Учебное пособие 2200
.pdf
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
УДК 517.22
ТЕОРЕМЫ КОШИ И ЛАГРАНЖА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ А.И. Глушков
Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова (Воронежский филиал)
Аннотация: Как правило, и теорема Лагранжа, и теорема Коши доказываются через теорему Ролля. Иногда доказывают теорему Лагранжа с использованием интегральной теоремы о среднем значении и с использованием формулы Ньютона-Лейбница. В статье рассмотрены доказательства теоремы Лагранжа и теоремы Коши о среднем значении без использования теоремы Ролля и без использования определѐнного интеграла
Ключевые слова: теорема Лагранжа, теорема Коши, теорема Ролля, формула Ньютона-Лейбница, среднее значение, вспомогательная функция, наименьшее и наибольшее значения функции
CAUCHY AND LAGRANGE MEAN VALUE THEOREMS
A.I. Glushkov
Russian University of Economics named after G.V. Plekhanov (Voronezh branch)
Abstract: As a rule, both Lagrange's theorem and Cauchy's theorem are proved through Rolle's theorem. Sometimes the Lagrange theorem is proved using the integral mean value theorem and using the Newton-Leibniz formula. The article considers the proofs of the Lagrange theorem and Cauchy's mean value theorem without using the Rolle theorem and without using a definite integral
Keywords: Lagrange's theorem, Cauchy's theorem, Rolle's theorem, Newton - Leibniz formula mean value, auxiliary function, smallest and largest values of the function
Теорема1 Лагранжа о среднем значении имеет множество приложений в математическом анализе, вычислительной математике,
экономике |
и |
других |
областях. |
||||
ма |
утверждает, |
что |
если |
функция |
|
||
( |
) непрерывна на отрезке [ |
] и диффе- |
|||||
ренцируема в каждой внутренней точке |
ин- |
||||||
тервала ( |
) то в этом интервале существу- |
||||||
ет |
хотя |
бы |
одна |
точка |
такая, |
что |
|
( |
) ( |
) |
( ) |
( |
). |
|
|
|
Данная |
теорема |
называется |
так- |
|||
же формулой |
конечных приращений, |
по- |
|||||
скольку она выражает приращение функции на отрезке через значение производной в промежуточной точке этого отрезка. Как правило, эта теорема доказывается через теорему Ролля или является следствием тео-
© Глушков А.И., 2020
ремы Коши, доказательство которой также опирается на теорему Ролля. Теорема Ролля утверждает, что любая действительная дифференцируемая функция, принимающая одинаковые значения на концах интервала, должна иметь в этом интервале хотя бы одну стационарную точку, т.е. точку, в которой первая производная равна нулю.
Для доказательства теоремы Лагранжа обычно вводится вспомогательная функция, которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля [1, 4]. В качестве вспомогательной функции можно взять одну из функций
( |
) |
|
( |
) |
( |
) |
( ) |
[ |
] или |
( ) |
( ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( |
) |
( |
) |
|
( ) |
|
|
( |
) [ |
|
] . Также |
в каче- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
стве таких функций можно взять функции |
||||||||||||||||
|
|
( |
) |
|
( |
) |
( ) |
|
( ) |
|
( |
) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
40
ВЫПУСК № 2 (20), 2020 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ISSN 2618-7167 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
) |
|
|
( ) |
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
|
( ) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
ся |
|
частным |
случаем |
теоремы |
Коши |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) не- |
при |
( ) |
. В свою очередь теорема Ролля |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Каждая |
|
из данных функций |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
представляет собой частный случай теоремы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прерывна на отрезке [ |
|
] |
дифференциру- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Лагранжа. |
Таким |
образом, теорема |
Коши |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ема на интервале ( |
|
) |
и имеет производ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
включает в себя в качестве частных случаев |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ную |
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
. Кроме того она |
теорему Ролля и теорему Лагранжа. Поэто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
принимает одинаковые значения на концах |
му, если доказать теорему Коши, без исполь- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отрезка [ |
|
]. |
|
|
|
Следовательно, |
для неѐ вы- |
зования теоремы Ролля, то теоремы Лагран- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полнены все условия теоремы Ролля. Тогда в |
жа и Ролля будут следствиями данной тео- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интервале ( |
|
|
|
) существует |
|
точка |
|
|
|
такая, |
ремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
что |
( ) |
|
|
. |
Отсюда следует, |
что |
|
|
( ) |
|
|
|
|
Теорему Лагранжа также можно полу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ) |
( ) |
( |
) |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
( |
) |
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|
чить, используя |
интегральную |
теорему о |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
среднем и формулу Ньютона-Лейбница. [4]. |
||||||||||||||||||||||
( ) |
( ) |
( |
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
о |
среднем |
утверждает, |
что |
если |
||||||||||||||||||
|
В некоторых учебниках по математи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
функция |
|
|
( |
) |
|
непрерывна |
|
на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ческому анализу сначала доказывается тео- |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ке [ |
