12. Комплексные числа. Теорема

БЕЗУ. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

И ее предел.

Комплексные числа и действия с ними

Алгебраическая форма z=a+b·i, b €R, i²= - 1, гдеa = Re z – действительная часть числа (вещественная), b = i m – мнимачасть числа z. Если a ≠ 0, b≠ 0, то z - мнимое число (z = 97-7 · i).

Если a = 0, b ≠ 0, то z - чисто мнимое число (z=55 · i).

Если a≠0, b=0,то z - действительное число (z=-4).

Для i выполнено: i¹ = i=> i^4п+1 = i, i²= -1=> i^4п+2= -1,i³= i²·

i=- i=> i^4п+3=- i, i⁴=( i²)²=1 => i^4п=1. Числа z=a+b·i и z=a-b·i – сопряженные; сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами (z+ =2а, z· =а²+ b²); z=a+b·i и -z=-a-b·i - противоположные. Сумма двух противоположных чисел равна 0(z+(- z)=0).

Для комплексных чисел, записанными в алгебраической форме справедливы все арифметические операции, как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i²=-1

Условие равенства комплексных чисел z₁=a₁+b₁·i и z₂=a₂+b₂·i, z₁= z₂ , если a₁ = a₂ и b₁ = b₂ .

Сумма комплексных чисел z₁=a₁+b₁·i и z₂=a₂+b₂·i равна: z₁+ z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)·i.

Разность комплексных чисел: z₁ - z₂= (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂) ·i

Произведение комплексных чисел равно: z₁·z₂ = (a₁ · a₂ – b₁ · b₂) + (a₁ · a₂ + b₁ · b₂).

Частное комплексных чисел равно:

Понятие о комплексной плоскости.

Комплексная плоскость С – плоскость с прямоугольной декартовой системой координат x, y, каждая точка которой

(x; y) отождествлена с комплексным числом z=x+yi. Поэтому на комплексной плоскости говорят о точках z или о векторах z, подразумевается вектор, приложенный в начале координат с концом в точке z. Ось абсцисс OX на комплексной плоскости называется действительной осью, а ось ординат OY – мнимой осью.

Геометрическая форма комплексного числа.

Комплексное число c=a+b·i изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (a; b). Эта точка обозначается той же буквой z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто – мнимые –точками оси ординат.

Рис. 12.1

Тригонометрическая форма комплексного числа.

z = r · (cos + i sin ), где r·cos =Re z; r·sin =Im z;

r = , cos = sin =

=Argz – главный аргумент комплексного числа z,- < .

Для комплексных чисел z₁=r₁·(cosφ₁+i·sinφ₁) и z₂=r₂·(cosφ₂+i·sinφ₂) справедливы равенства:

z₁·z₂=r₁·r₂· (cos (φ₁+ φ₂) +i· sin (φ₁+φ₂));

(cos (φ₁- φ₂) +i· sin (φ₁-φ₂)).

Для п-ой степени числа z справедливо равенство:

zⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i·sin(nφ)), n N.

При r=1 эта формула называется формулой Муавра:

(cosφ + i· sinφ)ⁿ=cos(nφ)+i·sin(nφ).

Корень п-ой степени:

, где κ = 0, 1, 2, …, n-1

Показательная форма комплексного числа.

z=r·e^i·φ. e^±i·φ=cos φ±i ·sin φ – формула Эйлера.

Для комплексных чисел , справедливы равенства:

; , где r₂>0.

Для n-ой степени числа z справедливо равенство: zⁿ=rⁿ·e^i·n·φ.

Корень n–ой степени из числа равен:

, κ=0,1,2,…,n-1

Пример . Найти все значения корня:

Решение: Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n разных значений, которые находятся по формуле:

; k=0, 1 ,…, n-1; z 0

Подставляя в эту формулу различные значения k, найдем все значения корня :

= , =

= - i, = -2 – i2

Ответ: =

Теорема Безу.

Теорема Безу. Основная теорема алгебры.

Многочленом п-й степени в комплексной области называется функция вида

где a_k,, k = 0,1,2,...,п - коэффициенты многочлена

( действительные или комплексные числа); z - комплексная переменная z = x + i y, x,y R.

Если a_k - действительные числа, многочлен называется многочленом в комплексной области с действительными коэффициентами. Область определения многочлена все комплексные числа, т.е. множество С. Любому числу z₀ C соответствует число P_n (z₀). Если P_n(z₀)=0, то z₀ называ­ется корнем или нулем многочлена P_n(z). Два многочлена называются равными и , если выполняется равенство a_k = b_k , к = 1,2,3,...,n.

Теорема 1 (Безу). Для того, чтобы многочлен P_n(z) имел комплексный корень z₀, необходимо и достаточно, чтобы он делился на двучлен z-z₀, т.е. чтобы справед­ливым было представление P_n(z) = (z-z₀) P_n (z) , где P_n-1(z) - многочлен степени п-1.

Необходимость. Пусть z₀ корень многочлена P_n(z), тогда P_n(z₀)=0. По фор­муле Тейлора для многочлена

P_n(z) = (z-z₀) P_n (z)

Достаточность Если для многочлена справедливо представление в виде: P_n(z) = (z-z₀) P_n (z) , то при z = z₀ многочлен P_n(z₀)=0, а это означает, что z₀ -корень уравнения.

