- •Введение
- •Определители, матрицы. Системы линейных уравнений
- •2. Линейные пространства.
- •Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •9. Кривые второго порядка на плоскости
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.
- •12. Комплексные числа. Теорема
- •И ее предел.
- •13. Функция. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Производная функции и ее вычисление
- •16. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •17. Неопределенный интеграл
- •18. Определенный интеграл
- •19. Несобственные интегралы
- •20. Приложения определённого интеграла
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •21. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •22. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •23. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •2) Случай нескольких независимых переменных.
- •24. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •25. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •27. Дифференциальные уравнения
- •28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •29. ЧиСлоВые ряды
- •30. Функциональные ряды
- •31. Тригонометрические ряды Фурье
- •32. Интеграл Фурье
- •33. Двойной интеграл
- •34. Тройные интегралы
- •35. Криволинейные интегралы
- •36. Поверхностные интегралы
- •Поверхностные интегралы второго рода
- •Так же получены формулы:
- •37. Теория поля
- •Скалярные поля
- •Формула Остроградского на плоскости
- •Циркуляция вектора вдоль контура не зависит от выбора координатной системы.
- •38. Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •39. Функция комплексного переменного
- •40. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия коши — римана
- •41. Интегрирование функций комплексного переменного
- •42. Ряд лорана
- •43. Преобразование Лапласа
- •44. Задача коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- •Заключение
- •Библиографический список
- •35. Криволинейные интегралы ……………………………….302
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
27. Дифференциальные уравнения
Основные понятия
Дифференциальным уравнением называют уравнение типа
, (27.1)
где х - независимая переменная, -искомая функция, -ее производные. Решением дифференциального уравнения (27.1) называется такая функция , которая при подстановке ее и ее производных обращает равенство в (27.1) в тождество. Порядком дифференциального уравнения (27.1) называется наибольший порядок n входящей в него производной. Интегрированием дифференциального уравнение называется процесс нахождения его решения. Общим решением дифференциального уравнения (27.1) порядка n называется такое решение , которые являются функцией от независимой переменной х и от n произвольных независимых постоянных . Частным решением называется решение, полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных . Привести дифференциальное уравнение к квадратурам означает преобразовать это уравнение до вычисления интегралов (уравнение вычисляется в квадратурах).
Дифференциальное уравнение первого порядка
Разрешением относительно производной называется
дифференциальное уравнение первого порядка
которое можно записать в виде
. (27.2)
Уравнение с разделяющимися переменными.
Решение уравнений вида (27.2) сводится к нахождению
неопределенных интегралов, если функция двух переменных представима в виде произведения двух функций одной переменной .
Заменяя на , из (27.2) получаем
(27.3)
Уравнением с разделяющимися переменными называются уравнения вида (27.3). По-другому такие уравнения можно записать в виде
(27.4)
или
.
Интегрируя обе части последнего неравенства, получаем
.
Общим интегралом дифференциального уравнения называется его решение, которое находится в виде или .
Однородные уравнения и уравнения,
приводящие к однородным
Однородной функцией порядка называется функция , удовлетворяющая условию . Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение , где -однородная функция нулевого порядка. Заменой
(27.5)
Оно становится к уравнению с разделяющимися переменными. К однородным сводятся уравнения вида
(27.6)
С помощью замены
. (27.7)
Пример 1. Найти общий интеграл
,
Решение.
,
, , .
, , , , . .
, , , .
Делаем замену , , , ,
и , ,
, и т.е.
, ,
. Ответ:
Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение
. (27.8)
Для интегрирования этого уравнения сделаем замену
. (27.9)
Таким образом вместо одной независимой функции вводятся две. При этом появляется возможность выбрать одну из функций или исходя из соображений удобства. Подставим y и y’ в дифференциальное уравнение. Получим , или
.
Положим , тогда получим уравнение с
разделяющимися переменными .
Проинтегрировав это уравнение, найдем функцию . Подставив ее в уравнение, получим дифференциальное уравнение относительно функции , после интегрирования которого найдем искомую функцию .
Пример 2. Решить задачу Коши:
,
Решение.
= >
=>
Ответ:
Уравнение в полных дифференциалах.
Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение
, (27.10)
где левая часть представляет собой полный дифференциал
некоторой функции , т. е.
,
или
.
Из первого из этих уравнений находим
.
Можно доказать, что если выполнено условие
, (27.11)
то Pdx+Qdy=0 уравнение в полных дифференциалах.
Пример 3. Найти общий интеграл:
Решение.
,
данное уравнение в полных дифференциалах
.
,
, ,
Ответ:
Линейные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение вида
. (27.12)
Уравнение (27.12) называется однородным, еслиq(x)=0.
Решение уравнения (27.12) ищутся в виде произведения
двух неизвестных функций . Так как
, то из (12) следует, что
или
(27. 13)
Выберем функцию
такой, чтобы выполнялось равенство
. (27.14)
Это возможно сделать, решая уравнение (27.14) с разделяющимися переменными. После выбора функции уравнение (27.13) примет вид . Это уравнения является также решением уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим функцию .
Тогда функция будет решением уравнения (27.12). Таким образом, интегрирование линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида .
