4.3.Уравнение Шрёдингера для плоской волны

Попытаемся описать процесс распространения плоской волны с помощью квантовой механики. В квантовой механике физическим величинам соответствуют операторы, которые действуют на волновую функцию. Запишем уравнение (4.16) в терминах квантовой механики [24]

(4.18) Волновую функцию в (4.18) выбираем в виде волны де Бройля, у которой и совпадают с и для данной плоской волны той или иной природы (упругой или электромагнитной)

(4.19)

где - некоторая постоянная, которая определяется из условия нормировки волновой функции. Нетрудно убедиться, что волновая функция (4.19) удовлетворяет уравнению (4.18), если операторы в (4.18) имеют следующий вид

, (4.20) Подставляя эти операторы в уравнение (4.18), получим

. (4.21)

Это и есть уравнение Шрёдингера для любой плоской волны независимо от её природы. Сравнивая (4.21) с (4.6) видим, что уравнение Шрёдингера для плоской волны можно записать компактно ещё так

(4.22)

4.4. Статистическая интерпретация волновой функции для плоской волны

Отметим, что координаты , , в волновой функции есть координаты точки , находящейся на волновой поверхности (уравнение (4.10)). По аналогии с статистической интерпретацией волновой функции для частицы [17] дадим статистическую интерпретацию волновой функции для плоской волны. А именно, будем считать, что плотность вероятности обнаружить волновую поверхность плоской волны (плоскость в (4.10)) в данной точке пространства и в данный момент времени , равна [24]

(4.23) Поскольку вероятность нахождения фронта плоской волны во всей области существования её (куба периодичности)

(4.24) должна быть равна 1 , то условие нормировки волновой функции запишется так

(4.25) Подставляя (4.19) в (4.25), получим

= (4.26) Таким образом, нормированная волновая функция имеет следующий вид

(4.27)

4.5. Квантовое пространство волновых векторов плоской волны

Как и в части 3 наложим на волновую функцию периодические граничные условия

(4.28) Согласно формулы Эйлера [10] волновую функцию (4.28) можно представить так

(4.29) С учётом (4.29) граничные условия в (4.28) приводят к следующим уравнениям

(4.30) где , , - квантовые числа, причём,

(4.31) Введём систему прямоугольных координат , по осям которой будем откладывать дискретные значения , , . Получим также дискретное пространство, точки которого представляют собой концы волновых векторов, выходящих из начала координат . Назовём это дискретное трёхмерное пространство квантовым пространством волновых векторов , так как последнее получено из квантовых представлений о плоской волне. Выберем в этом квантовом пространстве волновых векторов прямоугольный параллелепипед в начале координат со сторонами , , , лежащими соответственно на осях , , в их положительных направлениях. Очевидно, что его объём

(2π (4.32) Откуда

(4.33) Следует отметить, что понятия состояния частицы, плоской волны и соответствующей ей квазичастицы можно ввести только после квантово- механического описания этих объектов. Именно поэтому для них и были записаны уравнения Шрёдингера в (3.1), (4.21), (4.63).