- •Математические методы исследования операций и теории иГр
- •Введение
- •Глава 1. Задачи линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования (злп)
- •2. Графический метод решения злп
- •3. Симплекс – метод решения злп
- •Метод искусственного базиса
- •Двойственные злп
- •Двойственный симплекс-метод
- •Алгоритм двойственного симплекс-метода.
- •Метод ветвей и границ решения задачи цлп
- •Алгоритм метода ветвей и границ
- •Оптимальность по Парето
- •Множество Парето
- •Постановка задачи
- •Метод идеальной точки
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 2. Теория игр
- •1. Основные понятия теории игр
- •Принцип доминирования
- •2. Задачи теории игр и линейное программирование
- •3. Игры с природой
- •Применение матричных игр в прикладных задачах
- •Переговоры о заключении контракта между профсоюзом и администрацией
- •Локальный конфликт
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 3. Имитационное моделирование
- •Основные понятия
- •Типы имитационных моделей.
- •Принципы построения дискретных имитационных моделей
- •Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний)
- •Применение имитационных моделей в системах массового обслуживания
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 4. Сетевое планирование
- •1. Сетевой график
- •Оптимизация пути на сети
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •3 94026 Воронеж, Московский просп., 14
Двойственный симплекс-метод
Можно применять при решении задач ЗЛП, свободные члены системы уравнений, которой могут быть любыми числами.
Рассмотрим задачу:
(1)
(2)
(3)
, , … , , , … ,
,
и среди чисел имеются отрицательные.
О пределение. Решение системы линейных уравнений ( 2 ), определяемых базисом называется псевдопланом задачи ( 1 ) – ( 3 ), если
Т еорема 1. Если в псевдоплане , определяемом базисом есть хотя бы одно отрицательное число <0, такое, что все то задача (1) – ( 3 ) вообще не имеет планов.
Теорема 2. Если в псевдоплане ,определяемом базисом имеются отрицательные числа < 0, такие, что для любого из них существуют числа < 0, то можно перейти к новому псевдоплану, при котором значение целевой функции задачи (1) – (3) не уменьшится.
Алгоритм двойственного симплекс-метода.
Находят псевдоплан задачи.
Проверяют этот псевдоплан на оптимальность. Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану.
Выбирают разрешающую строку с помощью определения наибольшего по модулю отрицательного числа столбца вектора и разрешающий столбец с помощью нахождения наименьшего по модулю отношения элементов -ой строки к соответствующим отрицательным элементам разрешающей строки.
Находят новый псевдоплан и повторяют все действия, начиная с п. 2.
Пример 1. Найти максимальное значение функции
при условиях
Решение. Запишем исходную ЗЛП в форме основной задачи: найти max функции
п ри условиях
Умножив второе и третье уравнения системы ограничений на (-1), переходим к следующей задаче:
(1)
при условиях
(2)
(3)
Результаты вычислений оформим в виде последовательности симплекс – таблиц.