] , то на этом отрезке существует та- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рема Коши, |
в частности в [3], |
|
утверждаю- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
кая |
|
точка |
, |
что |
справедлива |
формула |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щая, что если функции |
|
|
|
|
|
|
( |
) и |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
( |
) |
|
( ) |
( |
|
), |
причѐм |
( ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
непрерывны на отрезке [ |
|
|
|
|
|
] |
и дифферен- |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
цируемы в каждой внутренней точке |
интер- |
∫ |
( ) |
. Тогда, |
применяя формулу Ньюто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вала ( |
), |
причѐм |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
, |
тогда на |
|
|
ин- |
на-Лейбница и |
данную |
теорему, |
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||
тервале |
( |
|
|
) |
|
|
найдѐтся |
|
по |
|
крайней |
мере |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
( ) |
|
( ) |
|
( ) |
( ) ( |
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
одна точка |
|
|
|
|
, |
такая, что |
( |
) ( |
) |
) |
|
( |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
( ) |
( |
) |
( ) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
) |
|
|
( |
|
|
( |
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Данная |
теорема |
доказывается |
|
аналогично |
( |
|
), где ( ) - функция непрерывная на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теореме Лагранжа с помощью ввода вспомо- |
отрезке [ |
|
] и дифференцируемая в каждой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гательной функции, например, |
|
( |
|
) |
|
|
( ) |
|
|
внутренней точке |
интервала ( |
|
). Но тео- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ) |
|
( |
) |
|
( |
) |
|
|
( ( ) |
|
( |
)) [1, |
|
4]. Предва- |
рема Лагранжа относится к дифференциаль- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ному исчислению и используется при дока- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рительно доказав, |
что |
( |
) |
|
( |
) |
|
показыва- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
зательстве многих теорем дифференциально- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ют, |
что введѐнная функция |
|
удовлетворяет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
го исчисления, например, с помощью теоре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
всем условиям теоремы Ролля, |
|
т. |
|
е., |
суще- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
мы |
|
Лагранжа, достаточно легко |
получить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ствует такая точка |
, |
что |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
. Так как |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
достаточный признак монотонности функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
ции. |
Также используя |
теорему |
|
Лагранжа, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно получить формулу Ньютона- |
|||||||||||||||||||
( ) |
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
( ) |
|
|
|
|
( |
|
) |
( |
) |
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
Лейбница, не используя свойства определѐн- |
|||||||||||||||||||||
|
В частном случае, когда значения |
ного интеграла и не применяя интеграл с пе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
на |
|
|
|
|
|
|
концах |
ременным верхним пределом, который не |
||||||||||||||||||||||||||||
ка [ |
|
] равны, |
|
т.е., |
|
( |
) |
|
|
|
|
( ), из теоремы |
изучается в средних школах и в колледжах в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лагранжа |
|
вытекает, |
что |
|
|
на |
|
интерва- |
связи с сокращением часов на изучение ма- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ле ( |
) найдѐтся |
|
хотя бы одна точка |
|
|
тематики. Как правило, доказательства |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
такая, |
что |
|
( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
|
( ) |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
свойств определѐнного интеграла проводятся |
|||||||||||||||||||||||||||
( ) |
|
|
|
. |
Мы получаем теорему Ролля, ко- |
на основе его определения, т.е., свойств ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
торую можно рассматривать как частный |
нечных сумм и свойств пределов и не пред- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
случай теоремы Лагранжа, т.е., теорема |
ставляют сложности. Но если вывести фор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лагранжа |
|
является |
|
обобщением |
|
теоремы |
мулу Ньютона - Лейбница с помощью фор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ролля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мулы Лагранжа, то тогда легко доказать |
|||||||||||||||||
|
Аналогично, теорема Лагранжа являет- |
свойства определѐнного интеграла с исполь- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
41
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
зованием формулы Ньютона–Лейбница. Докажем теорему Коши без использо-
вания теоремы Ролля, которая будет следствием формулы конечных приращений.
Как и при использовании при доказательстве теоремы Ролля, также рассмотрим
вспомогательную |
|
|
|
функцию |
|
( |
) |
||||||||||||||
( ( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
( ) |
|
( ( |
) |
( ))) |
. |
При |
||||
|
|
|
( |
) |
|
( ) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
доказательстве |
|
с |
|
использованием |
теоремы |
||||||||||||||||
Ролля |
вводилась |
функция |
( |
) |
( |
) |
|||||||||||||||
( ) |
|
( ) ( ) |
|
|
|
( |
( ) |
|
( )). |
|
|
|
|
|
|||||||
( |
) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Еѐ производная имеет вид |
|
|
|
