Учебное пособие 2165

157] под руководством Д.И. Федорова. Анализ осциллограмм показал, что

реальные кривые изменения нагрузок на рабочем органе ЗТМ P (t) могут

1,2,3

быть представлены только как случайные процессы X t , основными характеристиками которых являются неслучайные функции [82]: математическое

рабочего органа ЗТМ с грунтом обусловлен случайным характером изменения физико-механических свойств грунта, параметров поперечного сечения вырезаемой стружки, угла резания, конструктивных особенностей этих машин и прочих факторов.

В.С.Пугачев показал [82], что любой случайный процесс X t может быть представлен в виде канонического разложения:

представляющее собой некоторую среднюю реализацию, около которой группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации

o

случайного процесса X t ; X (t) – центрированный случайный процесс,

o

X (t) = X (t) mX (t) ; V1 ,...,Vk – некоррелированные центрированные случайные величины с дисперсиями D1 ,...,Dk ; φ1(t),..., φk (t) – неслучайные функции

аргумента t.

Выражение (2.151) представляет каноническое разложение центрирован-

o

ного случайного процесса X (t) в виде суммы элементарных случайных процессов. Первый член выражения (2.150) mX (t) является детерминированной функцией, характеризующей закономерные связи в случайном процессе X t ,

o

а второй член X (t) характеризует случайные колебания, обусловленные слу-

141

чайным процессом X t . Представление случайного процесса X t в виде

разложения (2.150, 2.151) дает возможность проводить довольно просто различные преобразования случайного процесса.

Случайные процессы X t изменения усилий в рабочем оборудовании

ЗТМ в общем случае нестационарны в виду возможного изменения математического ожидания и дисперсии на пути копания.

На основании выражения (2.150) случайный процесс X t представим

относительно тренда. Флуктуации XФ t получают вычитанием из процесса

потоком [118, 156, 157]. Из выражения (2.152) получим мультипликативную статистическую модель нестационарного случайного процесса X (t) , состоящего

стационарные случайные флуктуации.

Для нормирования (стационаризации) флуктуаций необходимо их значения в каждый момент времени разделить на соответствующее значение тренда

xФ (t) = XФ (t) XТ (t) . Полученный процесс xФ t является стационарным.

Разработанная в ЦНИИС [156, 157] Б.А. Бондаровичем и В.А. Тельтевской методика обработки экспериментальной информации и получения статистических характеристик нестационарных процессов изменения усилий на рабочих

142

случай его корреляционной функции. Из выражений (2.155) и (2.157) при 0

Соответственно выражению (2.158), нормированная спектральная плотность случайного процесса X t будет равна:

ожидания; X T (t) , X Ф (t) – математические ожидания тренда и флуктуаций; DT , DФ – дисперсии тренда и флуктуаций; VT ,VФ – коэффициенты вариаций тренда и флуктуаций; KT ( ) , KФ ( ) – корреляционные функции тренда и флуктуации; rT ( ) , rФ ( ) – нормированные корреляционные функции тренда и флуктуаций; sT ( ) , sФ ( ) – нормированные спектральные плотности тренда и флуктуаций;

144

– аргумент корреляционной функции (сдвиг по времени), с; f – текущая частота колебаний, Гц.

Для определения нормированных корреляционных функций и коэффициентов вариаций флуктуаций и тренда, входящих в формулы (2.155) - (2.159), необходимо знать законы их формирования в зависимости от различных факторов.

Результаты анализа статистических характеристик нагрузок на рабочее оборудование, полученные по данным исследований в ЦНИИС [156, 157] различных ЗМ в различных грунтовых условиях, показывают, что основным фактором, определяющим коэффициенты вариаций, параметры корреляционных функций и спектральных плотностей, является прочность разрабатываемых грунтов. В [157] (табл.56) представлены значения коэффициентов вариа-

прочности грунтов. С повышением прочности грунтов их VФ возрастает от 0,08 до 0,33. Наибольшие значения коэффициентов вариаций имеют нормальные составляющие P2 (t) , наименьшие – боковые P3 (t) . Нормированные корреляционные функции случайных флуктуаций rФ ( ) усилий на рабочем органе

