12.9. Физический смысл температуры вырождения идеального фононного газа в случае квазиквантового приближения
Из (12.4) при
следует, что
,
т.е. все фононы, имеющие нулевые энергии
трёхмерных осцилляторов, переходят в
состояние упругих волн. Отсюда и вытекает
физический смысл температуры вырождения идеального фононного газа в случае рассмотрения его в квазиквантовом приближении: это температура, при которой не существует ни одного фонона в состояниях трёхмерных осцилляторов с нулевыми энергиями.
12.10. Замечание о химических потенциалах фононов вырожденного идеального фононного газа
Компонент вырожденного идеального
фононного газа, состоящий из плоских
упругих волн имеет, как показано выше,
химический потенциал этих фононов
.
Согласно [1] он представляет собой
открытую систему. Химический потенциал
фононов, образующих другой компонент
(«конденсат») уже не может быть равен
нулю. Действительно, из определения
химического потенциала следует, что
(12.5)
Здесь
,
,
- соответственно внутренняя энергия,
объём и энтропия, приходящиеся на один
фонон. Так как
,
,
то
(12.6)
Из
(12.6) следует, что
только в случае квазиклассического
приближения
В случае квазиквантового приближения
и, следовательно,
.
Итак, для фононов, состоящих из трёхмерных
осцилляторов с нулевой энергией,
химический потенциал
,
а «конденсат» вырожденного идеального
фононного газа представляет собой
согласно [1] уже закрытую систему.
12.11. Определение внутренней энергии «конденсата»
Пусть фононов оказались на своих самых нижних уровнях с нулевой энергией. Тогда согласно (6.31) имеем
. (12.7)
Из (12.7) находим
(12.8)
Внутренняя энергия фононов
(12.9)
Подставляя в (12.9) значение из (12.8), получим
(12.10)
В частности, если все фононов находятся при абсолютном нуле – полное вырождение фононного газа (твёрдого тела), то мы имеем
(12.11)
12.12. Уравнение состояния «конденсата»
Воспользуемся соотношением
. (12.12)
Здесь
учтено, что при абсолютном нуле
.
Подставляя в это уравнение выражение
из (12.10), получим
(12.13)
Уравнение (12.13) есть уравнение состояния «конденсата» идеального фононного газа при частичной в нём конденсации Бозе-Эйнштейна (уравнение состояния для фононов). В случае полного вырождения идеального фононного газа (полного вырождения твёрдого тела) в (12.13) необходимо заменить величину на (число фононов в невырожденном фононном газе или невырожденном твёрдом теле).