Учебное пособие 2214

ВЫПУСК № 2 (16), 2019

ISSN 2618-7167

Многие задачи, с5 которыми приходит-

практически невозможно решить в символь-

ся сталкиваться как в школьном, так и в ву-

ном виде. К таким уравнениям относятся

зовском курсе математики, задаются и ре-

трансцендентные уравнения, такие, напри-

шаются в символьном виде. В результате

мер, как 2 = 3 ∙ , + = ,

= и

преобразований

выражения приводятся к

т. д.

аналитическому виду.

Например, при реше-

Трансцендентное уравнение

представ-

нии квадратного уравнения находят дискри-

ляет собой уравнение, которое состоит из

минант или используют формулы Виета. Для

трансцендентной функции (иррациональные,

биквадратных уравнений квадрат

искомой

логарифмические, показательные, тригоно-

переменной заменяют новой переменной, и в

метрические и обратные тригонометриче-

результате получается квадратное уравне-

ские) от неизвестного (переменного), напри-

ние. Многие уравнения решаются заменой

мер, уравнения. При решении многих задач

выражения на новую переменную. Напри-

часто прибегают к различным математиче-

мер,

при

решении

возвратных уравнений

ским функциям, которые помогают облег-

1

чить численные и алгебраические вычисле-

четвёртой

степени

для выражения +

ния. В настоящее время в преподавании раз-

вводят новую переменную и т. д. Но суще-

личных научных дисциплин широко исполь-

ствует

целый

класс

уравнений,

которые

зуются специализированные математические

математической обработки в последнее вре-

шении

уже уравнения = с разнород-

мя всё больше начинают использовать не

ными функциями (показательной и степен-

только в математике.

Например, в экономи-

ной),

где

> 0 −

вещественное

число,

ческих науках без математических расчётов

> 0 − переменная,

возникают трудности.

и исследований практически

невозможно

Это уравнение нельзя решить традиционны-

обойтись. В процессе решения той или иной

ми приёмами символьной алгебры, с помо-

задачи с помощью специализированных ма-

щью которых решаются логарифмические и

тематических

продуктов

нередко

можно

показательные уравнения. Трансцендентные

встретить новые специальные функции. Од-

уравнения и неравенства играют важную

ной из таких функций является функция

роль в формировании логического мышле-

Ламберта, обозначаемая . Функция Лам-

ния и математической культуры у обучаю-

берта названа в честь немецкого математика,

щихся. Но их решение вызывает затрудне-

оптика и философа

Иоганна-Генриха Лам-

ние, так как задания такого типа редко пред-

берта, создателя фотометрии и закрывшего

ставлены в базовых курсах математики. Пре-

вопрос о квадратуре круга, доказав иррацио-

1

образуем

уравнение

= ,

( )

=

нальность числа . [1]

1

) = , = , где

1

Функция Ламберта своё имя впер-

, (

=

.

Уравне-

вые получила в начале 80-х годов XX века,

ние вида

= появляется, например, при

когда в программе

Maple была

описана

нахождении предела рекуррентно заданной

последовательности

=

функция, которая называлась [2]. В насто-

−1. Если после-

ящее время эта функция получила широкое

довательность имеет предел, то он является

применение в различных областях математи-

одним из корней уравнения = .

ки и физики. Данная функция позволяет ре-

Здесь на помощь приходит веществен-

шить ряд задач, которые нельзя решить эле-

ная функция Ламберта, изучение которой не

ментарными методами. Школьные и вузов-

предусмотрено ни в школьном курсе мате-

ские учебники и учебные пособия мало уде-

матики, ни в вузовском.

Вещественная

ляют внимания решению задач аналитиче-

функция Ламберта ( )

задается в неяв-

скими методами. Обычно для нахождения

ном виде, которая определяется как решение

корней уравнения в виде выражения, требу-

функционального уравнения ( ) ∙ ( ) =

ется выразить одну переменную через все

.

Функция Ламберта есть функция, обрат-

остальные переменные и коэффициенты.

ная

к

функции =

∙ , что позволяет

Сделать это можно не всегда, а только в том

установить её свойства и представить внеш-

случае, если уравнение не содержит разно-

ний вид графика.

родных функций.

