Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Прикладная механика

Файл:

Структура, характеристики и кинематика манипуляционных механизмов. Рябцев В.А

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Сложением матриц A и B называется операция суммирования элементов матриц A и B с одинаковыми индексами. Сложение матриц определено только для матриц одинаковых размеров. По определению, если

A aij ( m n ) ,B bij ( m n )

	C	A B,
то
C cij	( m n )	aij	bij	( m n ) .
Сложение матриц коммутативно и ассоциативно, то есть
	A B	B	A
и

A ( B C ) ( A B ) C A B C.

Произведение матриц определено только при равенстве числа столбцов левой из перемножаемых матриц числу строк правой из перемножаемых матриц. Пусть

A aij	( m n ) , B b jl				( n k ) .
Произведением матриц A и B называется матрица
C	A B		cil	m k ,
где
	cil	n	aijb jl ,
	cil		aijb jl ,
		j	1

то есть элемент cil матрицы C равен сумме произведений

элементов aij и b jl матриц, стоящих в i - той строке матрицы A и в l - том столбце матрицы B .

Некоторый столбец с номером l матрицы B можно ото-

ждествить с матрицей – столбцом bl размером n , то есть

106

bl b jl

n .

Аналогично строку матрицы A с номером i можно отождествить с матрицей столбцом

ai ai1 ,ai2 ,..., ain T

aij n .

Скалярным произведением матриц ai и bl называется число, определяемое выражением

	n	aiT bl .
( ai bl )	aija jl	aiT bl .
j	1
Поэтому элемент матрицы C		A B равен
cil	( ai bl ),

произведение матриц имеет следующие свойства: некоммутативность

A B B A;

ассоциативность

( AB )C A( B C ) AB C;

дистрибутивность

A( B C ) AB AC.

Если

A	aij
	( m n )
и
b	b j	n ,

то произведение матриц A и b является матрица - столбец c размерности m , то есть

c Ab .

107

Если какой либо из элементов матрицы A зависит от некоторого аргумента t , то матрица A является функцией этого аргумента, то есть

A A( t )		aij ( t ) ( m n ) .
Если все элементы матрицы A					интегрируемые (диффе-
ренцируемые) функции аргумента t					во всех точках его облас-
ти определения, то интеграл (производная) от матрицы A есть
матрица той же структуры, что и A , получаемая заменой каж-
дого элемента матрицы A интегралом (производной) от этого
элемента, то есть
		ij	dt ( m n )
A	a		dt ( m n )
и
Adt		aij dt		( m n )		.
				( m n )

Производная и интеграл от произведения матриц имеют те же свойства, что и производная и интеграл от произведения функций. Легко доказать, что если

	A		const,
то	A			0,
	A			0,

( AB( t )) AB( t ), ( B( t )A )						B( t )A,

( C( t ) B( t ))				C( t ) B( t ),

( C( t )B( t ))	C( t )B( t ) C( t )B( t ) ( B( t )C( t )) ,

	Adt		A	dt	At ,
	AB( t )dt			A B( t )dt,
	B( t )Adt		(	B( t )dt )A,
( C( t )	B( t ))dt			C( t )dt		B( t )dt,
C( t )B( t )dt				B( t )C( t )dt,
B( t )dt		d( B( t ))			B( t ),

		108

B( t )d( C( t )) B( t )C( t ) ( dB( t ))C( t )

- формула интегрирования по частям.

Легко видеть, что матрицы дифференцируются и интегрируются также как и обычные функции, с той разницей, что нельзя менять местами сомножители в дифференцируемом и интегрируемом произведении матриц.

Для квадратной матрицы A можно вычислить определитель этой матрицы

			a11a12	....a1n
		det A	a21a22	....a2n	.
		det A	.......... .......... ..		.
			.......... .......... ..
			an1an2	....ann
Минором	M ij	элемента aij определителя det A матрицы
A порядка n	2 называется определитель порядка n					1 , по-
лучаемый из	det A	вычеркиванием i - той строки и				j - того

столбца, на пересечении которых стоит элемент aij . Число

Aij ( 1 )( i j ) M ij

называется алгебраическим дополнением элемента aij . Определитель матрицы A можно представить в виде сум-

мы произведений элементов некоторого столбца (некоторой строки) матрицы A на их алгебраическое дополнение, то есть

n		n
det A	aij Aij	aij Aij .
i 1		j 1
Единичной матрицей порядка		n называется матрица I ,
такая, что для любой матрицы A порядка n
AI	IA	A.

Все элементы матрицы I , стоящие на главной диагонали, равны единице, а прочие элементы равны нулю, то есть

I	i	,
I	j ( n m )	,
	109

где

i	1,при	i	j	- символ Кронекера.

j	0,при	i	j


Матрица A порядка n			n называется вырожденной, если
ее определитель порядка n равен нулю.
Обратной матрицей для невырожденной матрицы					A по-
рядка n n называется матрица A 1 того же порядка,					такая,
что

AA 1 A 1 A I .

Вырожденная матрица обратной матрицы не имеет. Для любой невырожденной матрицы A обратная матрица

определяется по формуле

B bij		A 1	1	a ji
	( n n )

			det A	( n n )
			det A

иявляется единственной.

Вкинематике и динамике ММ используются в основном

трехмерные векторы и квадратные матрицы порядка 3 3 . Поэтому ниже индексы элементов матриц и компонентов векторов принимают значения 1, 2 и 3, если особо не оговорено противное.

