
- •Оглавление
- •Рекомендовано редакционно-издательским советом 1
- •Введение 4
- •Исходные данные 5
- •Контрольные вопросы 85
- •Приложения 90 введение
- •Исходные данные
- •Задание и методика решения
- •Задача 1. Вычисление показателей вариации
- •Задача 2. Построение ряда распределения
- •Задача 3. Расчет параметров ряда распределения
- •Задача 4. Аналитическая группировка
- •Задача 5. Построение корреляционного поля
- •Задача 6. Построение уравнения регрессии
- •Задача 7. Вычисление линейных коэффициентов корреляции
- •Задача 8. Проверка существенности коэффициентов корреляции
- •Задача 9. Вычисление параметров теоретического уравнения регрессии
- •Задача 10. Нахождение средней и предельной ошибки выборки
- •Задача 11. Сглаживание ряда динамики
- •Задача 12. Вычисление показателей ряда динамики
- •Задача 13. Построение линейного уравнения тренда
- •Задача 14. Расчет индивидуальных индексов
- •Задача 15. Структура капитальных вложений
- •Задача 16. Статистика рабочего времени
- •Задача 17. Индексный анализ производственных факторов
- •Задача 18. Статистическое изучение зарплаты
- •Задача 19. Статистика производительности труда
- •Задача 20. Статистика основных фондов
- •Задача 21. Статистика использования оборотных средств
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Приложения
- •Пример исходных данных
- •394006 Воронеж, 20 лет Октября, 84
Задача 13. Построение линейного уравнения тренда
Постройте линейное уравнение тренда с помощью МНК двумя способами и нанесите линию тренда на график исходного ряда динамики.
Методика решения
Уравнение тренда строят методами регрессионного анализа. Линейный тренд описывается с помощью линейного уравнения относительно времени:
.
Оценка параметров уравнения тренда производится по методу наименьших квадратов (МНК). Для линейного тренда система нормальных уравнений следующая:
в которой при машинной обработке t обычно обозначается 1, 2,..., п.
При
ручном способе счета t
берется как отклонение от центра (…,
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…), т. е.
,
что очень удобно, ибо упрощается система
нормальных уравнений. От того, как
обозначен фактор времени t,
зависит изменение значения параметра
а.
Пример. Рассмотрим построение линейного тренда на следующем примере о дебиторской задолженности за 9 месяцев 2006 г. (табл. 14).
,
а = 410,12; b = -6,63(3);
y = 410,12 – 6,63t при t = {1, 2, …, 9}.
Таблица 14
Расчет параметров линейного тренда (тыс. руб.)
Месяцы |
y |
t |
|
y t |
|
|
y |
|
Январь |
387,6 |
1 |
1 |
387,6 |
-4 |
16 |
-1550,4 |
403,5 |
Февраль |
399,9 |
2 |
4 |
799,8 |
-3 |
9 |
-1199,7 |
396,9 |
Март |
404,0 |
3 |
9 |
1212,0 |
-2 |
4 |
-808,0 |
390,2 |
Апрель |
383,1 |
4 |
16 |
1532,4 |
-1 |
1 |
-383,1 |
383,6 |
Май |
376,9 |
5 |
25 |
1884,5 |
0 |
0 |
0 |
376,9 |
Июнь |
377,7 |
6 |
36 |
2266,2 |
1 |
1 |
377,7 |
370,3 |
Июль |
358,1 |
7 |
49 |
2506,7 |
2 |
4 |
716,2 |
363,7 |
Август |
371,9 |
8 |
64 |
2975,2 |
3 |
9 |
1115, 7 |
357,1 |
Сентябрь |
333,4 |
9 |
81 |
3000,6 |
4 |
16 |
1333,6 |
350,4 |
Итого |
3392,6 |
45 |
285 |
16,565 |
0 |
60 |
-398 |
3392,6 |
Как видим, за 9 месяцев 2006 г. дебиторская ежемесячно снижалась в среднем на 6,63 тыс. руб., а расчетное значение задолженности за декабрь 2005 г. (т.е. при t = 0) составило 410,12 млн. руб. Соответственно точечный прогноз на октябрь составит
=
410,12 - 6,63 · 10 = 343,8 млн руб.
Фактически за октябрь дебиторская задолженность составила 344,7 млн. Ошибка прогноза 0,3 %.
Ту же
величину прогноза получим, построив
уравнение тренда с использованием в
качестве обозначения дат отклонение
от середины периода (
).
Так как
,
система нормальных уравнений примет
вид
Откуда
и
.
В нашем примере имеем
=
3392,6 / 9 = 376,9(5).
Следовательно, а = 376,96, а параметр b = -398/60 =-6,63.
Соответственно уравнение окажется следующего вида:
.
В
данном уравнении изменилось лишь
значение параметра а,
который
теперь фиксирует расчетное значение
просроченной задолженности за май 2006
г., когда
=
0.
В предыдущем варианте уравнения на
расчетное значение за май составит:
.
ту же величину, что и параметр а во втором варианте уравнения тренда.
Прогноз
на октябрь по уравнению
производим так же, подставив в него
очередное по порядку значение
= 5, т. е.
=
376,96 - 6,63 · 5 = 343,8.
В рассмотренном примере динамический ряд включал нечетное число уровней (9). При четном числе уровней в ряду динамики центральными являются два уровня и за ноль для принимается середина между ними. Соответственно предыдущие временные даты принимают значения: -0,5; -1,5; -2,5 и т. д., а последующие: 0,5; 1,5; 2,5 и т.д. Чтобы не работать с дробными значениями , их можно удвоить, т.е. использовать величины: -1, -3, -5 ... и 1, 3, 5, ... Однако в этом случае параметр b будет характеризовать лишь половину среднего абсолютного прироста и не совпадет с его величиной при обозначении дат 1, 2, 3, ...