|||||||||||||||||
( |
) |
|
|
( ( |
|
) |
|
( |
) |
( |
) |
( ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
( |
) |
( ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( ( ) |
|
( ))) ( ( ) |
|
|
( ) |
( |
) |
( )) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
( ) |
( ) |
|||||||||||||||||
|
Для любого |
|
[ |
|
] справедливо нера- |
||||||||||||||||
венство |
|
( |
) |
|
|
|
|
, |
причѐм |
( |
) |
|
( |
) |
. |
||||||
Функция |
( |
) непрерывна на отрезке [ |
]. |
||||||||||||||||||
Значит, по второй теореме Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции, она достигает на нѐм своих нижней и верхней граней, то есть, достигает на отрезке своего наименьшего и наибольшего значений. Наименьшее и наибольшее значения функцией достигаются на концах отрезка или в точках экстремума. Если функция ( ) имеет на данном отрезке точки экстремума, то производная функции в этих точках равна нулю, так как функция имеет производную в
каждой точке интервала ( |
). |
|
|
Так как ( ) |
, то |
[ ] ( ) |
и |
достигается он на концах отрезка, поскольку
( |
) |
( |
) |
. Если |
|
( ) |
, |
то |
( |
) |
(это |
следует |
из |
условия |
( |
) |
|
( |
) |
) |
для любого |
[ |
]. Следователь- |
|||
но, если |
( |
) является константой на данном |
||||||
отрезке, то функция принимает нулевые зна-
чения, |
т. е., |
для любого [ |
] справедливо |
|||||||||
( ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
этом |
случае |
имеем |
( ) |
||||||||
( ( ) |
( ) |
|
( ) ( ) |
( ( ) |
( ))) |
|
||||||
( ) |
( ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
( ) |
( ) |
|
( ) ( ) |
|
|
( ( ) |
( )) |
|
||||
( ) |
( ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
( ) |
( ) |
|
( ) ( ) |
|
|
( ( ) |
( )) |
( ) |
||||
( ) |
( ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
( |
) |
( |
) |
|
( |
) |
( ) |
( |
) |
( ) |
|
( ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( ) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
( |
) |
( |
) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
) |
|
|
для любого |
( |
|
). |
||||
( |
) |
( |
|
|
( ) |
|
||||||||
|
|
Если |
|
есть такие значения |
[ ], для |
|||||||||
которых ( |
) |
, то тогда данная функция |
||||||||||||
достигает своего наименьшего значения на концах отрезка, а наибольшего значения в
какой то внутренней точке |
, |
которая будет |
||||||||||||||||||||||||||||
точкой |
|
|
|
положительного |
|
максимума, |
т.е., |
|||||||||||||||||||||||
[ |
] |
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
[ |
|
] ( ) |
|
|
|
( ) |
|
, |
|
т. е., |
( ( ) |
||||||||||||||||||
( ) |
|
|
( ) ( ) |
|
|
( |
( ) |
|
|
|
( ))) |
|
|
( ) |
|
|
||||||||||||||
|
|
( |
) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( ) |
|
|
( ) ( ) |
|
|
( |
( ) |
|
|
|
( )) |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
( |
) |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Найдѐм |
|
|
|
этот |
максимум. |
( ) |
|
|
|||||||||||||||||||||
( ( ) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
( ) ( ) |
|
|
( ( ) |
|
( ))) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
( |
|
) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( ( ) |
|
|
|
( ) ( ) |
|
|
( )) ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( ( ) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
( ) ( ) |
|
|
( ( ) |
|
( ))) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
( |
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( ( ) |
|
|
|
( |
) |
|
( |
) |
|
|
( )) |
|
|
|
|
|
Поскольку |
|||||||||||||
|
|
( |
) |
|
( ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( ) |
( ) |
|
|
( ) ( ) |
|
( ( ) |
|
( )) |
, |
то |
||||||||||||||||||||
|
|
( |
) |
|
( ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( ) |
|
|
|
( ) ( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
( ) ( ) |
) |
|
( ) |
. |
|||||||||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
|
( ) |
|
||||||||||||
|
Аналогично |
можно |
|
доказать |
теорему |
|||||||||||||||||||||||||
Лагранжа, без использования теоремы Ролля,
рассмотрев |
функцию |
( ) |
|
( ( |
) |
( |
)) , |
||||||||||
где |
|
( ) |
|
|
|
– |
|
уравнение |
секущей |
||||||||
(хорды), проходящей через точки ( |
( |
)) и |
|||||||||||||||
( |
( |
)). |
Здесь |
( |
) |
( ) |
|
|
|
( |
) |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
( ) ( ) |
|
||||||||||||
т. е., |
( ) |
|
( ) |
( ) |
|
|
( |
). |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
( ) |
|
для |
любого |
[ |
|
] , |
причѐм |
||||||||
( |
) |
( |
) |
Если функция |
( ) прини- |
||||||||||||
мает на отрезке [ |
|
] постоянные значения, |
|||||||||||||||
то |
в |
этом |
случае |
( |
) |
|
|
для |
любого |
||||||||
[ |
|
]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, пусть |
( ) |
|
. Тогда |
||||||||||||
( ( |
) |
( |
)) |
|
( |
) |
( |
) |
|
|
|
где |
|||||
|
|
|
|
|
( ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
√ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Та- |
||||||
ким |
образом, ( |
) принимает |
на |
отрезке |
|||||||||||||
[ |
] постоянные значения, |
если ( |
) |
ли- |
|||||||||||||
нейная функция. Так как ( |
) и |
( |
) имеют |
||||||||||||||
две общие точки, |
то |
( |
) |
|
( ). |
Получили, |
|||||||||||
42
ВЫПУСК № 2 (20), 2020 |
ISSN 2618-7167 |
что если |
|
|
( |
) |
|
для любого |
[ |
] , |
то |
|||||
( ) |
( |
) . |
В |
этом случае |
( |
) |
( |
) |
||||||
( |
) |
|
|
|
. |
Значит для |
любого |
( |
) |
|||||
справедливо |
|
( ) |
( |
) |
( ) |
. Получаем, |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
что |
если |
( |
) – линейная функция ( ( ) |
|||||||||||
|
частный случай линейной функции), |
|||||||||||||
то |
( ) |
( ) |
|
( ) |
будет |
выполняться |
для |
|||||||
( |
|
|
). |
|
||||||||||
любого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть |
