2.5.2. Кванторы. Формулы логики предикатов

Поскольку предикаты принимают значения из {0,1}, над ними можно производить все логические операции. Но имеются еще и специфические операции логики предикатов, которые относятся уже не к одной фиксированной ситуации, а ко всему множеству ситуаций.

Пусть А(х) – одноместный предикат. Рассмотрим константы (нульместные предикаты):

;

.

В первом случае мы говорим, что предметная переменная х связана в предикате А(х) квантором всеобщности, во втором – квантором существования.

Применение кванторов превращает одноместные предикаты в константы.

Если имеется какой-либо k-местный предикат

А(х₁, …,х_к), то можно применять кванторы по какой-либо переменной для произвольного набора значений остальных переменных: .

В результате в обоих случаях получается (k-1)-местный предикат от (х₁, …,х_к). Мы будем говорить, что х₁ в этих формулах является связанной переменной.

Теперь мы перечислим все операции логики предикатов. Строгое определение формулы логики предикатов дается по индукции, при этом одновременно определяются понятия свободных и связанных переменных:

1) Все отдельно взятые предикаты, в которых все места замещены предметными переменными или предметными постоянными из соответствующих предметных областей, являются формулами. При этом все входящие в предикат предметные переменные остаются свободными, связанных переменных нет.

2) Если U – формула логики предикатов, содержащая свободную переменную х, то - также формулы, в которых х – связанная переменная, а все остальные переменные – те же и того же характера. Т.е. если они были свободными, то и будут; и связанными, если они были связаны в U.

3) Если U – формула, то - формула, все переменные которой те же и того же характера, что и у U. Если U и В – формулы, причем нет такой переменной, которая в одну из них входит свободно, а в другую – связанно, то UB, UvB, , - формулы, причем в них входят все переменные из U и В и вхождение имеет тот же характер.

4) Каждая из формул получается за конечное число шагов из элементарных (n – 1) при помощи операций 2) и 3).

Каждая формула U представляет предикат U(x₁, ...,x_n) от

своих свободных переменных. Этот предикат не зависит от связанных переменных.

2.5.3. Равносильность формул

В вопросе о равносильности формул логики предикатов имеется два аспекта. Во-первых, пусть фиксированы предметные области m = {m₁, ..., m_n} для всех входящих в формулы U и В свободных переменных, а так же предметные константы U и В.

Формулы U и В называются равносильными на системе областей m, если представляемые ими предикаты U(x₁, ..., x_k) и B(y₁, ..., y_k) равны при любых замещениях входящих в них переменных. (Должно учитываться число мест у предикатов и предикаты, обозначенные одинаковыми буквами, должны замещаться одинаковыми предикатами).

Предикаты А и В называются равными, если их значения совпадают при всех значениях входящих в них переменных.

Формулы U и В, не содержащие символов индивидуальных предметов, называются абсолютно равносильными, если они равносильны на любых наборах предметных областей.

Проиллюстрируем разницу между двумя определениями равносильности на простейшем примере.

Пример: Показать, что формула равносильна 1 на любой области m (точнее на ), состоящей из одного элемента, но не абсолютно равносильна 1.

Эта формула не будет равносильна 1 уже на области из двух элементов. Пусть m состоит из элементов a и b и

А(а) = 0; А(b) = 1.

Примеры предикатов

Для того, чтобы привыкнуть к языку логики предикатов, рассмотрим несколько примеров.

1. Ввести одноместные предикаты на соответствующих областях и записать при их помощи следующие высказывания в виде формул логики предикатов:

а) всякое натуральное число, делящееся на 12, делится на 2, 4 и 6.

Введем на натуральном ряде предикаты:

А(х) – делится на 12 (т.е. А(х) = 1 тогда и только тогда, когда х делится на 12);

В(х) – делится на 2;

С(х) – делится на 4;

D(х) – делится на 6.

Тогда .

б) жители Швейцарии обязательно владеют или французским, или итальянским, или немецким языком.

На множестве людей ввести предикаты:

А(х) – жить в Швейцарии;

В(х) – владеть французским языком;

С(х) – владеть итальянским языком;

D(х) – владеть немецким языком.

.

в) функция, непрерывная на отрезке [0,1], сохраняет знак или принимает нулевое значение.

На множестве функций (определенных на данном отрезке) ввести предикаты:

A(f) – быть непрерывной функцией на [0,1];

В(f) – сохранять знак;

С(f) – обращаться в нуль.

.