6. Двойственный симплекс-метод

Можно применять при решении задач ЗЛП, свободные члены системы уравнений, которой могут быть любыми числами.

Рассмотрим задачу:

(1)

(2)

(3)

, , … , , , … ,

,

и среди чисел имеются отрицательные.

О пределение. Решение системы линейных уравнений ( 2 ), определяемых базисом называется псевдопланом задачи ( 1 ) – ( 3 ), если

Т еорема 1. Если в псевдоплане , определяемом базисом есть хотя бы одно отрицательное число <0, такое, что все то задача (1) – ( 3 ) вообще не имеет планов.

Теорема 2. Если в псевдоплане ,определяемом базисом имеются отрицательные числа < 0, такие, что для любого из них существуют числа < 0, то можно перейти к новому псевдоплану, при котором значение целевой функции задачи (1) – (3) не уменьшится.

Алгоритм двойственного симплекс-метода.

1. Находят псевдоплан задачи.

2. Проверяют этот псевдоплан на оптимальность. Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану.

3. Выбирают разрешающую строку с помощью определения наибольшего по модулю отрицательного числа столбца вектора и разрешающий столбец с помощью нахождения наименьшего по модулю отношения элементов -ой строки к соответствующим отрицательным элементам разрешающей строки.

4. Находят новый псевдоплан и повторяют все действия, начиная с п. 2.

Пример 1. Найти максимальное значение функции

при условиях

Решение. Запишем исходную ЗЛП в форме основной задачи: найти max функции

п ри условиях

Умножив второе и третье уравнения системы ограничений на (-1), переходим к следующей задаче:

(1)

при условиях

(2)

(3)

Результаты вычислений оформим в виде последовательности симплекс – таблиц.

	Базис			1	1	2	0	0
1		2	8	1	1	1	0	0
2		0	-4	-1	1	0	1	0
3		0	-6	-1	-2	0	0	1
4			16	1	1	0	0	0
1		2	5	½	0	1	0	½
2		0	-7	-3/2	0	0	1	½
3		1	3	½	1	0	0	-1/2
4			13	½	0	0	0	½
1		2	8/3	0	0	1	1/3	2/3
2		1	14/3	1	0	0	-2/3	-1/3
3		1	2/3	0	1	0	1/3	-1/3
4			32/3	0	0	0	1/3	2/3

Выбрав в качестве базиса векторы составим симплексную таблицу для исходной задачи (1) – (3). Вычисляем:

Так как в столбце вектора имеются отрицательные числа (-4) и (-6), а в 4-ой строке отрицательных чисел нет, то в соответствии с алгоритмом двойственного симплекс-метода переходим к новой симплекс-таблице ( в данном случае это можно сделать, т. к. в строках векторов и имеются отрицательные числа. Если бы они отсутствовали в одной из строк, то задача была бы неразрешима). Вектор, исключаемый из базиса, определяется наибольшим по модулю отрицательным числом, стоящим в столбце вектора В данном случае это число (-6). Следовательно, из базиса исключаем вектор . Чтобы определить, какой вектор необходимо ввести в базис, находим ,где . Имеем: . Значит в базис вводим вектор . Переходим к новой симплекс таблице. Т. к. в столбце вектора последней симплекс-таблицы стоит число (-7), то рассмотрим элементы 2-ой строки. Среди этих чисел есть одно отрицательное (-3/2). Если бы такое число отсутствовало, то исходная задача была бы неразрешима. В данном случае переходим к новой симплекс-таблице. Как из неё видно, найден оптимальный план исходной задачи при этом плане максимальное значение целевой функции равно .

Пример 2. Найти максимальное значение функции

при условиях

Решение. Умножая первое и третье уравнения системы ограничений на (-1), в результате приходим к задаче определения максимального значения функции

при условиях

Процесс вычислений оформляем в виде симплекс-таблиц.

	Базис			2	3	0	5	9
1		0	-12	2	-1	1	0	0
2		5	10	1	2	0	1	0
3		0	-18	-3	2	0	0	1
4			50	3	7	0	0	0
1		0	-24	0	1/3	1	0	2/3
2		5	4	0	8/3	0	1	1/3
3		2	6	1	-2/3	0	0	-1/3
4			32	0	9	0	0	1

.

Так как в столбце вектора имеется одно отрицательное число (-24), а в строке вектора нет отрицательных чисел, то исходная задача не имеет решения.

7. Целочисленное (дискретное) линейное программирование (ЦЛП).

Некоторые ЗЛП требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по производству и распределению неделимой продукции (выпуск стаканов, телевизоров, автомобилей и т.д.).

В общем виде математическая модель задачи ЦЛП имеет вид:

(1)

при ограничениях:

(2)

(3)

(4)

Метод Гомори.