|
Базис |
|
|
1 |
1 |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
2 |
8 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
|
0 |
-4 |
-1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
0 |
-6 |
-1 |
-2 |
0 |
0 |
1 |
4 |
|
|
16 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
2 |
5 |
½ |
0 |
1 |
0 |
½ |
2 |
|
0 |
-7 |
-3/2 |
0 |
0 |
1 |
½ |
3 |
|
1 |
3 |
½ |
1 |
0 |
0 |
-1/2 |
4 |
|
|
13 |
½ |
0 |
0 |
0 |
½ |
1 |
|
2 |
8/3 |
0 |
0 |
1 |
1/3 |
2/3 |
2 |
|
1 |
14/3 |
1 |
0 |
0 |
-2/3 |
-1/3 |
3 |
|
1 |
2/3 |
0 |
1 |
0 |
1/3 |
-1/3 |
4 |
|
|
32/3 |
0 |
0 |
0 |
1/3 |
2/3 |
Выбрав в качестве базиса векторы составим симплексную таблицу для исходной задачи (1) – (3). Вычисляем:
Так как в столбце вектора имеются отрицательные числа (-4) и (-6), а в 4-ой строке отрицательных чисел нет, то в соответствии с алгоритмом двойственного симплекс-метода переходим к новой симплекс-таблице ( в данном случае это можно сделать, т. к. в строках векторов и имеются отрицательные числа. Если бы они отсутствовали в одной из строк, то задача была бы неразрешима). Вектор, исключаемый из базиса, определяется наибольшим по модулю отрицательным числом, стоящим в столбце вектора В данном случае это число (-6). Следовательно, из базиса исключаем вектор . Чтобы определить, какой вектор необходимо ввести в базис, находим ,где . Имеем: . Значит в базис вводим вектор . Переходим к новой симплекс таблице. Т. к. в столбце вектора последней симплекс-таблицы стоит число (-7), то рассмотрим элементы 2-ой строки. Среди этих чисел есть одно отрицательное (-3/2). Если бы такое число отсутствовало, то исходная задача была бы неразрешима. В данном случае переходим к новой симплекс-таблице. Как из неё видно, найден оптимальный план исходной задачи при этом плане максимальное значение целевой функции равно .
Пример 2. Найти максимальное значение функции
при условиях
Решение. Умножая первое и третье уравнения системы ограничений на (-1), в результате приходим к задаче определения максимального значения функции
при условиях
Процесс вычислений оформляем в виде симплекс-таблиц.
|
Базис |
|
|
2 |
3 |
0 |
5 |
9 |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
0 |
-12 |
2 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
|
5 |
10 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
0 |
-18 |
-3 |
2 |
0 |
0 |
1 |
4 |
|
|
50 |
3 |
7 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
-24 |
0 |
1/3 |
1 |
0 |
2/3 |
2 |
|
5 |
4 |
0 |
8/3 |
0 |
1 |
1/3 |
3 |
|
2 |
6 |
1 |
-2/3 |
0 |
0 |
-1/3 |
4 |
|
|
32 |
0 |
9 |
0 |
0 |
1 |
.
Так как в столбце вектора имеется одно отрицательное число (-24), а в строке вектора нет отрицательных чисел, то исходная задача не имеет решения.
Целочисленное (дискретное) линейное программирование (ЦЛП).
Некоторые ЗЛП требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по производству и распределению неделимой продукции (выпуск стаканов, телевизоров, автомобилей и т.д.).
В общем виде математическая модель задачи ЦЛП имеет вид:
(1)
при ограничениях:
(2)
(3)
(4)
Метод Гомори.
Используя симплекс-метод, находят решение задачи (1) - (3) без учёта требования целочисленности переменных. Если среди компонентов оптимального плана нет дробных чисел, то найденный план является оптимальным планом задачи ЦЛП
(1) - (4).
Если в оптимальном плане задачи (1) - (3) переменная xj принимает дробное значение, то к системе уравнений (2) добавляют неравенство
(5)
и находят решение задачи (1) - (5).
В неравенстве (5) и – преобразованные исходные величины aij и bi, значения которых взяты из последней симплекс-таблицы, а и - дробные части чисел (под дробной частью некоторого числа а понимается наименьшее число b 0 : a - b Z).
Если в оптимальном плане задачи (1) - (3) дробные значения принимают несколько переменных, то дополнительное равенство (5) определяется наибольшей дробной частью.
Используя двойственный симплекс-метод, находят решение задачи, получающееся из задачи (1) - (3) в результате присоединения дополнительного ограничения.
В случае необходимости составляют еще одно дополнительное ограничение и продолжают итерационный процесс до получения оптимального плана задачи (1) - (4) или установления её неразрешимости.
Пример. Методом Гомори найти максимальное значение функции
(6)
при ограничениях
(7)
(8)
. (9)
Дать геометрическую интерпретацию решения задачи.
Решение.
