1.10.4. Композиция и суперпозиция функций. Способы задания функций

Пусть даны две функции : АВ и g: ВС. Функция

h: AC называется композицией функций  и g (обозначается og), если имеет место равенство , где хА.

Часто говорят, что функция h получена подстановкой

 в g.

Для многоместных функций , возможны различные варианты подстановки  в g, дающие функции различных типов. Например, при m=3 и n=4 функция имеет шесть аргументов и тип .

Функция, полученная из некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией . Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы, а также скобки называется формулой.

Существует несколько способов задания функции.

1. Самый прямой способ – задать функцию с помощью списка значений, которые она принимает на элементах области А.

Пример1. Например, одна из функций : АВ с областью , областью значений и образом задаётся предписанием:

Другая функция g: АВ с образом задаётся предписанием

Заметим, что к образам этих функций можно применить булевы операции

и .

Таким образом, чтобы задать функцию, надо определить области А и В, и значения, которые она сопоставляет каждому элементу области А.

2. Графиком;

3. Таблицей;

4. Формулой, описывающей функцию как суперпозицию других (исходных) функций;

5. Рекурсивной вычислительной процедурой.

Пример2. Функция f(x)=1∙2∙3∙ (x-1)x=x! описывается рекурсивной вычислительной процедурой, задаваемой следующими правилами:

1) (0)=1; 2) (х+1)=f(x)·(x+1).

Характеристические функции.

Всякому отношению R из А в В (RAB) можно сопоставить функцию R:AB0…1, полагая 1.10.5.

1.10.5. Представление функций в эвм

Пусть : АВ, множество А конечно и не очень велико, |A|=n. Наиболее общим представлением такой функции является массив array[A] of B, где А – тип данных, значения которых представляют элементы множества А, а В – тип данных, значения которых представляют элементы множества В. Если среда программирования допускает массивы только с натуральными индексами, то элементы множества А нумеруются (то есть и функция представляется с помощью массива array[1,2,…,n] of B

Функция нескольких аргументов представляется многомерным массивом.

Представление функции с помощью массива является эффективным по времени, поскольку реализация массива в большинстве случаев обеспечивает получение значения за постоянное время, не зависящее от размера массива и значения индекса.

Если множество А велико или бесконечно, то использование массивов для представления функций является неэффективным с точки зрения экономии памяти. В таком случае для представления функций используется особый вид процедур, возвращающих единственное значение для заданного аргумента. Обычно такие процедуры также называются «функциями». В некоторых языках программирования определения функции вводится ключевым словом function.

Многомерные функции представляются с помощью нескольких формальных параметров в определении функции.

Пример 1. Таблица выигрышей лотереи устанавливает соответствие G между парами чисел (серия и номер выигравшего билета) и множеством выигрышей М: Является ли данное соответствие функцией, и если да, то какой?

• Соответствие , задаваемое таблицей выигрышей является функциональным, так как для каждой указанной пары из (серия, № билета) определён конкретный (единственный) выигрыш из М.

Таким образом, данное соответствие есть двухместная функция . Функция такого типа не всюду определена, значит не является отображением.

Более того, как правило, число выигравших билетов (мощность области определения ) больше перечня наименований выигрышей (мощность области значений ), поэтому данная функция не обладает единственностью прообраза: одному выигрышу может соответствовать несколько билетов. В силу сказанного  не является ни инъекцией, ни тем более биекцией.

Пример 2. является ли функция (х)=2х, имеющая тип NN отображением, и если – да, то каким? Имеет ли функция  обратную функцию ^-1, и если – да, то является ли ^-1 отображением?

• Функция (х)=2х, : NN всюду определена на N, однако не сюръективна, так как область значения функции  равна (область значений содержит только чётные числа из N). Поэтому  является отображением N в N или преобразованием множества N.

Между областью определения и областью значений имеет место взаимно однозначное соответствие: любому элементу nN соответствует один и только один элемент 2n из и наоборот. Поэтому функция (х)=2х, : NN, имеет обратную функцию^-1. Однако обратная функция не всюду определена: её областью определения является множество чётных чисел . Поэтому обратная функция ^-1, в отличие от исходной функции , не является отображением.

Пример 3. Задать несколько возможных типов для функции (х) =.2ⁿ Для каждого типа определить:

а). свойства функции ;

б). является ли  отображением и, если – да, то каким?

1. Пусть тип функции : NN. Тогда (х) =2ⁿ всюду определена, так как , но не сюръективна, так как ( – множество натуральных чисел, являющихся степенями двойки). Следовательно, функция  является отображением N в N.

2. : N . Тогда функция  всюду определена и сюръективна, следовательно, является отображением N на .

3. : NR. Функция всюду определена, но не сюръективна,

т. е.  есть отображение N в R.

4. : R₊N . Функция  частично определена и сюръективна, поскольку область значений (х) =2ⁿ при заданном типе функции  представляет множество натуральных чисел, т. е. , значит, не для всех хR₊ функция  определена,

т. е. . Следовательно, : R₊N не является отображением.

5. : RR. Функция  всюду определена, но не сюръективна ( не имеет отрицательных значений). Следовательно,  – отображение R в R.

6. : R R₊. Функция всюду определена и сюръективна, т. е. является отображением R на R₊.

Кроме названных свойств во всех случаях  есть функциональное соответствие, а для случаев 2) и 6) – взаимно однозначное (биекция).

Пример 4. Чему равна композиция функций (х)=2х и g(x)=1+x?

• Пусть функции f(х) и g(x) имеют тип RR. Тогда их композиции возможны в произвольном порядке. Композиция og =h₁ представляет собой подстановку  в g, т. е. h₁ =og =g(f(x))=1+f(x)=1+2x.

Композиция gо = h₂есть функция, полученная подстановкой g в , т. е. h₂= gо=f(g(x))=2g(x)=2(1+x)=2+2x.

Пример 5. Чему равна композиция функций и ? Каковы области определения композиций и функций?

• Пусть функции и имеют тип RR, т. е. отображают одно и тоже множество на себя. Тогда композиция возможна в произвольном порядке и дает функции: h₁ =og =g(f(x))= и

h₂= gо=f(g(x))=

Области определения исходных функций и их композиций: , , .

Пример 6. Функции  и g имеет тип , . Какой тип имеют функции h₁ и h₂ , являющиеся композициями  и g:

а) h₁ =og =

б) h₁ =og = ?

• Функция h₁ содержит шесть аргументов и её тип .

• Функция h₂ содержит восемь аргументов и её тип или .

Пример 7. Пусть функция . Определить функции образованные переименованием:

а) в , б) и в .

• 1. Переименование в приводит функцию к функции, , которая равна функции двух аргументов:

• 2. Переименование и в приводит к одноместной функции .

Пример 8. Дано множество A={a, b, c, d} и два преобразования этого множества (т. е. функции типа АА, являющиеся отображением А в А):

=(13, 23, 31, 42); β=(12, 21, 31, 43).

Обычно преобразования конечных множеств записываются так: ;

Чему равна композиция преобразований?

• Композиция преобразований – это новое преобразование:

Упражнения стр. 90. Задачник: стр. 18 №23-25.