- •Математические методы исследования операций и теории иГр
- •Введение
- •Глава 1. Задачи линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования (злп)
- •2. Графический метод решения злп
- •3. Симплекс – метод решения злп
- •Метод искусственного базиса
- •Двойственные злп
- •Двойственный симплекс-метод
- •Алгоритм двойственного симплекс-метода.
- •Метод ветвей и границ решения задачи цлп
- •Алгоритм метода ветвей и границ
- •Оптимальность по Парето
- •Множество Парето
- •Постановка задачи
- •Метод идеальной точки
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 2. Теория игр
- •1. Основные понятия теории игр
- •Принцип доминирования
- •2. Задачи теории игр и линейное программирование
- •3. Игры с природой
- •Применение матричных игр в прикладных задачах
- •Переговоры о заключении контракта между профсоюзом и администрацией
- •Локальный конфликт
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 3. Имитационное моделирование
- •Основные понятия
- •Типы имитационных моделей.
- •Принципы построения дискретных имитационных моделей
- •Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний)
- •Применение имитационных моделей в системах массового обслуживания
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 4. Сетевое планирование
- •1. Сетевой график
- •Оптимизация пути на сети
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •3 94026 Воронеж, Московский просп., 14
2. Задачи теории игр и линейное программирование
.
Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования
Рассмотрим игру m×n, определяемую матрицей
Чтобы найти решение данной игры, определяемой матрицей А, нужно составить следующую пару задач и найти их решение.
Прямая задача.
.
Двойственная задача.
.
Используя решение пары двойственных задач, находятся цена игры и оптимальные стратегии игроков по формулам:
,
.
Пример. Найти решение игры, определяемой матрицей:
.
Решение.
Составим двойственную пару задач линейного программирования (ЗЛП).
Прямая задача.
.
В каноническом виде:
.
Двойственная задача.
.
Находим симплекс-методом оптимальные планы прямой и двойственной задач.
i |
Базис |
cб |
Р0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
||||
1 |
Р4 |
0 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
Р5 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
Р6 |
0 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
4 |
|
|
0 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Р4 |
0 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
Р3 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
3 |
Р6 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
4 |
|
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Р2 |
1 |
1/2 |
1/2 |
1 |
0 |
1/2 |
0 |
0 |
2 |
Р3 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
3 |
Р6 |
0 |
1/2 |
3/2 |
0 |
0 |
-1/2 |
0 |
0 |
4 |
|
|
3/2 |
1/2 |
0 |
0 |
1/2 |
1 |
1 |
; .
Сведение ЗЛП к матричной игре
Если ЗЛП имеет вид:
при ограничениях
,
то соответствующая ей матричная игра определяется квадратной блочной платёжной матрицей порядка m+n+1 вида
,
где Аm×n – матрица коэффициентов при неизвестных системы ограничений ЗЛП; Вm×1 – вектор-столбец свободных членов системы ограничений ЗЛП; С1×n – вектор-строка коэффициентов при неизвестных целевой функции; - матрицы, транспонированные к А, В, С, (Θ1) n×m, (Θ2)m×n, (Θ3)1×1 – нулевые матрицы (Θ3 = 0).
Пример. Построить матричную игру, заданную ЗЛП:
при ограничениях
.
Решение. Обозначим:
; , С = (2 3). Тогда
; = (10 12); ; ; ;
Θ3 = 0; m+n+1 = 2 + 2 + 1 = 5.
Игру, определяемую данной ЗЛП, можно записать матрицей:
.