2.4.2. Сортировка массивов и поиск элемента в массиве

Сортировка — это перестановка элементов массива в порядке их возрастания или убывания.

Известно много разных алгоритмов сортировки.

Одним из простейших является алгоритм сортировки выбором.

Сортировка выбором элементов массива в порядке их возрастания выполняется следующим образом:

1. Установить номер наименьшего элемента массива.

2. Поменять местами наименьший и первый элементы массива.

3. Выполнить пункты 1 и 2 над остатком массива (массивом без первого элемента).

Пункт 3 повторять, пока остаток массива не сократится до одного элемента.

Предположим, что имеется массив из пяти элементов со значениями (30, 20, 10, 50, 40). По мере повторения пункта 3 элементы меняются местами:

40 50 10 20 30 10 50 40 20 30 10 20 40 50 30 10 20 30 50 40 10 20 30 40 50

Подчеркнута область поиска наименьшего элемента.

Из примера видно, что работа алгоритма состоит из последовательных шагов. На каждом шаге наименьший элемент области поиска перемещается в уже отсортированную часть массива, за счет этого упорядоченная часть массива растет, а неупорядоченная сокращается на 1 элемент. Для сортировки массива из N элементов потребуется ровно N-1 шагов алгоритма.

program sort_select;

const N=100;

type masl=array[l.. N] of real;

var a:masl;

tmp, min:real;

i, j, jmin:integer;

begin

for i:=l to N do read(a[i]); (*ввод элементов массива*)

for i:=l to N-l do

begin

min:=a[i]; jmin:=i;

for j :=i to N do (* поиск минимального элемента*)

if [a|j]<min then

begin

min:=a[j]; jmin:=j; end;

tmp:=a[jmin]; (*перестановка элементов*) a[jmin]:=a[i]; a[i]:=tmp;

end;

for i:=l to N do writeln(a[i]); (*вывод элементов *)

(*отсортированного массива*) end.

Время выполнения одного шага прямо пропорционально размеру неупорядоченной части массива.

Размер неупорядоченной части равен N в начале работы и 2 - в конце. Общее время сортировки выбором

Т = k*N + k*(N-l) +...+ k*3 + k*2,

где k — коэффициент пропорциональности, не зависящий от N.

По формуле для арифметической прогрессии получим

T=k*(N+2)*(N-l)/2,

что примерно равно C*N², где С — константа, не зависящая от N.

Полученная формула не дает нам абсолютного значения времени, но показывает, как меняется продолжительность сортировки с изменением размера массива.

Зависимость вида

T=f(N),

где N — объем входных данных, называется временной сложностью алгоритма.

О временной сложности сортировки выбором говорят, что она квадратичная, так как время сортировки пропорционально квадрату числа сортируемых элементов.

Разберем еще один алгоритм сортировки массива - так называемой обменной или пузырьковой сортировки. Как и предыдущий, он состоит из отдельных шагов. На каждом шаге проходят массив от начала к концу, сравнивая пары соседних элементов. Если очередная пара нарушает требуемый порядок, ее элементы меняют местами. Шаги повторяют до тех пор, пока очередной проход не вызовет ни одного обмена.

Порядок элементов массива (30, 20, 10, 50, 40) изменяется на каждом шаге сортировки следующим образом:

Исходное значение: 40 50 10 20 30 - После 1-го шага : 40 10 20 30 50

После 2-го шага : 10 20 30 40 50

В отличие от сортировки выбором количество шагов обменной сортировки зависит от первоначального значения массива, поэтому оценим временную сложность алгоритма в худшем случае (в лучшем случае она равна временной сложности одного шага).

При обратном порядке чисел потребуется (N-1) шагов для сортировки массива из N элементов. Это и есть худший случай, так как за каждый шаг по крайней мере один элемент «становится» на свое место. Значит, сложность обменной сортировки

T = (N-l)*t(N), где - временная сложность одного шага, пропорциональная N.

t(N) = k*N

Значит Т » k*N²,

то есть сложность обменной сортировки тоже квадратичная.

Program sort_exchange;

const N=100;

type masl=array[l.. N] of real; var a:masl;

tmp:real;

i,j:integer;

flag:boolean;

begin

for i:=l to N do read(a[i]); (*ввод элементов массива*)

flag:=trae;

i:=l;

while (i<N) and flag do begin

flag:=false; (* сброс флага перестановки элементов*) for j:=l to N-1 do

if a[j]>a[j+l] then

begin

tmp:=a|j];

a[j]:=a|j+l];

a[j+l]:=tmp;

flag:=true; (*установка флага перестановки *)

(* элементов *) end;

i:=i+l; •

end;

for i:=l to N do writeln(a[i]); (*вывод элементов *)

(*отсортированного массива*) end.

Кроме сортировки массивов, часто возникает задача поиска заданного элемента в массиве. При этом необходимо определить, имеется ли такой элемент в массиве и если да, то каков его индекс.

Пример. Определить наличие или отсутствие целого числа в массиве из целых чисел. При наличии числа определить его индекс.

program search; const N=100;

type masl=array[l.. N] of integer; var a:masl;

b:real;

i:integer;

flag:boolean;

begin

read(b); (*ввод элемента для поиска*)

for i:=l to N do read(a[i]); (*ввод элементов массива*)

flag=false; (*сброс флага нахождения элемента *) i:=0;

while (i<N) and (not flag) do begin

i:=i+l;

if a[i]=b then

flag:=true; (*установка флага нахождения элемента *) end;

if flag then Writeln('Элемент находится в позиции ',i) else writeln('Элемент отсутствует');

end.