Показательные

и

логарифмические

уравнения и неравенства занимают цен-

тральное место в программе школьного кур-

са математики наряду с такими разделами,

как тригонометрия, производная и её прило-

жения. Различные методы решения показа-

тельных и логарифмических уравнений по-

дробно рассмотрены в различных школьных

учебниках.

Уравнения,

где

неизвестное

ВЫПУСК № 2 (16), 2019

ISSN 2618-7167

Данная функция ни является ни чётной,

0( ) называется основной и проходит че-

ни

нечётной.,

определена

в

интервале

рез начало координат. Нижняя ветвь −1( )

(−

1

; +∞) и принимает значения (−∞; +∞).

имеет точку перегиба (−

1

; −2) и верти-

2

Для

отрицательных

значений

аргумента

кальную асимптоту при = 0 [1]

1

Перечислим некоторые значения

и

функция двузначна. Точка (−

; −1) делит

простейшие свойства данной функции,

по-

график на две ветви:

верхнюю 0( ) и

дробно описанные в [1, 2, 3].

нижнюю −1( ) так, что обе ветви имеют

вертикальную

касательную.

Верхняя ветвь

) ∙ (−

) = −

1

4. (−

(−

) = − при

< < .

Рассмотрим примеры некоторых урав-

что ( ) =

′

( ) =

1−

нений, где можно ввести функцию Ламберта

. Пусть ≠ .

2

.

[4].

При 0 < <

′( ) > 0 .

При

>

′( ) < 0 .

Значит, ( ) возрастает

при

1.

Уравнение

вида ∙

=

имеет

(0; ] и убывает при [ ; +∞). Поэтому

корень = ∙ , где ( ) = .

2.

Если

∙ ∙ = ,

то ( ) = .

функция на каждом из полученных интерва-

Данное

уравнение

решается

легко:

∙

лов принимает каждое значение только один

раз, т.

е., для каждого

может найтись не

∙ = , ∙ ∙ − = 0, ∙ ( ∙ − 1) =

0. Один корень 1 = 0. Второй находим из

более

одного

значения

, удовлетворяю-

щего уравнению в паре с этим значением .

уравнения

∙ − 1 = 0, ∙ = 1, +

= 0, 2 = −

.

Приходим

к

выводу, что уравнение

= , где > 0 − вещественное

число,

3.

Пусть

дано

уравнение ∙ = .

> 0 имеет один корень = или два кор-

Тогда ( ) = ,

= .

ня, причём 1 = . Если уравнение имеет два

4.

Если ( ) = , то = ∙ .

корня,

то равенство ( ) = ( )

может

5. Ели ( ) = , то = + .

выполняться

только

при

условии 0 < 1 <

6.

Если ( ) = , то

= .

< 2

или

0< 2

< < 1

,

где 1

= .

Рассмотрим уравнение

вида = ,

Пусть уравнение имеет два различных корня.

где > 0 − вещественное число,

− пере-

Положим 2

= ∙ 1 = ∙ .

Тогда имеем:

менная,

> 0. Преобразуем

исходное ра-

( ) = ( ∙ ) =

( ∙ )

=

, ( ∙ ) =

2

венство:

=

,

∙ = ∙ ,

=

∙ , ( ∙ ) = ∙ = ,

т. е.,

2 = . Получили, что если исходное урав-

функцию ( )

.

Введём

=

. Найдём

нение имеет два корня 1 и 2, то тогда спра-

значения ,

при которых

( ) =

.

Оче-

ведливо равенство

= ∙ ,

где

= ∙

2

1 = ∙ . Если

уравнение = ∙

отно-

видно,

что ( ) =

при = .

Так как

сительно p имеет

корень, отличный от 1,

( ) =

, то

нужно найти такие значения

тогда и исходное уравнение =

имеет

корень, отличный от .

, при которых ( ) = ( ). Выясним, имеет

ли уравнение корни, отличные от . Для это-

Рассмотрим две функции ( ) = и

( , ) = ∙

.

Показательная

функция

го попытаемся найти

значения ≠ ,

такие,

( ) = является возрастающей при > 1

и убывающей при 0 < < 1. Заметим,

что

тью координатную четверти.

Если 0 < <

все

прямые вида = + ( − ) полу-

1, то функция ( ) = будет убывающей.