( |
) не является константой на |
|||||||||||
данном промежутке. В этом случае функция достигает своего наибольшего и наименьше-
го |
значения |
на отрезке [ |
] . |
Поскольку |
||
( |
) |
, то |
[ ] ( ) |
и |
достигается |
|
он на концах отрезка, так как |
( |
) |
( ) |
|||
. Наибольшее значение в этом случае |
до- |
|||||
стигается хотя бы в одной внутренней точке
максимума |
, причѐм |
( ) |
и |
( ) |
, |
||||||
иначе |
|
функция |
будет |
константой, |
т. |
е., |
|||||
|
( ) |
( ( ) |
( )) |
|
( ) |
( ) |
|
. |
|||
|
Так |
как |
( |
) |
|
( ( |
) |
( |
)) |
||
( ( ) |
( )) |
( ( ) |
( )) |
|
|
|
|||||
( ( ) |
) , |
то |
( ) |
|
( ( ) |
( )) |
|||||
( |
( ) |
) |
, |
( ) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
( |
) ( |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заключение покажем, как при изучении теоремы Лагранжа на занятиях со студентами, используя информационные технологии, можно увеличить наглядность данной теоремы. На сегодняшний день существует огромное количество учебных программных продуктов, которые автоматически решают многие задачи. Такие программы нужны, чтобы наглядно показать различные процессы и явления, особенно физические, которые нельзя продемонстрировать без компьютерного моделирования. Но при изучении математики компьютерное моделирование должно помогать развитию творческих способностей учащихся, способствовать обучению новым профессиональным навыкам и умениям, развитию логического мышления. Так как в математике при установлении фактов важное значение имеют наблюдения и визуальное исследование, неполная индукция и логическое мышление, то всѐ перечисленное можно реализовать, если взять не готовую
модель, а смоделировать данный процесс, составив алгоритм с помощью простейших
программных продуктов. |
|
|
|
|
Рассмотрим элементарную |
функцию |
|
( ) |
на промежутке [ |
] . |
Покажем, |
что для данной функции ( |
) |
в интерва- |
|
ле ( |
|
) найдѐтся хотя бы одна такая точка , |
|
что |
будет справедливо равенство |
( ) |
|
( ) |
( ) |
. |
|
|
|
|
|
Решаем сначала задачу аналитически. Функция непрерывна и дифференцируема в каждой внутренней точке интервала ( ) и удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Значит существует по крайней мере
хотя бы одна внутренняя точка |
|
промежутка |
|||||||||||||||||||
[ |
] такая, что |
( ) |
( ) |
( ) |
. |
|
Найдѐм эту |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
точку. |
Вычисляем |
значение |
|
выражения |
|||||||||||||||||
( ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
) (( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Так |
как |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
Если, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
например, взять |
|
|
|
|
|
√ |
|
то получим |
|||||||||||||
( ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как |
( |
|
√ ), то |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Составим компьютерную модель дан- |
||||||||||||||||||||
ной задачи, например, с помощью электронных таблиц Excel, предварительно проверив аналитически, что данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. В
ячейки рабочего листа |
и |
введѐм какие |
|||||
–либо |
значения для и |
, например |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
(в |
вводим |
, в |
|
формулу: |
||
|
|
|
( )). |
Введѐм в ячейку |
произ- |
||
вольное значение из интервала, |
например, |
||||||
. |
Введѐм в ячейку |
формулу пра- |
|||||
вой части заданной функциональной зависи-
мости, делая ссылку на ячейку |
|
, где будет |
|||
находиться значение |
|
|
. |
Скопируем |
|
ячейку |
в ячейки |
и |
. |
В ячейку |
|
вводим |
формулу |
( |
- |
) ( |
- ) и |
найдѐм таким образом значение выражения
( ) ( ) |
|
|
|
|
||
. Для значений |
√ , зна- |
|||||
|
||||||
чение ячейки |
будет равно . |
|
|
|
||
43
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Рис. 1. Компьютерная модель задачи
Для нахождения нужной точки c, где ( ) ( ) ( ), сначала вычислим значение производной в произвольной точке из ин-
тервала ( |
) (в нашем примере мы взяли |
) , |
а затем с помощью надстройки |
«Подбор параметра» подберѐм такое значение, при котором производная в этой точке
будет |
равна |
( ) ( ) |
. В нашем |
примере |
|
|
|||||
( ) |
(значение ячейки |
). |
Зададим |
||
окрестность точки c достаточно малого размера, например, значение слева от возьмѐм
равным |
|
|
, а значение справа |
|
равным |
|
|
и введѐм эти значе- |
|
ния в ячейки |
и |
соответственно, т. е., |
||
вводим |
формулы |
- |
и |
|
|
. |
Скопируем ячейку |
в |
|
ячейки |
и |
и получим значения функции |
|||
в точках |
|
|
и |
|
. |
Копируя |
значение ячейки |
в ячейку |
, |
||
получаем |
значение |
производной в точке |
|||
. В ячейке |
будет значение |
. |
|||
Действительно, |
( |
) |
|
. С |
|
помощью надстройки «Подбор параметра», меняя значение ячейки , подберѐм его та-
ким, чтобы значение ячейки |
стало рав- |
||||||
ным . |
|
|
|
|
|
||
|
|
Если будет меняться значение ячейки |
|||||
|
|
, тот будут меняться и значения ячеек |
|
||||
и |
, т. е. мы подберѐм такую |
точку |
с |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
окрестностью |
из интервала ( |
√ ) , |
что |
||||
|
|
( ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 2. Подбор параметра
Получаем, что, ( ) при . Результат совпал с аналитическим решением. Меняя содержимое исходных ячеек, т.е., промежуток, с помощью этой модели будем находить другие точки . Можно поменять
функцию и проверить справедливость теоремы Лагранжа для этой функции. Также при моделировании теоремы Лагранжа потребовалась моделирование нахождения производной функции в заданной точке, что
44
ВЫПУСК № 2 (20), 2020 |
ISSN 2618-7167 |
является неотъемлемой частью целостного математического образовательного процесса.
