3. Методика проектирования цифровых ких-фильтров

3.1. Основные свойства и понятия модулярной арифметики

Рассмотрим более подробно принципы пред­ставления целых чисел в модулярной арифметике. Положим, положительное целое число А лежит в диапазоне 0 £ А < N и пусть {m1, m2, ..., mp } явля­ется базисом из попарно взаимно простых моду­лей. При этом произведение модулей М должно перекрывать диапазон представления числа A, т.е.

- это область чисел, над которыми можно выполнять операции модулярной арифметики. В этом случае целое число А одно­значно представляется соответствующим набором вычетов /10/:

где для i=1,2,…,p.

Восстановление числа А по его модулярному представлению основано на фундаментальном по­ложении, лежащем в основе модулярного пред­ставления чисел — "Китайской теореме об остат­ках" /10/, и определяется по формуле где определяется из условия .

Арифметические операции сложения, вычита­ния и умножения могут быть легко выполнены, если их результаты заключены между 0 и произве­дением модулей М. В этом случае для двух опе­рандов А и В, представленных соответствующими наборами вычетов { , ,..., } и { ), обозначив символом "0" любую из операций сло­жения, вычитания и умножения, получим

,

где

Таким образом, можно выделить два основных преимущества модулярного представления:

• арифметические операции сложения, вычита­ния и умножения выполняются без переносов в отличие от обычного позиционного пред­ставления чисел;

• для каждого значения модуля mi арифметиче­ские операции выполняются с парой соответ­ствующих вычетов параллельно, при этом вы­четы имеют гораздо меньшую разрядность, чем исходные операнды А и В.

Стоит упомянуть о недостатках, присущих мо­дулярному представлению. Основной проблемой является сложность выполнения операций деле­ния. Также затруднительно проверить, является ли одно представление { } большим, чем { }. Несмотря на указанные недостатки, модулярная арифметика может быть эффективно использована в приложениях, где основная доля вычисления приходится на операции умножения в сочетании со сложением и вычитанием.

3.2. Структура устройств цифровой обработки сигналов в модулярной арифметике

Одной из широко распространенных операций в цифровой обработке сигналов (ЦОС) является вычисление скалярных произведений /11/:

(3.1)

А рифметические операции, подобные выпол­ненным в формуле (3.1), используются в цифровой фильтрации, при вычислении линейных сверток, в устройствах обработки сигналов и изображений и т. п. Данные вычисления включают операции умножения и сложения, поэтому любое представ­ление чисел, обеспечивающее их более быструю реализацию, вызывает повышенный интерес разра­ботчиков. Как уже упоминалось, модулярное пред­ставление целых чисел является одним из возмож­ных способов построения высокопроизводительных систем, функционирующих в реальном времени. Модулярные принципы могут быть использованы при создании цифровых фильтров /12—14/, вы­числении сверток /15/, в Фурье-преобразованиях /16, 17/. При этом устройства, разработанные на основе указанных принципов, обладают не только более высоким быстродействием, но и зачастую имеют меньшие аппаратные затраты /18/ и по­требляют меньшую мощность /19/. (3.2)

Обобщенная структура устройств цифровой обработки сигналов в модулярной арифметике представлена на рис. 3.1. На входе данные Х(n) преобразовываются в модулярное представление в базисе модулей {m₁, m₂, ..., m_p }, после чего вы­полняются независимые вычисления для каждо­го модуля m_i. На выходе происходит обратное преобразование в позиционную систему счисле­ния. Для корректного функционирования систе­мы необходимо, чтобы для выбранного набора модулей {m₁, m₂, ..., m_p }, выполнялось условие

Рассмотрим более детально внутреннюю струк­туру отдельного канала по модулю /и,- на примере цифрового фильтра с конечной импульсной ха­рактеристикой (рис. 3.2.). Данная структура подобна функциональной схеме фильтра, реализованного в обычной позиционной системе счисления, од­нако арифметические операции уже выполняются с

Рис. 3.1. Общая структура устройств цифровой обработки сигналов в модулярной арифметике

модулярными представлениями входного сигна­ла Х(п) и коэффициентов фильтра А_п. Операции позиционного умножения и сложения также заме­няются операциями модулярного умножения и сложения.

Необходимо отметить, что структура, изобра­женная на рис. 3.1, имеет ряд неоспоримых преиму­ществ при ее реализации в интегральном испол­нении. Проанализируем их подробнее.

Во-первых, независимость каждого канала по отдельному модулю обеспечивает значительную гибкость при планировке и топологическом про­ектировании кристалла.

Рис. 3.2. Структура отдельного канала по модулю т-₁ фильтра с конечной импульсной характеристикой, реализованного в мо­дулярной арифметике

Во-вторых, реализация таких устройств на ос­нове ПЛИС, обладающих меньшими вентильны­ми ресурсами, может быть легко перепланирована и размещена в несколько кристаллов.

В-третьих, трассировочные межсоединения распространяются только внутри отдельного ка­нала, что исключает наличие длинных трасс и, как следствие, обеспечивает некоторое уменьшение потребляемой мощности и уменьшение задержек по критическим путям.

В-четвертых, отсутствие специальных требова­ний по синхронизации между отдельными кана­лами (за исключением синхронизации на входе и выходе) значительно облегчает трассировку цепей тактовых частот, которые будут иметь меньшую расфазировку. А это, в свою очередь, приводит к уменьшению пиковых выбросов по цепям синхро­низации.

В-пятых, при необходимости введение допол­нительных избыточных каналов обеспечивает воз­можность построения отказоустойчивых систем.

Таким образом, при анализе устройств на основе модулярного представления и обычного позицион­ного нельзя ограничиваться только сравнением по быстродействию и занимаемой площади. Необхо­димо также учитывать приведенные факторы, так как они очень важны при разработке высокопро­изводительных систем, функционирующих в реальном времени.