0

0

( , ) = ∙ является

чаются

друг из друга поворотом на некото-

Так как

функция

рый угол относительно точки (

; ) [5].

возрастающей, то уравнение = ∙ имеет

0

0

Поэтому все прямые ( , ) = ∙ при раз-

один корень т. е.,

= 1 .

Следовательно,

личных значениях переходят друг в друга с

уравнение =

,

где

0 < < 1 имеет

помощью поворота вокруг начала координат,

один

корень = .

Например,

уравнение

т. е.,

представляет собой семейство прямых,

(0,5) = √ имеет корень = 0,5.

проходящих через начало координат.

Если > 1,

то функция ( ) = бу-

Любая прямая, проходящая через нача-

дет возрастающей. Выясним в каком случае

ло координат, будет пересекать первую и

графики функций ( ) = и ( , ) = ∙

третью координатные четверти, либо вторую

имеют одну общую точку.

и четвёртую. Так как > 0 и > 0,

то гра-

Выберем

из

семейства

функций

фиком

функции

( , ) = ∙

является

( , ) = ∙ прямую, имеющую

с графи-

часть прямой проходящей через первую и

ком функции ( ) = одну общую точку.

третью координатные четверти и лежащая в

В этом

случае

уравнение =

будет

первой четверти. Функция ( , ) = ∙ яв-

иметь один

корень = и = 1 . Прямая

ляется возрастающей. В этом случае она мо-

( , ) = ∙ будет являться касательной к

жет не иметь общих точек, иметь одну

или

графику функции ( ) = .

Найдём урав-

две общие точки с

кривой ( ) = .

Нас

нение касательной по формуле = (0) +

интересует

случай,

когда прямая

имеет с

′(

) ∙ ( −

).

Так

как

( )

= 0,

кривой одну или две общие точки. Параметр

0

) = 0

0

0

′(

∙ , то уравнение касательной

является угловым коэффициентом для лю-

0

) = 0

= 0 + 0 ∙ ∙ ( −

∙ ∙ +

бой из прямых

( , ) = ∙ , т. е. = ,

0(1 − ∙

0

). Если прямая ( , ) = ∙

где

−

угол,

образованный

прямой

0

есть касательная к графику ( ) =

, то в

( , ) = ∙

с положительным направле-

этом случае получаем систему уравнений

нием оси абсцисс. Пусть семейство прямых

( , ) = ∙ проходит через первую и тре-

0 ∙ = ,

0 ∙ = ,

0

∙ = ,

{

{

{

1

0(1 − ∙ 0) = 0;

1 − ∙ 0 = 0;

=

.

0

ВЫПУСК № 2 (16), 2019

ISSN 2618-7167

чество профессиональных задач.

быстрого копирования, перемещения, пере-

В поиске эффектных форм зданий и со-

дачи или размещения в сети Интернет.

оружений специалисты строительного про-

В

университете

реализована

система

филя

привлекают

множество

современных

непрерывного образования в области ин-

научных и технических достижений, фило-

формационных технологий, которая обеспе-

софских идей и художественно - стилистиче-

чивает многоуровневое обучение и освоение

ских инноваций и, как следствие, вырабаты-

студентами строительного профиля IT дис-

вают новые подходы в проектировании и

циплин.

строительстве.

На первоначальном этапе для бакалав-

Современные информационные техно-

ров по направлению подготовки 08.03.01

логии взяли на себя роль определяющих в

Строительство в учебном плане содержатся

организации процессов практической про-

такие дисциплины, как информатика и ком-

фессиональной деятельности. Благодаря IT-

пьютерная и инженерная графика. Рассмот-

сфере

и

многочисленным компьютерным

рим на примере профиль «Экспертиза и

программам по виртуальному моделирова-

управление недвижимостью».

нию, строители-проектировщики вооружены

Согласно учебному плану по програм-

новыми инструментами, связанными с но-

ме бакалавриата направление 08.03.01 Стро-

выми возможностями 3D-моделирования в

ительство профиль «Экспертиза и управле-

построении архитектурных форм [1].