Библиографический список
1.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I: Учеб. Для вузов. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 648 с. - (Курс высшей математики и математической физики).
2.Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и
Информация об авторе
Глушков А.И. – преподаватель математики и естествознания, Воронежский филиал Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова (394030, Россия, г. Воронеж, ул. Карла Маркса, 67А), e-mail: glushkov_alex_1965@mail.ru
интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник. - 4-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. - 444 с.
3.Никольский СМ. Курс математического анализа: Учебник для вузов. - 6-е изд., стереотип.
-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 592 с.
4.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. I / Пред. и прим. А.А. Флоринского. - 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 680 с.
5.https://vipetroff.livejournal.com/5015.html
Information about the author
Glushkov A.I. - teacher of mathematics and natural science, Voronezh branch of the Plekhanov Russian University of Economics (67A, Karl Marx str., Voronezh, 394030, Russia),
e-mail: glushkov_alex_1965@mail.ru
УДК 621.43.068
СОВРЕМЕННЫЕ ВОПРОСЫ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ ТРАНСПОРТЕ
О.А. Калачѐва, С.А. Прицепова
Ростовский государственный университет путей сообщения (Воронежский филиал)
Аннотация: Политика экологической безопасности от таких вредных источников реализуется путем проведения комплекса мер, направленных на недопущение их роста против установленных по каждому из них допускаемых норм, путем создания и внедрения конструкций и технических средств, позволяющих повысить уровень защиты окружающей среды, и снижения степени ее загрязнения. Краткосрочная экологическая опасность возникает в аварийных ситуациях, которые могут повлечь за собой вред окружающей среде и нарушения жизнедеятельности людей
Ключевые слова: экологическая безопасность, железнодорожный транспорт, шум, вибрация, электромагнитное излучение, загрязнение нефтепродуктами, сход с рельсов
CURRENT ECOLOGICAL SAFETY ISSUES IN RAILWAY TRANSPORT
O.A. Kalacheva, S.A. Pritsepova
Rostov state transport university (Voronezh branch)
Abstract: The environmental safety policy against such harmful sources is implemented through a set of measures aimed at preventing their growth against the permissible standards established for each of them, through the creation and implementation of structures and technical means to increase the level of environmental protection and reduce its pollution. Short-term environmental hazards arise in emergency situations that can cause environmental damage and disruption to human life
Keywords: environmental safety, railway transport, |
noise, vibration, electromagnetic radiation, oil pollution, |
||||
derailment |
|
|
|
|
|
Железнодорожный 2 |
транспорт оказал |
загрязнении атмосферы, водных бассейнов и |
|||
неоценимые услуги человечеству. Однако, |
земли, изменении химического состава почв, |
||||
функционирование |
железнодорожного |
образовании |
производственных отходов, |
||
транспорта, как и других видов транспорта, |
шламов, замазученного грунта, котельных |
||||
сопровождается значительным негативным |
шлаков, в создании высоких уровней шума и |
||||
воздействием на природу. Выражается это в |
вибрации, в уменьшении урожайности сель- |
||||
|
|
|
скохозяйственных культур и, наконец в |
||
|
|
|
ухудшении |
здоровья, росте травматизма и |
|
© Калачёва О.А., Прицепова С.А., 2020 |
|||||
|
|
||||
45
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
гибели людей, животного и растительного |
торые могут повлечь за собой вред окружа- |
||||||
мира, в нанесении большого материального |
ющей среде и нарушения жизнедеятельности |
||||||
ущерба. |
|
|
|
людей [3]. |
|
|
|
По продолжительности периода нега- |
На |
железнодорожном |
транспорте |
||||
тивного воздействия |
железнодорожного |
наиболее |
тяжелые последствия |
приносят |
|||
транспорта на природу различают два вида |
аварийные |
происшествия |
при |
перевозке |
|||
экологической опасности: постоянно при- |
опасных грузов. Аварийные случаи с опас- |
||||||
сутствующую и краткосрочную [1]. |
|
ными грузами подразделяются на инциденты |
|||||
Постоянно присутствующая экологиче- |
и аварийные происшествия. К инцидентам |
||||||
ская опасность является следствием функци- |
относятся случаи утечки, просыпания опас- |
||||||
онирования железнодорожного транспорта, |
ного вещества, повреждения тары или по- |
||||||
когда уровень загрязнения воздуха, воды и |
движного состава с таким грузом. К аварий- |
||||||
земли превышает естественный уровень. К |
ным происшествиям относятся крушения, |
||||||
таким источникам относятся: |
|
аварии, случаи схода с рельсов или столкно- |
|||||
- загрязнение воздуха выбросами ко- |
вений подвижного состава, если хотя бы в |
||||||
тельных, тепловозов и других транспортных |
одном вагоне находился опасный груз. При |
||||||
средств; |
|
|
|
аварийных происшествиях особая опасность |
|||
- загрязнение воздуха многими произ- |