различных ЗМ при копании грунтов одинаковой группы соответствуют одна другой и имеют довольно широкий спектр частот от 0 до 8 Гц. Они могут быть в первом приближении аппроксимированы экспоненциально – косинусным выражением [118, 156, 157]:

а односторонние нормированные спектральные плотности случайных флуктуаций, в соответствии с преобразованием Фурье (2.160), будут равны [4]:

Тогда при известных статистических характеристиках амплитуды А, функции f (t) и момента появления импульсов во времени, статистические ха-

рактеристики XT (t) могут быть определены по следующим формулам [88, 156]: математическое ожидание

145

корреляционная функция

коэффициент вариации и нормированная корреляционная функция

время в пределах тренда, t / t ; t – текущее время.

Закон появления импульсов во времени, необходимый для получения вероятности P , можно принять в первом приближении пуассоновским [156], тогда

При детерминированных трендах рассматриваемые случайные процессы относятся к классу периодически нестационарных случайных процессов. Их статистические характеристики также могут быть найдены по рассмотренной методике, при этом следует принять P = 1.

При анализе временного тренда для устранения влияния на его параметры рассеяния времени цикла и отдельных операций удобно представить это время в относительных единицах , то есть XT ( ) .

В работе ([156], рис.6.5) приведено семейство трендов XT ( ) нагрузок в

рабочем оборудовании ЗМ при копании грунта. Среднюю функцию временного тренда ЗМ непрерывного действия (грейдер-элеваторы, автогрейдеры, планировщики, рыхлители) начиная со значения, соответствующего 0,03...0,05, можно считать постоянной во времени и равной амплитуде XT ( ) A const .

Это справедливо для грунтов различных групп. Амплитуда A при этом имеет случайное рассеяние с коэффициентом вариации, постоянным во времени

146

VA (t) const и зависящим только от прочности грунта, и подчиняется закону

нормального распределения. Наиболее близки к рассмотренной функции времени тренды нагрузок скреперов и бульдозеров при копании грунта клиновой стружкой с переменной глубиной резания hР (t) varia . Однако в

этом случае переходный процесс на участке врезания значительно больший и составляет 15…30% пути копания. Временный тренд нагрузок ЗТМ циклического действия (скреперов и бульдозеров) при копании грунта с постоянной глубиной резания hP const можно представить функцией:

Следовательно, импульсы стационарного потока при определении статистических характеристик трендов нагрузки на рабочий орган ЗТМ могут быть приняты прямоугольными XT ( ) A и пилообразными (треугольными)

XT ( ) A или XT ( ) b A , а их плотность .

Для получения статистических характеристик тренда необходимо экспериментально определить лишь коэффициенты вариации его амплитуды VA . Остальные исходные данные (вид, параметры, рисунки импульса и его

плотность ) можно определить анализом параметров режима работы машины. Коэффициенты вариации амплитуды тренда VA определяются однородностью

свойств среды, с которой взаимодействуют рабочие органы ЗМ. При отсутствии этих данных VA можно приближенно принять равными [156]: для однородных

сред 0,08…0,12, для сред со средней однородностью свойств 0,15…0,20 и для неоднородных сред – 0,2…0,26.

Таким образом, для полного определения нестационарного случайного процесса необходимо знать дисперсию (или стандарт) и корреляционную функцию нормированных случайных флуктуаций, дисперсию амплитуды трендов, функции f (t) и значение .

Экспериментальные исследования, проведенные в ЦНИИС [157] на ЗТМ непрерывного действия, показали, что случайные процессы реакций грунта на

рабочий орган P (t) можно отнести к классу нормальных, стационарных,

1,2,3

эргодических процессов. Значения коэффициентов их взаимной корреляции r1,2 , r1,3 , r2,3 лежат в пределах 0,8…(-0,1). Наибольшие значения имеют коэф-

фициенты r1,2 при копании грунтов малой прочности (I - II группы). С повы-

шением прочности грунта значения коэффициентов корреляции снижаются. Коэффициенты корреляции r1,3 ниже, чем r1,2 . Коэффициенты корреляции r2,3

во всех случаях практически равны нулю. Случайные процессы изменения

изменения их математического ожидания на пути копания. При этом законы

147

время перемещения грунта близки к нормальному.