Используя симплекс-метод, находят решение задачи (1) - (3) без учёта требования целочисленности переменных. Если среди компонентов оптимального плана нет дробных чисел, то найденный план является оптимальным планом задачи ЦЛП

(1) - (4).

Если в оптимальном плане задачи (1) - (3) переменная x_j принимает дробное значение, то к системе уравнений (2) добавляют неравенство

(5)

и находят решение задачи (1) - (5).

В неравенстве (5) и – преобразованные исходные величины a_ij и b_i, значения которых взяты из последней симплекс-таблицы, а и - дробные части чисел (под дробной частью некоторого числа а понимается наименьшее число b 0 : a - b Z).

Если в оптимальном плане задачи (1) - (3) дробные значения принимают несколько переменных, то дополнительное равенство (5) определяется наибольшей дробной частью.

Используя двойственный симплекс-метод, находят решение задачи, получающееся из задачи (1) - (3) в результате присоединения дополнительного ограничения.

В случае необходимости составляют еще одно дополнительное ограничение и продолжают итерационный процесс до получения оптимального плана задачи (1) - (4) или установления её неразрешимости.

Пример. Методом Гомори найти максимальное значение функции

(6)

при ограничениях

(7)

(8)

. (9)

Дать геометрическую интерпретацию решения задачи.

Решение.

Для определения оптимального плана задачи (6) - (9) сначала находим симплекс-методом оптимальный план задачи (6) -(8).

i	базис	Сб	Р0	3	2	0	0	0
				Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
1	Р3	0	13	1	1	1	0	0
2	Р4	0	6	1	-1	0	1	0
3	Р5	0	9	-3	1	0	0	1
4				-3	-2	0	0	0
1	Р3	0	7	0	2	1	-1	0
2	Р1	3	6	1	-1	0	1	0
3	Р5	0	27	0	-2	0	3	1
4			18	0	-5	0	3	0
1	Р2	2	7/2	0	1	1/2	-1/2	0
2	Р1	3	19/2	1	0	1/2	1/2	0
3	Р5	0	34	0	0	1	2	1
4			71/2	0	0	5/2	1/2	0

Найденный оптимальный план Х = (19/2;7/2; 0; 0; 34) задачи (6)-(8) не является оптимальным планом задачи (6) - (9), т.к. x₁, x₂ . При этом дробные части этих чисел равны между собой. Поэтому для одной из этих переменных составляется дополнительное ограничение. Составим, например, такое ограничение для переменной x₂.

Таким образом, к системе ограничений задачи (6) - (8) добавляем неравенство

или

т.е.

В конечном виде:

.

С учётом последнего уравнения решаем полученную ЗЛП двойственным симплекс-методом.

i	базис	Сб	Р0	3	2	0	0	0	0
				Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
1	Р2	2	7/2	0	1	1/2	-1/2	0	0
2	Р1	3	19/2	1	0	1/2	1/2	0	0
3	Р5	0	34	-0	0	1	2	1	0
4	Р6	0	-1	0	0	-1	-1	0	1
5			71/2	0	0	5/2	1/2	0	0
1	Р2	2	4	0	1	1	0	0	-1/2
2	Р1	3	9	1	0	0	0	0	1/2
3	Р5	0	32	0	0	-1	0	1	2
4	Р4	0	1	0	0	1	1	0	-1
5			35	0	0	2	0	0	1/2

θ_o=min .

X^* = (9;4;0;1;32) - оптимальный план исходной задачи ЦЛП.

F_max=35.

Дадим геометрическую интерпретацию решения задачи. Для этого запишем исходную задачу в виде общей ЗЛП:

Областью допустимых решений задачи (6) - (8) является многоугольник ОАВСД. Из рисунка видно, что максимальное значение целевая функция принимает в точке С(19/2; 7/2), т.е. что X=(19/2; 7/2; 0; 0; 34) является оптимальным планом.

Так как X = (19/2; 7/2; 0; 0; 34) не является оптимальным планом задачи (6) - (9), то вводится дополнительное ограничение . Выразим переменные x₃ и x₄ из первых двух уравнений системы (7).

Подставим полученные значения в неравенство (10).

Этому неравенству соответствует полуплоскость, ограниченная прямой x₁ = 9, отсекающей от многоугольника ОАВСД треугольник EFC.

Как видно из рисунка, ОДР полученной задачи является многоугольник ОАВЕFД. В точке Е(9;4) этого многоугольника целевая функция данной задачи принимает максимальное значение. Так как координаты точки Е - целые числа и неизвестные х₃, х₄, х₅ принимают целочисленные значения при подстановке в уравнения системы (7) значений x₁ = 9 и х₂ = 4, то X^* = = (9; 4; 0; 1; 32) является оптимальным планом задачи (6) - (9).