возникает, когда вагоны или тара, загружен- |
||||||
водственными процессами, в том числе шпа- |
ные такими веществами, разрушаются. Со- |
||||||
лопропиточным, лакокрасочным, сварочным |
здается прямая угроза природной среде, |
||||||
и др. |
|
|
|
намного усложняются работы по ликвидации |
|||
- загрязнение территорий нефтепродук- |
последствий. Каждое происшествие с опас- |
||||||
тами, а также остатками перевозимых грузов |
ным грузом создает риск его перерастания в |
||||||
и отходов производства; |
|
|
более опасную ситуацию, которая может |
||||
- шум и вибрация от движения поездов, |
привести к ущербу, соизмеримому с ущер- |
||||||
путевых машин и производственного обору- |
бом от десятков происшествий без наличия |
||||||
дования; |
|
|
|
опасных грузов. В основу решения этой |
|||
- электромагнитное излучение от воз- |
важнейшей задачи положены следующие ос- |
||||||
душных линий электропередач, открытых |
новные принципы: |
|
|
||||
распределительных |
устройств, термических |
- приоритет вопросов по проблемам |
|||||
цехов; |
|
|
|
безопасности; |
|
|
|
- ионизирующее излучение при пере- |
- надежность и устойчивость техниче- |
||||||
возке радиоактивных грузов и строительных |
ских средств, обустройств и технологий; |
||||||
материалов с повышенным уровнем радиа- |
- участие работников железнодорожно- |
||||||
ции. |
|
|
|
го транспорта в мероприятиях по обеспече- |
|||
Перечисленные |
источники |
можно |
нию производственной безопасности; |
||||
уменьшить, но устранить нельзя. Политика |
- непрерывность обучения и повыше- |
||||||
экологической безопасности от таких вред- |
ния квалификации в области предупрежде- |
||||||
ных источников реализуется путем проведе- |
ния аварий; |
|
|
||||
ния комплекса мер, направленных на недо- |
- готовность сил и средств к ликвида- |
||||||
пущение их роста против установленных по |
ции последствий возможных аварийных си- |
||||||
каждому из них допускаемых норм, путем |
туаций с наименьшими потерями и издерж- |
||||||
создания и внедрения конструкций и техни- |
ками; |
|
|
|
|||
ческих средств, позволяющих повысить уро- |
- неотвратимость ответственности за |
||||||
вень защиты окружающей среды, и сниже- |
невыполнение законов и иных нормативных |
||||||
ния степени ее загрязнения. |
|
актов, регулирующих вопросы безопасности. |
|||||
Краткосрочная |
экологическая |
опас- |
При ликвидации чрезвычайных ситуа- |
||||
ность возникает в аварийных ситуациях, ко- |
ций с опасными грузами |
ОАО |
«Россий- |
||||
46
ВЫПУСК № 2 (20), 2020 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ISSN 2618-7167 |
||
ские железные дороги» в пределах своих |
нимает информация всех железнодорожни- |
||||||||||
технических возможностей решает следую- |
ков, связанных с движением поездов, о слу- |
||||||||||
щие задачи: |
|
|
чившихся ЧП и о мерах по их предупрежде- |
||||||||
- осуществляет доставку сил и средств |
нию. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
в зону происшедшего случая; |
|
|
Библиографический список |
|
|||||||
- восстанавливает движение поездов; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- предоставляет подвижной состав для |
|
1. Прицепова С.А., Калачева О.А. Систем- |
|||||||||
перегруза (перекачки) грузов; |
|
ный подход к проблеме безопасности труда. – |
|||||||||
|
Естественные |
и |
технические |
науки.- |
2012.- № |
||||||
- производит очистку зоны чрезвычай- |
|||||||||||
6(62) – С.608-612. |
|
|
|
|
|||||||
ных ситуаций от неисправного и поврежден- |
|
|
|
|
|||||||
|
2. Калачева О.А., Прицепова |
С.А. Про- |
|||||||||
ного подвижного |
состава и загрязнения |
|
|||||||||
блемы воздействия подвижного состава желез- |
|||||||||||
местности. |
|
|
|||||||||
|
|
нодорожного комплекса на окружающую среду - |
|||||||||
В более сложных условиях, |
когда по- |
||||||||||
Естественные и технические науки – 2012 - № 6 |
|||||||||||
следствия не могут быть устранены силами |
|||||||||||
(62) – С. 129-136. |
|
|
|
|
|||||||
железных дорог, ликвидацию чрезвычайных |
|
3. Прицепова С.А., Калачева О.А. Произ- |
|||||||||
ситуаций с опасными грузами осуществляет |
водственный травматизм. Разновидность, рас- |
||||||||||
МЧС России своими силами и средствами с |
следование учет – Естественные и технические |
||||||||||
привлечением при необходимости аварийно- |
науки - 2013 - № 1(63). – С. 393-398 |
|
|||||||||
спасательных команд других министерств и |
|
4. Звягинцева, А.В. Исследование неорга- |
|||||||||
низованных выбросов пыли и газов в атмосферу |
|||||||||||
ведомств. Самым надежным заслоном ава- |
|||||||||||
при |
взрывных |
работах |
на |
карьерах горно- |
|||||||
рийности при перевозке опасных грузов яв- |
|||||||||||
обогатительных комбинатов / |
А.В. Звягинцева, |
||||||||||
ляются постоянно |
обновляемые |
знания и |
|||||||||
С.А. Сазонова, |
В.В. Кульнева // В |
сборнике: |
|||||||||
неукоснительное выполнение причастными к |
|||||||||||
Комплексные проблемы техносферной безопас- |
|||||||||||
этой проблеме правил, инструкций, техноло- |
|||||||||||
ности Материалы V Международной научно- |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||
