1. Проблемы проектрования фильтров с конечной импульсной характеристикой

1.1. Фильтры с конечной импульсной характеристикой

Под цифровым фильтром понимают дискретную систему, описываемую следующим уравнением:

, (1.1)

где N, M – постоянные вещественные числа, b_k – вещественные или комплексные коэффициенты, не зависящие от входного и выходного сигналов, и реализованную программным путём на цифровой ЭВМ (такая ЭВМ может быть специализированной, учитывающей особенности алгоритма цифрового фильтра) или аппаратным путём, в виде специализированного цифрового вычислительного устройства; последнее представляет собой совокупность ряда операционных устройств – регистров, сумматоров, умножителей, устройств управления.

Фильтры описываемые уравнением (1.1) называются рекурсивными.

В частном случае, при из (1.1) получаем:

, (1.2)

то есть в этом случае значения выходной последовательности в любой момент nT определяется лишь значениями входной последовательности в этот же момент и N-1 «прошлыми» значениями входной последовательности. Фильтры, описываемые уравнением (1.2) называются нерекурсивными.

Передаточной функцией линейной дискретной системы фильтра называют отношение:

, (1.3)

где X(z) – Z-изображение входной последовательности x(nT) системы,

Y(z)-Z-изображение выходной последовательности y(nT) системы при начальных нулевых условиях.

Важнейшей временной характеристикой линейной дискретной системы является импульсная характеристика, под которой понимают реакцию системы h(nT) на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ) – КИХ-фильтром – называют фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой конечный дискретный сигнал (N-точечный дискретный сигнал), то есть может принимать отличный от нуля значения лишь при

При проектировании цифровых фильтров используются реализационные критерии, определяющие реализационные характеристики, и критерии качества цифровой обработки сигналов, определяющие характеристики фильтра, влияющие на качество обработки.

Реализационные критерии определяют требования к элементам аппаратной или программной реализации фильтра: число операций сложения и (или) умножения, число ячеек оперативной или постоянной памяти и т.д.

Критерии качества обработки определяют требования к основным характеристикам фильтра, влияющим на качество обработки.

При задании требований к характеристикам фильтра, определяющим качество обработки, часто ограничиваются заданием требований к АЧХ и ФЧХ фильтра: низкий уровень боковых лепестков и малую неравномерность в полосе пропускания, линейность фазовой характеристики, отсутствие её искажений.

В большинстве приложений используются нерекурсивные фильтры с точно линейной фчх. Для такого фильтра передаточная функция имеет вид:

(1.4)

с учётом принятой нормировки частоты

Если выполняется условие

, (1.5)

то аргумент (ФЧХ) характеристики будет

.

Таким образом, ФЧХ нерекурсивного фильтра с симметричными коэффициентами будет строго линейной, и, следовательно, ГВЗ такого фильтра постоянно.

Существует четыре вида фильтров с точно линейной фазо-частотной характеристикой и передаточной функцией (1.4):

• фильтр вида 1: N – нечётное, (симметричные коэффициенты);

• фильтр вида 2: N – чётное, (симметричные коэффициенты);

• фильтр вида 3: N – нечётное, (антисимметричные коэффициенты);

• фильтр вида 3: N – чётное, (антисимметричные коэффициенты).

Для фильтра вида 1 справедливы соотношения:

где

Для фильтра вида 2 справедливы соотношения:

где

Для фильтра вида 3 справедливы соотношения:

где

Для фильтра вида 4 справедливы соотношения:

где

Фильтры всех четырёх видов реализуют с учётом симметричности или антисимметричности коэффициентов. При этом нерекурсивные фильтры могут быть реализованы в различных формах. Прямая форма (рис. 1.1) соответствует непосредственной реализации фильтра согласно (1.4). Прямая форма содержит N-1 элементов задержки, N умножителей и сумматор на N входов. Эту форму называют также трансверсальным фильтром, или фильтром с многоотводной линией задержки.

Рис. 1.1. Прямая форма реализации нерекурсивного фильтра

Каскадная (последовательная) форма структурной схемы нерекурсивного фильтра соответствует представлению передаточной функции (1.4) в виде произведения:

,

где , или .

На рисунке 1.2 показана каскадная форма структурной схемы нерекурсивного фильтра.