Разрешенным относительно старшей производной
называется уравнение .
Условиями Коши или начальными условиями для
уравнения n-го порядка называются соотношения
, (27.15)
где х0, у0, у’0,…,y0(n-1)-заданные числа. Задача нахождение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условием, называется задачей Коши. Некоторые уравнения высших порядков допускают понижение порядка. Для примера рассмотрим дифференциальные уравнения второго порядка:
б) .
В случае а замена , приводит к уравнению
первого порядка ; в случае б) замена
, .
Также имеем уравнение первого порядка .
Пример 4. Найти решение задачи Коши.
, , .
Решение.
, , .
, .
, . Пусть .
,
, , .
,
,
.
, , .
Ответ:
Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентам называется
уравнение вида
, (27.16)
где p, q- некоторые числа; r(x)-функция от х.
Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
называется уравнение (27.16), в котором правая часть
r(х) равна нулю:
. (27.17)
Общее решение уравнения (27.16) равно сумме какого
либо частного решения этого уравнения и общего
решения соответствующего однородного уравнения (27.17). Опишем сначала способ нахождения общего решения однородного уравнения (27.17).
Характеристическим уравнением для однородного
Уравнения (27.17) называется квадратное уравнение
(27.18)
Относительно неизвестной . В соответствии со знаком дискриминанта D=p2-4q возможны три случая:
D>0: характеристическое уравнение имеет два
различных корня и ;
D=0: характеристическое уравнение имеет один
корень ;
D<0: действительных корней характеристическое
Уравнение не имеет. В этом случае находятся числа
.
Найдем решение уравнения (27.17) для всех этих случает.
Если характеристическое уравнение (27.18) имеет
два различных корня , то общее решение уравнения (27.17) имеет вид
, (27.19)
где
С1,
С2—произвольные
постоянные.
Если характеристическое уравнение (27.18) имеет единственный корень , то общее решение уравнения (27.17) имеет вид
(27.20)
где
С1,
С2—произвольные
постоянные.
характеристическое уравнение (27.18) не имеет корней,
то общее решение уравнения (27.17) имеет вид
, (27.21)
где
С1,
С2—произвольные
постоянные.
.
Способы нахождения частных решений
неоднородного уравнения (27.16) зависят
от вида правой части и в явном виде
находятся только для функций f(x)
специального вида. Пусть f(x)
имеет вид
, (27.22)
где - некоторые числа, причем не равно нулю, Q(x), P(x)-многочлены от х. В этом случае частное решение уравнения (27.16) ищется в виде
, (27.23)
где U(x),V(x)-многочлены, степени которых равны наибольшей из степеней многочленов P(x) и Q(x). При этом показатель s выбирается по следующему правилу:
z=0, если
; (27.24)
z=1
(27.25)
Многочлены U(x) и V(x) указанной степени в формуле (27.23) записываются в общем виде с произвольными коэффициентами. Затем находится производные y’ и y’’ функции (27.23). После подстановки y, y’ и y’’ в уравнение (27.16) получается линейная система уравнений для определения коэффициентов многочленов U(x) и V(x). Пусть правая часть уравнения (27.16) имеет вид
, (27.26)
где -некоторое число, Р(х)- многочлен от х (этот случай получается из (27.22) при =0).Частное решение уравнения (27.16) ищется в виде
, (27.27)
где U(x)-многочлен с неопределенными коэффициентами,
степень которого равна степени многочлена Р(х). При этом
показатель z выбирается по следующему правилу:
Z=0, если
(27.28)
Z=1
(27.29)
Z=2
(27.30)
Пример 5 . Найти общее решение уравнения:
Решение.
Найдем общее решение однородного уравнения
Составим и решим характеристическое уравнение
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
Общее решение данного уравнения
Ответ:
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
с постоянными коэффициентами
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
с постоянными коэффициентами решаются также, как и уравнения 2-го, но с учетом порядка уравнения (см. пример 6)
Пример 6 . Найти общее решение уравнения:
Решение.
, - характеристическое ур-е,
, , - общее решение однородного уравнения
, , ,
,
,
,
, ,
Ответ:
Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с переменными коэффициентами.
Уравнение
(27.31)
Представляет собой общий вид дифференциального уравнения второго порядка с правой частью f(x). Здесь -некоторые непрерывные функции.
Уравнение (27.31) называется однородным, если f(x)=0.
Задачей Коши называется задача решения уравнения (27.31) при заданных начальных условиях . Линейными независимыми решениями однородного уравнения
называется решение , , для которого
определитель Вронского (вронскиан)
, (27.32)
И линейно зависимыми, если для некоторых х. Известно, что всякое линейное уравнение однородное уравнение
, (27.33)
где и - непрерывные функции, имеет два линейно
независимых решения. Фундаментальной системой решений называется система двух линейно независимых функций и , являющихся решениями однородного уравнения (27.33). Для решений уравнений вида (27.31) применяется метод вариации произвольных постоянных, который заключатся в том, что общее решения уравнения (27.31) ищется в виде
, (27.34)
где и -функции, которые определяются из
системы уравнений
. (27.35)
Из системы (27.35) находится
, (27.36)
Тогда
(27.37)