гических процессов и обеспечение безопас- |
практической конференции. - 2019. - С. 302-312. |
||||||||||
ности движения в целом [2]. При выполне- |
|
5. Звягинцева, А.В. Разработка мероприя- |
|||||||||
нии работы были использованы материалы |
тий по сокращению пылегазовыделения на карь- |
||||||||||
исследований [4-20]. |
|
ерах горно-обогатительного комбината / А.В. |
|||||||||
Тщательное |
расследование |
причин |
Звягинцева, С.А. Сазонова, В.В. Кульнева // В |
||||||||
происшествия – это диагностика «заболева- |
сборнике: Комплексные проблемы техносферной |
||||||||||
безопасности |
Материалы |
V |
Международной |
||||||||
ния» в перевозочном процессе. При рассле- |
|||||||||||
научно-практической конференции. - 2019. - С. |
|||||||||||
довании необходимо тщательно |
проверить |
||||||||||
268-275. |
|
|
|
|
|
|
|||||
состояние всех технических средств на дан- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6. Звягинцева, |
А.В. |
Совершенствование |
||||||||
ном участке, правильность действий работ- |
|
||||||||||
мероприятий по улучшению условий труда на |
|||||||||||
ников и содержание документов, |
имеющих |
||||||||||
горно-обогатительном комбинате / А.В. Звягин- |
|||||||||||
отношение к происшествию. Материалы |
|||||||||||
цева, С.А. Сазонова, В.В. Кульнева // В сборни- |
|||||||||||
служебного расследования нарушений без- |
ке: Комплексные проблемы техносферной без- |
||||||||||
опасности движения должны иметь доста- |
опасности Материалы V Международной науч- |
||||||||||
точно глубокую информацию, от которой во |
но-практической конференции. -2019.-С.239-247. |
||||||||||
многом будет зависеть определение перво- |
|
7. Звягинцева, А.В. Анализ процесса пере- |
|||||||||
причины случившегося и качество разраба- |
работки ртутьсодержащих отходов и разработка |
||||||||||
природоохранных мероприятий / А.В. Звягинце- |
|||||||||||
тываемых мер по предупреждению повторя- |
|||||||||||
ва, С.А. Сазонова, В.В. Кульнева // Моделирова- |
|||||||||||
емости нарушений. |
Необходимо |
выявлять |
|||||||||
ние систем и процессов. - 2019. - Т. 12. - № 4. - С. |
|||||||||||
упущения и ошибки непосредственных ви- |
|||||||||||
24-30. |
|
|
|
|
|
|
|||||
новных работников, а также и тех, которые |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8. Звягинцева, |
А.В. |
Расчет образования |
||||||||
не устранили своевременно предпосылки к |
|
||||||||||
ртутьсодержащих отходов и разработка меро- |
|||||||||||
крушению или иному происшествию. В пре- |
|||||||||||
приятий по охране и рациональному использова- |
|||||||||||
дупреждении аварийности важное место за- |
нию |
водных |
ресурсов / А.В. Звягинцева, С.А. |
||||||||
47
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Сазонова, В.В. Кульнева // Моделирование систем и процессов. - 2019. - Т. 12. - № 4. - С.30-36.
9.Кульнева, В.В. Синергизм при загрязнении воздуха городской среды на фоне неблагоприятных метеорологических условий / В.В. Кульнева, А.В. Звягинцева // Современные тенденции развития гидрометеорологии в России: материалы II Всерос. науч.-практ. конференции.
-Иркутск: Из-во ИГУ, 2019. - C. 587-591.
10.Звягинцева, А.В. Экологический мо-
ниторинг опасных гидрологических явлений / А.В. Звягинцева, В.В. Кульнев, В.В. Кульнева //
International academy of ecology, man and nature protection sciences Ecology and development of Society. - 2018. - № 3(26). - С. 6266.
11. Звягинцева, А.В. Математическая модель водородной проницаемости металлов с примесными ловушками при наличии внутренних напряжений различной физической природы / А.В. Звягинцева // Международный научный журнал Альтернативная энергетика и экология. - 2019. - № 19-21 (303-305). - С. 29-44.
12.Звягинцева, А.В. Взаимосвязь структуры и свойств гальванических никелевых покрытий, легированных бором, в изделиях электронной техники / А.В. Звягинцева // Гальванотехника и обработка поверхности. - 2007. - Т. 15.
-№ 1. - С. 16-22.
13.Звягинцева, А.В. Влияние бора на наводороживание никелевых пленок / А.В. Звя-
гинцева // Международный научный журнал Альтернативная энергетика и экология. - 2006. -
№5 (37). - С. 85-86.
14.Звягинцева, А.В. Современные накопители водорода на основе гибридных функциональных материалов/ А.В. Звягинцева, А.О. Ар-
темьева // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2017. - Т. 13. -
№5. - С. 133-138.
15.Сазонова, С.А. Оценка надежности работы гидравлических систем по показателям эффективности / С.А. Сазонова // Вестник Воронежского института высоких технологий. - 2016. - №1(16). - С. 37-39.
16.Сазонова, С.А. Моделирование нагруженного резерва при авариях гидравлических
систем / С.А. Сазонова / С.А. Сазонова // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. - 2015. - № 4 (11). - С. 7.
17.Сазонова, С.А. Применение декомпозиционного метода при моделировании потокораспределения в гидравлических системах / С.А. Сазонова // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. - 2015. - № 4 (11). - С. 14.
18.Сазонова, С.А. Особенности формулировки прикладных задач управления функционированием системами теплоснабжения / С.А. Сазонова // Моделирование систем и процессов. - 2018. - Т. 11. - № 3. С. 80-88.