Анализ [157] показал, что для всех ЗМ дисперсия и средняя частота колебаний усилий в рабочем оборудовании практически постоянны. В связи с этим коэффициент вариации усилий является постоянным лишь для машин непрерывного действия, а для машин циклического действия он изменяется соответственно функциям математического ожидания. Отсутствие изменения дисперсии на пути копания у машин циклического действия объясняется влиянием массы грунта, накапливающейся в ковше или перед отвалом, в сочетании с изменением глубины резания hP . Центрированные случайные про-

цессы усилий в рабочем оборудовании различных ЗМ могут рассматриваться как стационарные. Это позволяет сопоставлять статистические характеристики изменения этих усилий. Распределение плотности вероятностей случайных колебаний усилий в рабочем оборудовании ЗМ обычно подчиняется нормальному закону. С повышением прочности грунта могут наблюдаться отклонения от нормального закона с приближением характера распределения к закону Релея. Нормированные корреляционные функции случайных колебаний усилий в рабочем оборудовании всех ЗМ при копании могут быть аппроксимированы экспоненциальными кривыми с периодом практического затухания К 1…5с.

При анализе нецентрированных процессов изменения усилий их корреляционные функции могут принимать более сложный вид, отражающий цикличность процесса. Средняя частота случайных колебаний усилий в рабочем оборудовании ЗМ лежит в диапазоне 1…4 Гц.

Внешними входными силовыми воздействиями на динамическую под-

ющее на рабочий орган и преодолеваемое силой тяги на нем TP (t) , реакции P2 (t) и P3 (t) , а также сила сопротивления передвижению Pf (t) . Откликами данной подсистемы на перечисленные внешние силовые воздействия будут

ческую производительность ПT (t) . Таким образом, параметр TP (t) тождественно

стороны грунта, а параметр NТ.Р (t) является откликом машины на внешние воздействия P(t) (2.149) с учетом внутренних параметров ЗТМ ZЗТМ.ВП .

Экспериментальные данные [28, 29] по оценке нагруженности ЗТМ непрерывного действия (автогрейдеров) при разработке грунта подтверждают выводы работ [118, 156, 157], что этот процесс является случайным, нормальным, стационарным и эргодическим. Характер изменения нормированных корреляционных функций подтверждает, что случайные процессы TP (t) , т.е.

корреляции K 3,4...11,2 с. Они имеют вид затухающей экспоненциально –

косинусной функции (рис. 2.37), которая в общем виде аппроксимируется выражением [42]:

Рис. 2.37. Нормированные корреляционные функции rX ( ) случайных процессов TP (t) , Pf (t) , MКП (t) , NТ.Р (t) автогрейдера ДЗ – 146 при копании грунта косопоставленным отвалом (планировка трассы)

149

Рис. 2.38. Нормированные спектральные плотности sX ( f ) случайных процессов TP (t) , Pf (t) , MКП (t) , NТ.Р (t) автогрейдера ДЗ – 146 при копании грунта косопоставленным отвалом (планировка трассы)

Основная «мощность» случайных процессов TР (t) и NТ.Р (t) приходится на узкий диапазон низких частот f 0...0,1 Гц, что подтверждает их низкочастот-

подтверждает наличие в этих процессах скрытой периодической составляющей с весьма низкой частотой колебаний. Периодическая составляющая в процессе

hp (t) , вызванными при движении машины периодическими микронеровностя-

ми грунтовой поверхности и изменениями удельного сопротивления грунта копанию, а также управляющими воздействиями оператора на рабочий орган при поддержании процесса копания на режиме максимальной технической производительности ПT.max . В случайном процессе NТ.Р (t) периодическая

составляющая от процесса TР (t) сглаживается динамической подсистемой «ЗТМ» с уменьшением ее основной частоты колебаний f0 практически до нуля.

В первом приближении, особенно для процесса NТ.Р (t) , выражения (2.170) и (2.171) при f 0 0 примут вид:

150