Глава 3. Имитационное моделирование

1. Основные понятия

Имитационное моделирование – это попытка дублировать особенности, внешний вид и характеристики реальной системы.

Задача имитационного моделирования состоит в имитации функционирования этой системы в различных возможных ситуациях на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей её элементов.

При использовании имитационного моделирования, прежде всего, строится математическая модель изучаемой системы. Затем проводится сравнительный анализ конкретных вариантов её функционирования путём “проигрывания” различных возможных вариантов на модели. Реальная система при этом не подвергается воздействию до тех пор, пока преимущества или недостатки тех или иных управленческих решений не будут оценены с помощью математической модели этой системы.

Типы имитационных моделей.

1. Непрерывные модели – используются для систем, поведение которых изменяется непрерывно во времени. Типичным примером непрерывной имитационной модели является изучение динамики народонаселения мира.

2. Дискретные модели – имеют дело с системами, поведение которых изменяется лишь в заданные моменты времени. Типичными примерами таких моделей являются модели СМО.

Наиболее часто в практических построениях используются дискретные модели.

2. Принципы построения дискретных имитационных моделей

Так как по своей сути имитационное моделирование представляет собой вычислительный эксперимент, то его наблюдаемые результаты в совокупности должны обладать свойствами реализации случайной выборки. Лишь в этом случае будет обеспечена корректная статистическая интерпретация моделируемой системы. Поскольку основной целью при этом является получение данных с возможно меньшей ошибкой, то для достижения этой цели можно:

1. Увеличить длительность времени имитационного моделирования процесса функционирования изучаемой системы;

б) При фиксированной длительности времени имитационного моделирования провести несколько вычислительных экспериментов, называемых прогонами имитационной модели с различными наборами исходных данных, формируемых случайным образом, каждый из которых даёт одно наблюдение.

3. Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний)

Основная идея этого метода заключается в использовании случайных выборок для получения искомых оценок. В свою очередь, процесс получения случайных выборок предполагает, что исходная задача была формализована с учётом соответствующих законов распределений входящих случайных величин.

В основе имитационного моделирования случайных событий и случайных величин лежит реализация равномерно распределённых на отрезке [0;1] случайных величин. Для её получения используются различные алгоритмические методы. Среди них наиболее распространен метод мультипликативных конгруэнций. Два числа называются конгруэнтными по модулю (или равными по модулю ), при этом записывается , если число является кратным , то есть делится на него без остатка. В качестве числа можно взять, например остаток от деления на .

Пример. Пусть и . Тогда и .Если взять , то и .

Метод мультипликативных конгруэнций состоит в получении числовой последовательности , в которой - входные параметры. Полученные таким образом числа не являются истинно случайными, т.к. они могут быть определены заранее, поэтому они называются псевдослучайными. Реализация этого метода приводит к тому, что числа с какого-то момента начинают повторяться. Поэтому входные параметры подбирают так, чтобы количество псевдослучайных чисел до того, как они начнут повторяться, было достаточно большим: его должно хватать для одного полного прогона имитационной модели.

Если нужно найти псевдослучайные числа, равномерно распределённые в произвольном отрезке , то производят преобразование отрезка в отрезок .Произвольная точка находится по формуле , где

Для практической реализации метода Монте-Карло существуют таблицы псевдослучайных чисел.

Имитационное моделирование с помощью метода Монте-Карло состоит из 5 простых этапов.

1. Установление распределения вероятностей для стохастических переменных.

2. Построение функций распределения (интегрального распределения вероятностей) для всех переменных.

3. Установление интервала случайных чисел для каждой переменной, при этом удобнее иметь дело не с дробными значениями границ интервалов, в которые попадёт псевдослучайное число, а с их целочисленными значениями. Чтобы получить целые значения границ интервалов, достаточно умножить все значения вероятностей на , где Минимальное значение равно максимальной точности (максимальному числу знаков после десятичной запятой) вероятностей - число возможных событий. Например, если то , т.е. все надо умножить на 10³. Таким образом, определяет длину интервала значений рассматриваемой случайной величины в имитационной модели.

4. Генерация псевдослучайных чисел.

5. Имитационное моделирование путём многих попыток.

Очевидно, что с увеличением числа испытаний точность моделирования должна возрастать. Точность статистических оценок параметров реальной системы зависит от числа наблюдений. Ввиду того, что увеличение объёма связано с ростом затрат на моделирование, важно уметь определять минимальное число испытаний, необходимое для достижения заданной точности оценки с заданной вероятностью.

Пусть значения представляют собой результаты последовательных измерений значений случайной величины во время одного и того же прогона имитационного моделирования. Среднее по времени значение определяется выражением Обозначим через математическое ожидание случайной величины . Тогда для достаточно большого получаем

Оценка дисперсии имеет вид , где - дисперсия случайной величины .

Для оценки качества результатов, полученных методом Монте-Карло при неизвестной дисперсии наблюдаемой случайной величины, предположим, что - характеристика, которая должна быть определена (вероятность события, математическое ожидание, дисперсия и т.п.), а - её значение, уточняемое по мере накопления данных, остающееся случайным вследствие ограниченности числа проведённых наблюдений. В этих условиях можно говорить о вероятности по отношению к интересующей нас характеристике. Величина представляет собой погрешность в оценке , а - некоторый допустимый её предел. Искомая вероятность оценивается с помощью неравенства Чебышёва , следовательно, , откуда при заданных и , и при известной зависимости можно найти предельно необходимое

Известно, что истинная дисперсия выборочного распределения для расчётного среднего обратно пропорциональна суммарному числу то есть где не зависит от В начале процесса имитационного моделирования требуемое число наблюдений определить обычно не удаётся, т.к. не известно. Поэтому, как правило, эксперимент проводят в два этапа. На первом этапе число испытаний выбирается относительно небольшим, в результате определяется величина . После этого можно уже определить, сколько дополнительных наблюдений необходимо, чтобы была достигнута требуемая точность.

Предельное число наблюдений определяется формулой:

При любом числе наблюдений больше обеспечивается требуемая точность.