ние недвижимостью», утвержденного ректо-

Концепция информационного модели-

ром ВГТУ «Протокол №11 от 27.04.2018 го-

рования зданий в корне меняет представле-

да», соответствующему Федеральному госу-

ние о роли вычислительной техники в архи-

дарственному

образовательному стандарту

тектурном проектировании. Компьютер ис-

№481 от 31.05.2017 [6] выпускники должны

пользуется не только для подготовки набора

обладать следующими видами профессио-

электронных чертежей и спецификаций, но и

нальной деятельности:

для создания единой информационной моде-

технологической;

ли здания.

организационно-управленческой;

Воронежский

государственный техни-

экспертно-аналитической.

ческий университет в течение нескольких

Эти виды деятельности выделены на

лет активно использует информационно-

основе области профессиональной деятель-

программное обеспечение в подготовке спе-

ности

«Строительство

и

жилищно-

циалистов профиля «Строительство». В ходе

коммунальное хозяйство» код 16 и на основе

анализа использования «цифровых» техно-

профессиональных стандартов [2, 3]:

логий в профессиональной подготовке сту-

Приказ

Минтруда

России

от

дентов строительной специальности был по-

11.04.2014 N 233н "Об утверждении профес-

казан высокий уровень позитивного влияния

сионального

стандарта

"Специалист

по

на обучение. Увеличилась скорость и каче-

управлению жилищным

фондом"

(Зареги-

ство выполнения работ и проектов с помо-

стрировано в Минюсте России 03.07.2014 N

щью специально разработанных компьютер-

32945). Код 16.009.

ных программ, используемых в образова-

Приказ

Минтруда

России

от

тельном

процессе. Значительно облегчился

11.04.2014 N 236н "Об утверждении профес-

доступ к информации, что также экономит

сионального

стандарта

"Специалист

по

время

непосредственно для

творчества.

управлению многоквартирным

домом"

(За-

Важную роль играет и компактность проек-

регистрировано

в

Минюсте

России

тов, так как их удобно размещать на элек-

02.06.2014 N 32532). Код 16.018.

тронных носителях. К преимуществам мож-

В учебном процессе широко использу-

но также отнести широкий выбор цветовых

ются как традиционные, так и активные ме-

решений

проекта,

а также

возможность

тоды обучения. Положительно

сказывается

ВЫПУСК № 2 (16), 2019

ISSN 2618-7167

включение в учебный процесс занятий с ис-

недвижимостью», согласно учебному плану

пользованием специальных

компьютерных

специальности относятся: информатика, ин-

программ: расчеты материальных ресурсов

женерная и компьютерная графика. Эти дис-

для строительства, проектирование земля-

циплины входят в обязательную часть обра-

ных работ, тест-программы для проведения

зовательной программы. Обязательная часть

зачетов и экзаменов и т.д.

образовательной программы формирует об-

К

дисциплинам

компьютерно-

щепрофессиональные и профессиональные

графической направленности, организую-

компетенции, а также в этой часть могут

щим информационную дисциплину для сту-

быть сформированы универсальные компе-

дентов профиля «Экспертиза и управление

тенции (рис. 1) [6].

Согласно учебному плану по програм-

го специалиста. Студент уже на начальном

ме бакалавриата направление 08.03.01 Стро-

этапе своей подготовки получает пропедев-

ительство профиль «Экспертиза и управле-

тические знания по использованию методов

ние недвижимостью» ведется дисциплина

и средств информатики в профессиональной

«Информатика». На эту дисциплину отво-

деятельности. Такой эффект достигается в

дится 4 зачетные единицы (144 ч), препода-

условиях решения в курсе информатики за-

ется дисциплина на 1 курсе во втором се-

дач с техническим содержанием. Использо-

местре и на 2 курсе в третьем семестре.

вание в обучении таких задач сформирует

Обучение информатике ориентировано

положительную мотивацию у студентов при

на профессиональную деятельность будуще-

изучении курса информатики, так как буду-

щие специалисты

технического профиля

ских моделей и применению других инстру-

должны

ориентироваться в

предметных

ментов, необходимых для автоматизирован-

средствах информатики, подбирать из них

ного проектирования отдельных деталей,

все необходимое для решения производ-

устройств и технических систем. На этом

ственных проблем [4].

этапе происходит осознание студентами зна-

Процесс освоения дисциплины «Ин-

чимости

информационной

составляющей

форматика» направлен на формирование

образования как необходимого компонента

следующих компетенций: Системное и кри-

инженерно-технической подготовки, а также

тическое мышление. Способен осуществлять

активное

формирование

предметно-

поиск, критический анализ и синтез инфор-

практической

и

информационно-

мации, применять системный подход для

теоретической составляющей

компетентно-

решения поставленных задач (УК-1).

