1.2. Способы задания множеств
Множество может быть задано разными способами:
1. Перечислением, т. е. списком своих элементов. Списком можно задать прежде всего конечные множества. Обозначение списка – в фигурных скобках:
А={1,0} – множество двоичных чисел;
В={23,29,31,37} – множество всех простых чисел между 20 и 40.
Перестановка элементов списка не меняет множества: множества {1,2,3,4,8} и {8,4,3,2,1} совпадают. Списком можно представлять и некоторое бесконечное множество (так называемые счетные множества). Для этого надо указать, как перенумеровать все их элементы и представить их в виде бесконечной последовательности.
Множество натуральных чисел: N={1,2,3,…}
Множество целых чисел: Z={0, 1, 2,…}
Однако множества R и С так представить нельзя.
2. Описанием характеристических свойств, отличающих элементы данного множества.
Обозначаются: М={xP(x)} или М={x:P(x)}.
Читается: «Множество М состоит из элементов х таких, что х обладает свойством Р(х)». Например,
Е={x|xZ и x=2y для yZ} – множество всех четных чисел,
N={x|xZ и x>0} – множество всех натуральных чисел
– множество рациональных чисел.
3. Порождающей процедурой, которая
описывает способ получения элементов
множества из уже полученных элементов
или других объектов. Например, множество
всех целых чисел, являющихся степенями
двойки
,
n- целое неотрицательное
число:
может быть представлено порождающей
процедурой, заданной двумя правилами,
называемыми рекурсивными или
индуктивными:
а)
;
б) если
,
то
..
4. С помощью характеристической функции, значение которой указывают, является ли (да или нет) х элементом множества Х:
Замечание: для любых элементов
=
0 и
=
1.
Пример. Пусть на универсуме U={a, b, c, d, e} определено множество Х={a, c, d}. Тогда
;
;
;
;
.
Примеры.
Пример1:
Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1, 2, 3, …
Решение: а) N={1, 2, 3, …} – списком
б) Описанием характеристического свойства элементов множества N: N={х: х – целое положительное число}.
в) Порождающая процедура содержит два правила:
1) 1N; 2) если nN, то n+1N.
Пример 2: Задать различными способами множество М всех чётных чисел 2, 4, 6, …, не превышающих 100.
Решение: 1.
2. а)
,
б) если
,
то
;
n<98.
3.
{n:
n – четное положительное
число, не превышающее 100}. Или:
3.
.
Пример 3: Пусть U={a, b, c}. Определить в явном виде (перечислением элементов) булеан P(U) – множество всех подмножеств, состоящих из элементов множества U. Какова мощность множества P(U)?.
Решение: P(U)={, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c},
{a, b, c}}. Мощность |P(U)| = 8
Пример 4: Какие из приведенных определений множеств являются корректными:
а) А={1, 2, 3}; б) B={5, 6, 6, 7}; в) C={x: xA};
г) D={A, C} ?
Решение: а) Определение А списком корректно.
б) При перечислении элементов множества не следует указывать один и тот же элемент несколько раз. Корректное определение: В={5, 6, 7}.
в) Корректно.
г) Корректно.
Упражнения
1. Пусть Х – множество {1, 2}, а Y – множество
{x: x=y+z;
y,zX}.
Определить в явном виде (списком)
множество Y. Каковы
множества
и
?
2. Задать различными способами множество всех чисел, являющихся степенями двойками: 2, 4, 8, 16, …, не превышающих 300.
3. Задать различными способами множество нечётных положительных чисел.
4. Задать различными способами множество натуральных чисел, кратных 5: 5, 10, 15, 20, …
5. Задать в явном виде (списком) множество P(U) всех подмножеств множества U, если U={1, 2, 5, 7}. Какова мощность P(U)?