Из теоремы Безу не следует существование корней. Вопрос о существовании корней многочлена решает следующая теорема .

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Любой многочлен P_n(z), n N, имеет по крайней мере один комплексный корень. Число z₀ называется простым корнем многочлена P_n(z), если этот многочлен делится на (z -z₀) и не делится на (z - z₀)² . Число z₀ называется k- кратным корнем многочлена P_n(z), если P_n(z) делится на (z-z₀)^k и не делится (z-z₀) ^k+1,т.е. P_n(z) представим в виде: P_n(z) = (z-z₀)^k P_{n - k} (z), где

P_{n -k} (z) не делится на (z-z₀).

Пример1. Показать, что z₁ =0, z₂ = -1 являются корнями многочлена P₃(z) - z³ + 2z² +z, и определить их кратность. При z₁=0 многочлен P₃ (z₁) = 0. Разделим P₃ (z) на z, получим P₂(z) = z² +2z + l, причем Р₂ (z₁) . Следовательно z₁ = 0 является простым (однократным) корнем многочлена P₃(z) = z³+2z²+z. При z₂ = -1 Р₃ (z₂) = -1 + 2 -1 = 0. Представим Р₃ (z) = z(z² + 2z +1) = z(z +1)². Отсю­да делаем вывод, что z₂ = -1 является корнем кратности два для многочлена P₃(z) = z³+2z²+z.

Следствие. Многочлен P_n(z) имеет п комплексных корней с учетом их кратно­сти, т.е.

,

где z_l,, z₂ , z₃,... ,z_s - различные корни P_n(z), a n_l, n₂,... ,n_s - их кратности, причем n₁+ n₂+...+n_s = п.

Многочлен с действительными коэффициентами. Разложение его на ли­нейные и квадратные множители.

Рассмотрим многочлен n – й степени

где a_k R,

k = 0,1,2,...,n; z С.

Для такого многочлена справедливы следующие две теоремы.

Теорема 3. Если многочлен P_n(z) с действительными коэффициентами, то

т.е. если Р_п (z) = А + i B, А,В R, то Р_п( ) = A- i B.

Для комплексных чисел справедливы следующие равенства

(доказываются непосредственной проверкой). Для действительных чисел . Следовательно,

Теорема 4. Если многочлен P_n (z) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z₀ = a + i b, то он имеет и сопряженный корень . Пусть z₀ = a + i b - корень многочлена P_n(z). Тогда P_n (z₀) = A + i B=0; А, В R. Комплексное число равно нулю, если равны нулю его действительная и мни­мые части, А =0, В =0.

Вычислим

Имеем , учитывая, что А =0, В = 0, корень многочлена P_n (z). Из теоремы 4 следует, что если многочлен с действительными коэффициента­ми P_n(z) имеет комплексные корни, то они входят в его разложение попарно сопря­женными.

Рассмотрим произведение линейных множителей для попарно сопряженных

Обозначим a²+b²=q, -2a=p, тогда (z-a-ib)(z-a+ib) =z²+pz+q, т.е. полу­чили квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Если число z₀ = а + i b является корнем кратности k многочлена P_n(z] с действи­тельными коэффициентами, то является многочленом той же кратности. Из всего сказанного следует, что многочлен с действительными коэффициен­тами P_n(z) разложим на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности :

Пример2. Разложить на множители следующие многочлены:

1) Р₃ (х) = х³-6х² +11x-6

Найдем подбором один корень среди делителей 6. Это х=1. Остальные два можно найти, решая квадратное уравнение х² +5х + 6=0, левая часть которого полу­чается после деления многочлена Р₃(х) = х³-6х² +11x- 6 на х - l. Таким образом по­лучаем еще два корня х₂=2, х₃=3. Тогда получим воспользовавшись формулами сокращенного умножения

Числовая последовательность и ее предел.

В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Часто, однако, приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить тождественные преобразования данного выражения, как говорят, раскрывать неопределенность.

Неопределенности бывают нескольких видов: , ,{ },{ },{ },{ },{ },{ }. В последующих заданиях рассмотрим основные приемы, которыми обычно пользуются при таких преобразованиях для вычисления заданного предела. Функция f(x) называется функцией натурального аргумента, если множество значений x , для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел: 1,2,3,..n. Например, f(n)=1+2+…+n=(n+1)n/2 - сумма n первых членов арифметической прогрессии.

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел a₁,a₂,…a_n, следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, по которому общий член a_n последовательности задается как функция натурального аргумента, т.е. f(n)= a_n ( индекс n обозначает номер переменной величины a_n , т.е. n –го члена последовательности). Число А называется пределом последовательности a_n , если для любого сколь угодно малого числа можно указать такой номер N , зависящий от , что для всех номеров n>N выполняется неравенство: _.

Пишут: ,или при , если для , что при : .

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность {a_n}, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае {a_n} будет расходящейся.

Пример 1. Вычислить

Решение. Выносим за скобки n в набольшей степени, т.е.

Число е и его применение.

Числом е называют предел

или , где =2,718.

Число e бывает полезным при раскрытии неопределенности вида . Приведенную выше форму называют вторым замечательным пределом. Заметим, что при существовании имеет место формула .

Пример 2. Вычислить

Решение. Здесь основание степени при , а показатель степени . Таким образом, имеет место неопределенность вида { }.

Разделив числитель и знаменатель на n³, получим

=

ибо , .

Ответ: e^-2.