1.9.4 Свойства бинарных отношений

Пусть R- отношение на множестве U: RUU. Тогда:

1. Отношение R называется рефлексивным, если aRa для любого aU, т. е. (a, a)R.

Пример: отношение «жить в одном городе» – рефлексивно.

Матрица рефлексивного отношения содержит единицы на главной диагонали.

2. Отношение R называется антирефлексивным (иррефлексивным), если ни для какого aU не выполняется aRa: (a, a)R для .

Матрица антирефлексивного отношения на главной диагонали содержит только нули.

Пример: отношение «быть сыном» – антирефлексивно.

3. Отношение R называется симметричным, если из aRb следует bRa для .

Пример: отношение «работать на одном предприятие» – симметрично.

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

4. Отношение R называется антисимметричным, если из aRb и bRa следует . Это значит, что ни для каких различающихся элементов ab не выполняется одновременно aRb и bRa, т. е. только одно из двух для .

Пример: отношения «быть сыном», «быть начальником».

Для антисимметричного отношения произведение элементов расположенных симметрично относительно главной диагонали равно нулю. Это значит, что в матрице отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали.

5. Отношение R называется транзитивным, если из aRb и bRc следует aRc.

Пример: Пусть U={1, 2, 3}. Зададим отношение R на U списком :

1R1, 1R2; 2R1, 2R2; 2R3; 3R2; 3R3; .

Это отношение рефлексивно, симметрично, но не транзитивно, т. к. 1R2 и 2R3, но .

Рассмотрим некоторые специальные типы отношений, обладающих фиксированным набором свойств. Рассмотренные свойства 15 отношения встречаются особенно часто (поэтому им и даны специальные названия). Кроме того, оказывается, что некоторые устойчивые комбинации этих свойств, встречаются настолько часто, что им также даны специальные названия. Сюда относятся отношения эквивалентности и порядка.

1.9.5. Отношение эквивалентности

1. Отношением эквивалентности (или эквивалентностью) называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, транзитивно и симметрично.

Эквивалентность часто обозначают символом Е,  или :

хЕу, х  у, х  у.

Пример1. Отношение равенства х = у является эквивалентностью на любом множестве А, так как оно рефлексивно (х = х), симметрично (х = у  у = х) и транзитивно

(х = у, у = z  х = z)

Пример 2. Отношение подобия на множестве треугольников есть отношение эквивалентности.

Пример 3. На любом множестве P(U) отношение равномощности |A|=|B| есть отношение эквивалентности.

Пример 4. Пусть множество М программ, вычисляющих некоторые функции. Отношение E={(x, y)|} программы х и у вычисляют одну и ту же функцию является эквивалентностью.

Опр.: Пусть Е – эквивалентность на множестве А. Классом эквивалентности К(х) элемента хА, называется множество элементов уА, каждый из которых находится с этим элементом в отношении эквивалентности: К(х)={y| xEy}.

Иными словами, класс эквивалентности – это множество эквивалентных элементов.

Заметим, что два различных класса эквивалентности не пересекаются. Таким образом, отношение эквивалентности Е разбивает множество А, на котором оно задано, на непересекающиеся подмножества так, что элементы одного и того же подмножества находятся в отношение Е, а между элементами разных подмножеств отношение Е отсутствует.

Поэтому, если все элементы множества А распределены по классам эквивалентности, то эти классы эквивалентности образуют разбиение множества А.

Множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством множества А по отношение Е. Обозначается: А|E={K(x)| xA}.

Для определения является ли заданное отношение R отношением эквивалентности, используют следующий критерий:

Пусть R – множество бинарного отношения. Если путем перестановки строк и столбцов её можно привести R блочно-диагональному виду (на главной диагонали элементы равны 1), то R является отношением эквивалентности, иначе R не является отношением эквивалентности.

Пример: Рассмотрим отношение R, матрица которого

имеет вид:

R	a	b	c	d	e	f
a	1	0	0	1	0	0
b	0	1	0	0	0	0
c	0	0	1	0	1	1
d	1	0	0	1	0	0
e	0	0	1	0	1	1
f	0	0	1	0	1	1

Переставляя строки

и столбцы, матрицу отношения R можно привести к блочно-диагональному виду, а значитR является эквивалентностью.

R	a	d	b	c	e	f
a	1	1	0	0	0	0
d	1	1	0	0	0	0
b	0	0	1	0	0	0
c	0	0	0	1	1	1
e	0	0	0	1	1	1
f	0	0	0	1	1	1

Кроме того, по полученной матрице можно определить классы эквивалентности

K₁, K₂, K₃.

Таким образом,

K₁ ={a, d}, K₂={b}, K₃={c, e, f}.

Отношение эквивалентности имеет большое практическое значение. Например, сущность моделирования заключается в том, что устанавливают отноше-ние эквивалентности между двумя системами, каждая из которых может быть абстрактная или реально существующей.

Если одна из систем оказывается проще для исследования, то её рассматривают в качестве модели для другой. Модель называется изоморфной, если между моделью и реально системой наблюдается полное поэлементное соответствие (чертёж и изготовленная по нему деталь).

Однако часто используют модели, которые позволяют судить только о существенных аспектах поведения реальных систем, не детализируя их (географическая карта по отношению к изображённому на ней участку земной поверхности).

Модели, отдельные элементы которых соответствуют лишь крупным частям реальной системы, называют гомоморфными.