Рис. 1.2. Каскадная форма реализации нерекурсивного фильтра

Для реализации фильтров необходимы устройства, выполняющие три операции: задержку (запоминание) отсчётов сигналов, сложение и умножение – и соединяющие эти устройства линии передачи сигналов.

При этом следующие характеристики фильтров определяют сложность аппаратурной реализации, и моделирования фильтра в реальном масштабе времени:

L₀ – число ячеек (регистров) оперативной памяти, необходимое для реализации фильтра;

L_п – число ячеек постоянной памяти, необходимое для реализации фильтра;

V_y – число операций умножения, которые должны быть выполнены в фильтре за время Т для получения одного отсчёта выходного сигнала;

V_c – число операций алгебраического сложения двух слагаемых, которые должны быть выполнены в фильтре за время Т для получения одного отсчёта выходного сигнала.

Указанные величины могут быть определены по структурной схеме фильтра:

L₀ равно числу элементов задержки; L_п – числу различных постоянных множителей, выписанных около обозначений множительных устройств; V_y – числу множительных устройств; V_c – суммарному числу входов сумматоров.

Так, для нерекурсивного фильтра вида 1 реализационные характеристики имеют значения:

.

1.1.1. Фильтры с дискретными коэффициентами

Рассмотрим теперь различные способы реализации КИХ-фильтров без умножителей с дискретными коэффициентами.

Как уже было отмечено выше, особенностью современных ЦПОС является программная реализация операции умножения, выполнение которой поглощает большую часть его временных ресурсов. По этой причине при проектировании различных устройств цифровой обработки сигналов (в частности цифровых фильтров) основные усилия должны быть направлены на повышение производительности устройства.

Применительно к КИХ-фильтрам одним из наиболее эффективных способов решения указанной задачи является синтез передаточных функций с коэффициентами специального вида, конструкция которых облегчает выполнение операции умножения.

К конструкциям подобного вида отнесём следующие:

Коэффициенты типа , i – целое, такие коэффициенты называются дискретными, умножение на дискретный коэффициент сводится к тривиальной операции сдвига;

коэффициенты, имеющие две единицы при каноническом знакоразрядном представлении, что достигается специальным группированием нулей и единиц при прямом двоичном кодировании

(1.6)

где , - номера старшего и младшего разрядов в группе единиц; t – длина слова коэффициентов, при знакоразрядном представлении конструкция коэффициентов типа (1.31) позволяет заменить умножение на коэффициент, содержащий группу единиц в разрядах, двумя умножениями на и , последнее же достигается двумя сдвигами и одним сложением.

Если отсчёты сигналов ЦФ представлены в дополнительном коде, то умножение на достигается простым сдвигом кода на i разрядов в сторону младших разрядов, причём в освободившиеся разряды записывается значение старшего (знакового) разряда. Если коэффициенты ЦФ постоянны, то последовательность этих сложений можно определить непосредственно схемой ЦФ. На рис. 1.3 для примера изображена схема такого ЦФ второго порядка, алгоритм работы которого описывается разностными уравнениями

(1.7)

,

где коэффициенты ЦФ записаны в знако-разрядном коде и в разряде i соответствует своему весу минус , а X,Y,Z - отсчёты сигналов ЦФ для моментов времени n, n-1 и n-2.

В состав схемы предлагаемого на рис. 1.3 ЦФ входят регистры, многовходовые сумматоры, ниверторы знака чисел и сдвигатели (умножители на ), соединения которых жёстко определяются видом реализуемого алгоритма. Многовходовые сумматоры можно построить на основе обычных двухвходовых

Рис. 1.3.

сумматоров, причем их число равно p-1, где р – число входов многовходового сумматора. Инверторы знака чисел на выходе некоторых сдвигателей служат для умножения отсчётов на минус 1.

Для уменьшения числа входов сумматоров (или иными словами, сокращения числа сложений) коэффициенты ЦФ необходимо преобразовать к такому виду, чтобы минимизировать число единичных элементов в двоичном коде коэффициента. Например, преобразуя коэффициент 0.1111 в 1.000 , можно перейти от четырёхвходового сумматора к двухвходовому. В ряде случаев сокращение числа сдвигателей также ведёт к упрощению схемы ЦФ. Для этого в коэффициентах при одинаковых отсчётах сигналов обеспечивается максимальное совпадение единичных элементов в соответствующих разрядах при сохранении общего числа

Рис. 1.4.