Для определения оптимального плана задачи (6) - (9) сначала находим симплекс-методом оптимальный план задачи (6) -(8).
i |
базис |
Сб |
Р0 |
3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
Р1 |
Р2 |
Р3 |
Р4 |
Р5 |
||||
1 |
Р3 |
0 |
13 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
Р4 |
0 |
6 |
1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
Р5 |
0 |
9 |
-3 |
1 |
0 |
0 |
1 |
4 |
|
|
|
-3 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Р3 |
0 |
7 |
0 |
2 |
1 |
-1 |
0 |
2 |
Р1 |
3 |
6 |
1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
Р5 |
0 |
27 |
0 |
-2 |
0 |
3 |
1 |
4 |
|
|
18 |
0 |
-5 |
0 |
3 |
0 |
1 |
Р2 |
2 |
7/2 |
0 |
1 |
1/2 |
-1/2 |
0 |
2 |
Р1 |
3 |
19/2 |
1 |
0 |
1/2 |
1/2 |
0 |
3 |
Р5 |
0 |
34 |
0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
4 |
|
|
71/2 |
0 |
0 |
5/2 |
1/2 |
0 |
Найденный оптимальный план Х = (19/2;7/2; 0; 0; 34) задачи (6)-(8) не является оптимальным планом задачи (6) - (9), т.к. x1, x2 . При этом дробные части этих чисел равны между собой. Поэтому для одной из этих переменных составляется дополнительное ограничение. Составим, например, такое ограничение для переменной x2.
Таким образом, к системе ограничений задачи (6) - (8) добавляем неравенство
или
т.е.
В конечном виде:
.
С учётом последнего уравнения решаем полученную ЗЛП двойственным симплекс-методом.
i |
базис |
Сб |
Р0 |
3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Р1 |
Р2 |
Р3 |
Р4 |
Р5 |
Р6 |
||||
1 |
Р2 |
2 |
7/2 |
0 |
1 |
1/2 |
-1/2 |
0 |
0 |
2 |
Р1 |
3 |
19/2 |
1 |
0 |
1/2 |
1/2 |
0 |
0 |
3 |
Р5 |
0 |
34 |
-0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
0 |
4 |
Р6 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
0 |
1 |
5 |
|
|
71/2 |
0 |
0 |
5/2 |
1/2 |
0 |
0 |
1 |
Р2 |
2 |
4 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
-1/2 |
2 |
Р1 |
3 |
9 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
3 |
Р5 |
0 |
32 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
4 |
Р4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
5 |
|
|
35 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
1/2 |
θo=min .
X* = (9;4;0;1;32) - оптимальный план исходной задачи ЦЛП.
Fmax=35.
Дадим геометрическую интерпретацию решения задачи. Для этого запишем исходную задачу в виде общей ЗЛП:
Областью допустимых решений задачи (6) - (8) является многоугольник ОАВСД. Из рисунка видно, что максимальное значение целевая функция принимает в точке С(19/2; 7/2), т.е. что X=(19/2; 7/2; 0; 0; 34) является оптимальным планом.
Так как X = (19/2; 7/2; 0; 0; 34) не является оптимальным планом задачи (6) - (9), то вводится дополнительное ограничение . Выразим переменные x3 и x4 из первых двух уравнений системы (7).
Подставим полученные значения в неравенство (10).
Этому неравенству соответствует полуплоскость, ограниченная прямой x1 = 9, отсекающей от многоугольника ОАВСД треугольник EFC.
Как видно из рисунка, ОДР полученной задачи является многоугольник ОАВЕFД. В точке Е(9;4) этого многоугольника целевая функция данной задачи принимает максимальное значение. Так как координаты точки Е - целые числа и неизвестные х3, х4, х5 принимают целочисленные значения при подстановке в уравнения системы (7) значений x1 = 9 и х2 = 4, то X* = = (9; 4; 0; 1; 32) является оптимальным планом задачи (6) - (9).