1.9. Отношения

1.9.1.Определения

Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые унарные и бинарные отношения.

Отношением называется некоторые свойства, которым могут обладать или не обладать элементы данного множества.

Унарные (одномерные) отношения отражают наличие какого-то определённого признака R (свойства и т. п.) у элементов множества М.

Примеры:

1) «быть белым» на множестве шаров в урне. Тогда все такие элементы а из множества М, которые отличаются данным признаком R, образуют некоторое подмножество в М, называемое унарным отношением R, т. е.

аR и RM

2)унарные операции: –1 или –2; Бинарные 4 – 3; 2 + 1.

Если свойство связывается два элемента, то отклонение называется бинарным и двухместным.

Бинарные (двухместные) отношения используются для определения взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов в множестве М. Все пары (a, b) элементов из множества М, между которыми имеет место данное отношение R, образуют подмножество пар из множества всех возможных элементов ММ=М².

Это подмножество называется бинарным отношением R,

т. е. (a, b)R, при этом RMM.

В общем случае могут рассматриваться n-местные (n-арные) отношения. Между тройками элементов -трехместные (тернарные) отношения и т. д.

Под n-местным отношениям на множествах понимают любое подмножество R прямого произведения множеств: .

Говорят, что элементы

(где ) находится в отношении R, если . Если , то .

1.9.2 Бинарные отношения

Наибольшее значение имеют бинарные отношения.

Пусть имеется универсальное множество U. Составим декартово произведение U само на себя:

U²=UU.

• Любое подмножество R множества U² называется бинарным отношением на множестве U.

Пусть aU и bU. Если (a, b)R, то говорят, что элемент а находится в отношении R к элементу b: aRb.

• Диагональю Δ множества U² называется множество всех элементов вида (a, a), где aU.

Областью определения D(R) некоторого бинарного отношения R называется множество

D(R) = {a| (a, b)R для некоторого b}.

Область значений отношения R – множество

Q(R)= {b| (a, b)R для некоторого a}.

1.9.3. Способы задания бинарных отношений

Так как отклонения, по определению, есть подмножества некоторых множеств – прямых произведений, то для задания бинарных отношений используются любые способы задания множеств. Отношения, определённые на конечных множествах, обычно задаются:

1. Списком (перечислением) пар, для которых это отклонение выполняется.

Пример 1. Если U={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, то отклонение aRb, где R={(a, b)| a, bU, a делит b и a3} можно записать в виде

R={(2, 2); (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6)}.

2. Матрицей – бинарному отношению RUU, где , соответствует квадратная матрица порядка n, элементы которой C_{ij ,} определяются следующим правилом:

(*)

Пример 2. Пусть U={1, 2, 3, 4, 5}. Задать матрицей отношение RUU, если R означает – «быть строго меньше».

R		1 2 3 4 5
	1 2 3 4 5	0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Разместим элементы множества U в горизонтальных и вертикальных рядах. Будем считать, что строки отвечают первым элементам отношения, столбцы – вторым.

Т. о., каждому отношению можно поставить в соответствие матрицу данного вида. Обратно: любая матрица из нулей и единиц определяет отношение R по формуле (*) (используется для представления отношений в ЭВМ).

3 . Стрелочный. Элементы множества U располагаются по кругу и стрелками соединяются два элемента, находящиеся в отношение R: от первого элемента ко второму. Стрелка будет двусторонней, если aRb и bRa. Например,

Обобщение понятия отношения

n-местным (n-арным)отношением

R называется множество упорядо Рис.3. ченных наборов (кортежей):

При этом множества не обязательно различны.

Таким образом, n-арное отношение – любое подмножество прямого произведения множеств (i=1, 2, …, n).

Многоместные отношения используются, например, в теории баз данных («реляционные» базы данных). Бинарные отношения используются в теории графов.