ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

А.В. Ряжских

А.Н. Шелковой

Математические методы исследования операций и теории иГр

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2015

УДК 519.617 (075.8)

Ряжских А.В. Математические методы исследования операций и теории игр: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, граф. данные (3,2 Мб) / А.В. Ряжских, А.Н. Шелковой. Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015. – 1 электрон. диск (CD-ROM). – Систем. требования: ПК 500 и выше ; 256 Мб ОЗУ ; Windows XP ; MS Word 2007 или более поздняя версия ; 1024×768 ; CD-ROM ; мышь. Загл. с экрана.

Настоящее учебное пособие состоит из четырёх глав: первая глава посвящена задачам линейного программирования, во второй главе рассматриваются вопросы теории игр, в третьей главе – имитационное моделирование, в четвёртой главе рассматриваются задачи сетевого планирования.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 090303.65 «Информационная безопасность автоматизированных систем», дисциплине «Исследование операций и теория игр».

Табл. 2. Ил. 24. Библиогр.: 23 назв.

Рецензенты: кафедра нелинейных колебаний

Воронежского государственного уни-

верситета

(д-р физ.-мат. наук, проф. А.Г. Баскаков);

д-р техн. наук, проф. О.Н. Чопоров

 Ряжских А.В., Шелковой А.Н., 2015

 Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский

государственный технический университет», 2015

Введение

Это учебное пособие написано на основе лекций, читаемых одним из авторов на факультете информационных технологий и компьютерной безопасности ВГТУ по курсу «Исследование операций и теория игр».

В пособии изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования: задачи линейного программирования, вопросы теории игр, имитационное моделирование, задачи сетевого планирования. Такой объём знаний актуален сегодня для студентов, получающих образование по специальностям в области защиты информации, и соответствует требованиям государственных стандартов по этим специальностям.

Изложение материала проведено почти без доказательств – основной упор сделан на приобретение навыков использования математического аппарата. Каждый раздел сопровождается решением характерных задач и соответствующих приложений. Пособие содержит также подборку вопросов для повторения, задач и упражнений для самостоятельного решения по каждой теме.

Глава 1. Задачи линейного программирования

1. Постановка задачи линейного программирования (злп)

Линейное программирование - наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений. Математическое выражение целевой функции и её ограничений называется математической моделью задачи.

В общем виде ЗЛП ставится следующим образом (общая ЗЛП): найти максимум (минимум) функции

(1)

при ограничениях

(2)

где ( ) - управляющие переменные или решения задачи

(1)-(2), а_ij, b_i, с_j, i= , j= , - заданные числа (параметры), F-целевая функция или критерий эффективности (оптимальности) задачи.

Функция (1) - линейная, ограничения (2) - линейные. Задача содержит n переменных и m ограничений.

Решить ЗЛП - это значит найти значения управляющих переменных x_j, j= , удовлетворяющих ограничения (2), при которых целевая функция (1) принимает экстремальное значение.

Основной (канонической) ЗЛП называется задача, состоящая в определении максимума целевой функции при ограничениях, заданных равенствами и .

Допустимым решением (планом) ЗЛП называется вектор X=(x_1, x₂, …, x_n), удовлетворяющий системе ограничений (2).

Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР).

Допустимое решение Х^*= , при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением ЗЛП.