6.12. Нахождение плотности внутренней энергии вырожденного идеального фононного газа

Для закрытых систем [8] имеем

(6.53) Аналогией этого уравнения для открытых систем будет уравнение

(6.54)

Подставляя в (6.54) значения и , получим плотность внутренней энергии вырожденного идеального фононного газа

(6.55)

6.13. Нахождение плотности теплоёмкости вырожденного идеального фононного газа

Плотность теплоёмкости вырожденного идеального фононного газа можно найти, используя её определение (1.17) или связь её с равновесным давлением (1.18). Получим

(6.56) Из (6.56) следует, что ниже температуры вырождения плотность теплоёмкости вырожденного идеального фононного газа, а, следовательно, и плотность теплоёмкости твёрдых тел оказывается пропорциональной абсолютной температуре в третьей степени.

6.14. Уравнение состояния невырожденного идеального фононного газа при высоких температурах

При температуре идеальный фононный газ представляет собой уже закрытую термодинамическую систему (систему с постоянным числом частиц ). Под высокими температурами мы будем понимать такие температуры, при которых , где – температура вырождения идеального фононного газа. В этом случае химический потенциал фононов становится очень большой отрицательной величиной. Учитывая, что в этом случае

[( – μ ( (6.57) можно переписать систему уравнений (6.34) – (6.36) так

[(μ – β n )( (6.58)

[(μ – β n )( (6.59)

T [( μ – β n) ( . (6.60) В выражении (6.60) использовалось разложение в ряд при малых значениях

[(μ – β n )( (6.61) Нетрудно видеть, что в (6.58) – (6.60) сделан переход от статистики Бозе-Эйнштейна к статистике Максвелла-Больцмана. Разделив уравнения (6.60) и (6.58) друг на друга, получим

уравнение состояния идеального газа (1.2). Таким образом, идеальный фононный газ при высоких температурах подчиняется уравнению Клапейрона-Менделеева.