19.Николенко С.Д. Математическое мо-
делирование дисперсного армирования |
бетона |
/ С.Д. Николенко, С.А. Сазонова, В.Ф. |
Асми- |
нин // Моделирование систем и процессов. - 2019. - Т. 12. - № 1. - С. 74-79.
20. Asminin, V. Development and application of a portable lightweight sound suppression panel to reduce noise at permanent and temporary workplaces in the manufacturing and repair workshops / V. Asminin, E. Druzhinina, S. Sazonova, D. Osmolovsky // Akustika. - 2019. - Т. 34. - С. 18-21.
Информация об авторах
Калачѐва О. А. - доктор биологических наук, профессор кафедры социально-гуманитарных, естественнонаучных и общепрофессиональных дисциплин, Ростовский государственный университет путей сообщения (Воронежский филиал) (394000, Россия, г. Воронеж, ул. Урицкого 75а), e-mail: 21x413@mail.ru
Прицепова С. А. - кандидат технических наук, доцент кафедры социально-гуманитарных, естественнонаучных и общепрофессиональных дисциплин, Ростовский государственный университет путей сообщения (Воронежский филиал) (394000, Россия, г. Воро-
неж, Урицкого 75а), e-mail: Pri152@mail.ru
Information about the authors
Kalachyova O.A. - doctor of biological sciences, professor of the department of social and humanitarian, natural sciences and general professional disciplines, Rostov state transport university, Voronezh branch, (75a, Uritsky street, Voronezh, 394000, Russia),
e-mail: 21x413@mail.ru
Pricepova S.A. - Ph. D. in Engineering, Associate Professor of social and humanitarian, natural sciences and general professional disciplines, Rostov state transport university, Voronezh branch, (75a, Uritsky street, Voronezh, 394000, Russia),
e-mail: Pri152@mail.ru
48
ВЫПУСК № 2 (20), 2020 |
ISSN 2618-7167 |
УДК 664.144
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОТЕРМЫ СОРБЦИИ ВЛАГИ ПРОДУКТОВ КОНДИТЕРСКОГО ПРОИЗВОДСТВА
А.А. Хвостов1, А.А. Журавлев1, И.В. Плотникова2
1ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» 2Воронежский государственный университет инженерных технологий
Аннотация: Показана возможность применения функции Гомпертца для аналитического описания обобщенной кривой изотермы сорбции влаги сырья, полуфабрикатов и готовых изделий кондитерского производства. Предложенная модифицированная функция Гомпертца позволяет прогнозировать способность кондитерских изделий к их хранению
Ключевые слова: изотерма сорбции влаги, кондитерские изделия, функция Гомпертца, сигмоидная кривая
ANALYTICAL DESCRIPTION OF THE MOISTURE SORPTION ISOTHERM
OF CONFECTIONERY PRODUCTS
A.A. Khvostov1, A.A. Zhuravlev1, I.V. Plotnikova2
1MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
2Voronezh State University of Engineering Technologies
Abstract: The possibility of using the Gompertz function for the analytical description of the generalized curve of the moisture sorption isotherm of raw materials, semi-finished products and finished products of confectionery production is shown. The proposed modified Gompertz function allows predicting the ability of confectionery products to store them
Keywords: moisture sorption isotherm, confectionery, Gompertz function, sigmoid curve
При создании кондитерских изделий с |
ростом микроорганизмов в нем. Активность |
|||||||
заданным химическим составом одним из |
воды определяет микробиологическую ситу- |
|||||||
определяющих |
показателей |
качества |
ацию, характер и направление влагомассо- |
|||||
является массовая доля влаги в продукте. |
обменных процессов, интенсивность биоло- |
|||||||
Однако |
данный |
показатель недостаточно |
гических, физико-химических и химических |
|||||
полно отражает весь спектр взаимодействий, |
процессов, протекающих в кондитерских из- |
|||||||
имеющихся в в кондитерском изделии и |
делиях, и, следовательно, характеризует их |
|||||||
участником которых является вода. |
качество, стабильность и безопасность. |
|||||||
Более информативным параметром яв- |
Данный показатель включѐн в систему |
|||||||
ляется |
показатель «активность |
воды» Aw |
стандартов ISO 9000, а также используется |
|||||
(англ. «water activity») |
|
при анализе рисков по критическим |
||||||
|
|
|
Pw |
|
|
контрольным точкам (ХАССП). |
|
|
|
A |
|
, |
(1) |
Активность воды |
Aw тесно |
связана с |
|
|
|
|||||||
|
w |
|
P0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
массовой долей влаги W в продукте. Графи- |
||||
где Pw, P0 – соответственно, давление водя- |
ческие зависимости Aw f W , |
построен- |
||||||
ных паров над продуктом и над поверхно- |
ные при постоянной температуре, называют- |
|||||||
стью чистой воды при одной и той же тем- |
ся изотермами сорбции влаги и дают оценку |
|||||||
пературе. |
|
|
|
|
стабильности пищевого продукта [1]. |
|||
Показатель 3 |
«активность воды» впер- |
На основании литературных данных [1] |
||||||
вые был введен австралийским микробиоло- |
построена обобщенная |
изотерма |
сорбции |
|||||
гом Вильямом Джеймсом Скоттом, доказав- |
влаги сырья, полуфабрикатов и готовых из- |
|||||||
шим в 1952 г. существование тесной корре- |
делий кондитерского производства (рис. 1, |
|||||||
ляции между состоянием воды в продукте и |
графические пиктограммы). |
|
||||||
© Хвостов А.А., Журавлев А.А., Плотникова И.В., 2020
49