Вектору r может быть поставлена в соответствие матрица

– строка
	rT	r1 ,r2 ,r3
или матрица – столбец
	r	r1 ,r2 ,r3 T ,
где ri ( i 1,2,3 ) - проекции вектора				на оси некоторой сис-
где ri ( i 1,2,3 ) - проекции вектора			r	на оси некоторой сис-
темы координат.

Скалярное произведение векторов r				и p
	3	piri ( p r ) pT r .
( p r )		piri ( p r ) pT r .
	j 1
		110

Векторное произведение векторов

p и r

( p2 r 3

p3r 2 )

( p3r1

(1)

p1r 3 )

( p1r 2

p2 r1 )

где e j - орты осей системы координат Z , в которой определены проекции p и r .

Пусть для некоторой матрицы

построена матрица

)

(2)

где j - проекции

на оси системы Z .

Очевидно, что D(

)

). Векторное произведение (1)

можно заменить матричной операцией

D( p ) r

D( r ) p .

(3)

Двойное векторное произведение

( p

r )

(4)

также может быть записано через операции с матрицами

D( c ) S

D( c )D( p ) r .

(5)

Если ввести матрицу

( c3 p3

c2 p2 )

c2 p1

c3 p1

D( c, p )

c1 p2

( c3 p3

c1 p1 )

c3 p2

c1 p3

c2 p3

( c2 p2 c1 p1 )

то

D( c, p ) r .

(6)

D( c )D( p )r

111

2.8.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Белянин П.Н. промышленные роботы и их применение: Робототехника для машиностроения. 2-е изд. перераб.

идоп. – М.: Машиностроение, 1983 – 311 с.: ил.

2.Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А., Тимофеев А.Н. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. – М.: Высшая школа,

1986 – 264с.: ил.

3.Козырев Ю.Г. Промышленные роботы: Справочник – М.: Машиностроение, 1983 – 376 с.: ил.

4.Левитская О.Н., Левитский Н.И. Курс теории механизмов и машин. – М.: Высшая школа, 1978 – 265с.: ил.

5.Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами: теория и приложения. – М.: Наука,

1985. – 384 с.: ил.

6.Механика промышленных роботов: Уч. пособие для втузов: В 3 кн. Под ред. К.В. Фролова, Е.М. Воробьѐва.

– М.: Высшая школа, 1988.

7.Методические указания к разделу курса прикладной механики «Манипуляционные механизмы» для студентов специальности 210300 дневной и вечерней форм обучения. Воронеж. гос. техн. ун - т. Сост.:, Д. В. Хван, В. А. Рябцев, В. Н. Потапов. Воронеж, 2000.

8.Методические указания к решению задач по курсу прикладной механики для студентов специальности 210300 всех форм обучения. Воронеж. гос. техн. ун - т. Сост.:, В. А.Рябцев, В. В. Елисеев, В. Н. Потапов. Воронеж,

2000.

112

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	3
Введение. Предмет, значение и задачи раздела
«Манипуляционные механизмы» (ММ)	4
2.9.	Рол
ь промышленных роботов (ПР) и манипуляторов
2.10.	(П
М) в обеспечении технического прогресса	4
2.11.	Осо
бенности ПР как средства автоматизации	5
2.12.
роизводственных процессов
2.13.
ели и задачи раздела «Манипуляционные
2.14.	ме-
ханизмы»	5
2.15.	Свя
зь раздела с другими дисциплинами	6

1. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ МЕ-

ХАНИЗМОВ	7
2.16.	1.1.
Кинематические пары	7
2.17.	1.2.
Кинематические цепи	10
2.18.	1.3.
Степень подвижности кинематической цепи	11
2.19.	1.4.
Структурная и кинематическая
2.20.	схе-
мы механизма	13
4

2.21.	1.5.
Замена кинематических пар k-того класса
2.22.	эк-
вивалентными кинематическими цепями	14
2.23.	1.6.
Структурный анализ и синтез механизмов	15
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИЗМА	17
2.24.	2.1.
Базовая и связанная системы координат	17
2.25.	2.2.
Преобразование проекций векторов	17
2.26.	2.3.
Математическая модель кинематической схемы	22
2.27.	2.4.C
борка механизма	25
2.28.	2.4.1.
Первый способ сборки	26
2.29.	2.4.2.
Второй способ сборки	31
3. ХАРАКТЕРИСТИКИ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ МЕХА-
НИЗМОВ	38
2.30.	3.1.
Маневренность ММ	38
2.31.	3.2.
Рабочая зона и классификация движений схвата	39
2.32.	3.3.
Угол и коэффициент сервиса ММ	40
2.33.
.4. Определение коэффициента сервиса
5

2.34.	ме-
тодом объѐмов	41
2.35.	3.5.
Мобильность ММ	44

4. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ

МЕХАНИЗМОВ	47
2.36.	4.1.
Задачи кинематического анализа ММ	47
2.37.	4.2.
Формула Родриго	47
2.38.	4.3.
Прямая задача о положении и ориентации
2.39.	схва-
та	49
2.40.
.4. Обратная задача о положении и
2.41.	ори-
ентации схвата	51
2.42.	4.5.
Векторные уравнения кинематики ММ	54
2.43.	4.6.
Матричные уравнения кинематики ММ	60
2.44.	4.7.
Кинематический синтез ММ	63
2.45. 5. Инерционные характеристики звена
2.46.	в
пространственном движении	65

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТОЧНОСТИ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ

СХВАТА	74
	6

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Прикладная механика