сти, мотивационной ориентации и представ-

В

результате

освоения

дисциплины

лений о связи информационных технологий

обучающийся должен:

с профессиональной деятельностью.

знать основные понятия информати-

Процесс освоения дисциплины «Ком-

ки, современные средства вычислительной

пьютерная и инженерная графика» направ-

техники, основы алгоритмического языка и

лен на формирование следующих компетен-

технологию составления программ;

ций: Информационная культура. Способен

уметь работать на персональном ком-

вести обработку, анализ и представление

пьютере, пользоваться операционной систе-

информации в профессиональной деятельно-

мой и основными офисными приложениями;

сти с использованием информационных и

владеть методами практического ис-

компьютерных технологий (ОПК-2).

пользования современных компьютеров для

В

результате

освоения дисциплины

поиска, хранения, обработки и анализа ин-

обучающийся должен:

формации, основами применения численных

Знать:

методов в решении инженерных задач.

o основы и методы построения графи-

Также согласно учебному плану по

ческих изображений; способы решения на

программе

бакалавриата

направление

чертежах основных метрических и позици-

08.03.01 Строительство профиль «Эксперти-

онных задач;

за и управление недвижимостью» ведется

o методы построения эскизов, черте-

дисциплина «Компьютерная и инженерная

жей и технических рисунков стандартных

графика». На эту дисциплину отводится 6

деталей, разъемных и неразъемных соедине-

зачетные единицы (216 ч), преподается дис-

ний;

циплина на 1 курсе в первом и втором се-

o построение и чтение сборочных чер-

местрах. Курсовой проект и курсовая работа

тежей общего вида и строительных черте-

учебным планом не предусмотрены.

жей;

При изучении дисциплины «Компью-

o методы и средства автоматизации

терная и инженерная графика» студенты по-

выполнения и оформления проектнокон-

лучают первые навыки с системами автома-

структорской документации;

тизированного проектирования AutоCAD и

o тенденции

развития

компьютерной

готовятся к комплексному применению ин-

графики, ее роль и значение в инженерных

формационных технологий в профессио-

системах и прикладных программах.

нальной деятельности.

Уметь:

Студенты обучаются

применению

o пространственно мыслить, мыслен-

средств выполнения инженерных расчетов,

но представлять форму предметов и их вза-

методов оптимизации, проверки статистиче-

имное положение в пространстве;

ских гипотез; средствам визуализации объ-

o уметь читать и составлять графиче-

ектов проектирования, синтеза математиче-

скую и

текстовую

конструкторскую доку-

ВЫПУСК № 2 (16), 2019

ISSN 2618-7167

ментацию в соответствии с требованиями

Осуществляя подготовку специалистов

стандартов;

строительного профиля, в соответствии с

o использовать для решения типовых

требованиями ФГОС 3++, университет ори-

задач методы и средства геометрического

ентируется и на требования работодателей –

моделирования;

проектных организаций, где студенты про-

o проводить обоснованный выбор и

ходят практику.

комплексирование средств компьютерной

Опыт подготовки студентов - строите-

графики;

лей и положительные рекомендации работо-

o пользоваться графическими про-

дателей подтверждают, что, в современном

граммными средствами для оформления

образовательном пространстве помимо ис-

конструкторской и проектной документации.

пользования традиционных

академических

Владеть:

методов черчения и рисования, необходимо

o методами и средствами построения

использование новейших

компьютерных

графических изображений;

технологий. Это способствует гармоничному

o навыками работы на компьютерной

формированию необходимых для будущего

технике с графическими пакетами для полу-

инженера-строителя качеств, предъявляемых

чения конструкторских, технологических и

к уровню подготовки на современном этапе

других документов.

развития строительного образования (рис. 2).

Следовательно, в наши дни, недоста-

тами. Необходимо также формировать у них

точно просто обучать студентов техническо-

«цифровую» компетентность, которая спо-

го профиля работе с компьютером и различ-

собствует формированию потребности при-

ными прикладными программными продук-

менять полученные знания в своей практиче-