3.9. Одномерные квантовые фазовые пространствa частицы

Выберем теперь, не связанные друг с другом оси , , . Будем откладывать на них от начала в положительных направлениях этих осей соответственно величины из (3.40), (3.41), (3.42). Нетрудно видеть, что множество точек на этих осях представляют собой одномерные квантовые фазовые пространства , так как размерность величин, откладываемых по осям равна размерности постоянной Планка. Одномерные квантовые пространства соответствуют трём независимым одномерным движениям частицы по осям , , . Рассмотрим одномерное квантовое фазовое пространство . Расстояние между точками и есть отрезок , который представляет собой квантовый фазовый «объём» в одномерном фазовом пространстве . Причём, очевидно, что

(3.53)

Из (3.53) видно, что минимальный квантовый «объём» в одномерном квантовом фазовом пространстве равен , так как минимальное значение квантового числа равно 1. Тогда из (3.53) и (3.19) следует, что

(3.54)

3.10. Трёхмерное пространство квантовых состояний частицы

Пусть движение частицы происходит в трёхмерном пространстве. Выберем в этом пространстве прямоугольную систему координат , по осям которой будем откладывать соответственно величины из дискретных множеств в (3.40), (3.41), (3.42) . Тогда мы получим дискретное пространство, точки которого находятся в узлах кубической решётки с периодом равным 1. Это трёхмерное дискретное пространство назовём трёхмерным пространством квантовых состояний частицы при её движении в трёхмерном пространстве. Точки этого пространства определяют именно ту волновую функцию которая и описывает квантовое состояние частицы при её движении в трёхмерном пространстве. Выделим в этом пространстве квантовых состояний частицы параллелепипед в начале координат со сторонами , , , расположенными соответственно по осям , , . Очевидно, что его объём

(3.55) равен числу возможных квантовых состояний частицы.

3.11. Трёхмерное квантовое фазовое пространство частицы

Пусть движение частицы происходит в трёхмерном пространстве. Выберем в этом пространстве прямоугольную систему координат , по осям которой отложим соответственно величины из множеств (3.40), (3.41), (3.42). Точки этого дискретного пространства находятся в узлах кубической решётки с периодом равным . Это трёхмерное дискретное пространство назовём квантовым фазовым пространством частицы, движущейся в трёхмерном пространстве. Рассмотрим в этом квантовом фазовом пространстве параллелепипед в начале координат , стороны которого расположены по осям , , и равны соответственно , , . Объём этого параллелепипеда (квантовый фазовый объём)

(3.56) Из (3.56) следует, что минимальный фазовый объём равен , так как минимальные квантовые числа . Из (3.56) также следует, что на каждую точку в трёхмерном квантовом фазовом пространстве приходится объём равный . Из (3.56) и (3.54) видно, что число возможных квантовых состояний частицы

(3.57) где .