Задача 13. Построение линейного уравнения тренда

Постройте линейное уравнение тренда с помощью МНК двумя способами и нанесите линию тренда на график исходного ряда динамики.

Методика решения

Уравнение тренда строят методами регрессионного анализа. Линейный тренд описывается с помощью линейного уравнения относительно времени:

.

Оценка параметров уравнения тренда производится по методу наименьших квадратов (МНК). Для линейного тренда система нормальных уравнений следующая:

в которой при машинной обработке t обычно обозначается 1, 2,..., п.

При ручном способе счета t берется как отклонение от центра (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…), т. е. , что очень удобно, ибо упрощается система нормальных уравнений. От того, как обозначен фактор времени t, зависит изменение значения параметра а.

Пример. Рассмотрим построение линейного тренда на следующем примере о дебиторской задолженности за 9 месяцев 2006 г. (табл. 14).

,

а = 410,12; b = -6,63(3);

y = 410,12 – 6,63t при t = {1, 2, …, 9}.

Таблица 14

Расчет параметров линейного тренда (тыс. руб.)

Месяцы	y	t		y t			y
Январь	387,6	1	1	387,6	-4	16	-1550,4	403,5
Февраль	399,9	2	4	799,8	-3	9	-1199,7	396,9
Март	404,0	3	9	1212,0	-2	4	-808,0	390,2
Апрель	383,1	4	16	1532,4	-1	1	-383,1	383,6
Май	376,9	5	25	1884,5	0	0	0	376,9
Июнь	377,7	6	36	2266,2	1	1	377,7	370,3
Июль	358,1	7	49	2506,7	2	4	716,2	363,7
Август	371,9	8	64	2975,2	3	9	1115, 7	357,1
Сентябрь	333,4	9	81	3000,6	4	16	1333,6	350,4
Итого	3392,6	45	285	16,565	0	60	-398	3392,6

Как видим, за 9 месяцев 2006 г. дебиторская ежемесячно снижалась в среднем на 6,63 тыс. руб., а расчетное значение задолженности за декабрь 2005 г. (т.е. при t = 0) составило 410,12 млн. руб. Соответственно точечный прогноз на октябрь составит

= 410,12 - 6,63 · 10 = 343,8 млн руб.

Фактически за октябрь дебиторская задолженность составила 344,7 млн. Ошибка прогноза 0,3 %.

Ту же величину прогноза получим, построив уравнение тренда с использованием в качестве обозначения дат отклонение от середины периода ( ). Так как , система нормальных уравнений примет вид

Откуда

и .

В нашем примере имеем

= 3392,6 / 9 = 376,9(5).

Следовательно, а = 376,96, а параметр b = -398/60 =-6,63.

Соответственно уравнение окажется следующего вида:

.

В данном уравнении изменилось лишь значение параметра а, который теперь фиксирует расчетное значение просроченной задолженности за май 2006 г., когда = 0. В предыдущем варианте уравнения на расчетное значение за май составит: .

ту же величину, что и параметр а во втором варианте уравнения тренда.

Прогноз на октябрь по уравнению производим так же, подставив в него очередное по порядку значение = 5, т. е. = 376,96 - 6,63 · 5 = 343,8.

В рассмотренном примере динамический ряд включал нечетное число уровней (9). При четном числе уровней в ряду динамики центральными являются два уровня и за ноль для принимается середина между ними. Соответственно предыдущие временные даты принимают значения: -0,5; -1,5; -2,5 и т. д., а последующие: 0,5; 1,5; 2,5 и т.д. Чтобы не работать с дробными значениями , их можно удвоить, т.е. использовать величины: -1, -3, -5 ... и 1, 3, 5, ... Однако в этом случае параметр b будет характеризовать лишь половину среднего абсолютного прироста и не совпадет с его величиной при обозначении дат 1, 2, 3, ...