семейства существует тогда и только тогда, когда для соответствующей матрицы инцидентности выполняется условие.

Пример 1. (задача о встречах). Требуется определить число трансверсалей семейства , где X_i = X\{i} и x = {1,2,..,n}. Эта задача имеет и другие разнообразные формулировки, но обычно называется задачей о встречах. В данном случае матрицы инцидентности , где - символ Кронекера.

Обозначим h_n = per(1-δ_ij) и разлагая перманент по первой строке, получим

,

Где матрица получается из матрицы заменой элемента a₁₁ на 1.

Разлагая perA′_n-1 по элементу a_11, получим

то есть получим рекуррентное соотношение

с начальными условиями h₀=1 и h₁=0

Перепишем рекуррентное соотношение в виде

h_n-nh_n-1=-(h_n-1-(n-1)h_n-2)=…=(-1)^k(h_n-k-(n-k)h_n-k-1)=…=(-1)ⁿ

Полагая , получим

Отсюда следует что

Таким образом, окончательный ответ

Пример 2.

Требуется найти число трансверсалей семейства (X_i , 1≤i≤n), где

X₁={1,2}, X₂={1,2,3}, X₃={2,3,4},…, X_n-1={n-2, n-1, n}, X_n={n-1, n}, являющихся подмножествами множества X={1,2,…,n}.

Решение.

Число трансверсалей

Разлагая этот перманент сначала по первой строке, а затем получившийся перманент разлагаем по первому столбцу, получаем рекуррентное соотношение

C_n=C_n-1+C_n-2

с начальным условием C₁=1, C₂=2

Полученные числа C_n являются числами Фибоначчи.