Учебное пособие 1631
.pdf
В. В. Горбунов, О. А. Соколова
Учебно-методическое пособие
Вдвух частях
ЧАСТЬ 1
divFdV FndS
V S
Воронеж 2019
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
В. В. Горбунов, О. А. Соколова
МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
Вдвух частях
ЧАСТЬ 1
Воронеж 2019
УДК 517.2(075.8) ББК 22.1я7
Г676
Рецензенты:
кафедра естественно-научных и гуманитарных дисциплин Международного института компьютерных технологий
(зав. кафедрой д-р техн. наук, профессор Б. А. Шиянов); д-р техн. наук, профессор А. А. Хвостов
Горбунов, В. В.
Математика: учебно-методическое пособие: в 2 ч. / Г676 В. В. Горбунов, О. А. Соколова; ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». – Воронеж:
Изд-во ВГТУ, 2019. – Ч. 1. – 79 с.
ISBN 978-5-7731-0810-8
ISBN 978-5-7731-0811-5 (ч. 1)
Учебно-методическое пособие содержит теоретический материал, необходимый для решения контрольных заданий, и методику решения контрольных заданий, которые также представлены в пособии в виде контрольной работы № 1.
Издание предназначено для студентов первого курса направления 38.03.03 «Управление персоналом» (профиль «Управление персоналом организации») заочной формы обучения.
Ил. 8. Библиогр.: 3 назв.
УДК 517.2(075.8) ББК 22.1я7
Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-0811-5 (ч. 1) © Горбунов В. В., Соколова О. А., 2019
ISBN 978-5-7731-0810-8 © ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2019
ВВЕДЕНИЕ
Согласно рабочей программе по курсу «Математика» для студентов заочной формы обучения направления 38.03.03 «Управление персоналом» (профиль «Управление персоналом организации») девяносто процентов учебного времени отводится самостоятельной работе студентов. Самостоятельная работа подразумевает изучение теоретического материала самим студентом и практическое его применение при решении задач. Результатом самостоятельной работы студента должно стать правильное решение контрольной работы, сдача зачета или экзамена.
Для улучшения самостоятельной работы студентов заочной формы обучения нами составлено данное учебнометодическое пособие, включающее основной теоретический материал по курсу «Математика» первого семестра направления 38.03.03 «Управление персоналом» (профиль «Управление персоналом организации»). В пособии приводится методика решения задач по данному курсу, представленных в контрольной работе № 1, а также сама контрольная работа, персональный вариант которой должен выполнить студент.
Вопросы, возникающие в процессе изучения материала или решения задач, студенты могут задать преподавателю на плановой консультации.
Все приведенные в работе иллюстрации являются авторскими.
3
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
a |
a |
... a |
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
a21 a22 ... a2n |
|
называется |
||
Таблица чисел вида А = |
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
||
|
|
|
|
|
am1 am2 ... amn |
|
|||
прямоугольной матрицей размера [m×n]. Действительные числа aij (i = 1,2, …, m, j = 1,2, …, n) называются элементами
матрицы, причем индексы i и j элементов матрицы обозначают соответственно номер строки и номер столбца.
Матрица размера [ n n ] называется квадратной. Элементы a11,a22, ..., ann составляют главную диагональ
матрицы. Квадратная матрица с отличными от нуля диагональными элементами называется диагональной.
Диагональная матрица размера [ n n ] со всеми единичными диагональными элементами
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1, i j, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
, |
где |
ij |
— |
|
0 0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, i j |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
символ Кронекера, |
называется |
единичной матрицей |
размера |
||||||||||||
[ n n ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в матрице А поменять местами строки со столбцами,
получим матрицу транспонированную AT. Например,
|
|
|
|
|
|
|
7 |
9 |
|
|
7 |
2 |
4 |
A |
Т |
|
2 |
0 |
|
|
A |
|
, |
|
|
. |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
1 |
|
|
4 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрицы C и D считаются равными, если имеют |
|||||||||
одинаковую размерность и |
попарно равные соответствующие |
||||||||
элементы сij dij |
(i 1,2,..., m; j 1,2,..., n) . |
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Cуммой матриц С и D одинакового размера [ m n ] является матрица A того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц C и D:
|
A C D, |
aij cij |
dij . |
|
|||
Пример 1.1. |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 8 |
1 |
7 |
9 |
|
3 8 |
17 |
|
|
|
|
|
|
11 3 |
. |
8 |
6 0 |
3 |
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведением матрицы А на число является матрица,
каждый элемент которой равен произведению на aij :
aij 
aij 
.
Пример 1.2. |
4 |
5 |
6 |
8 10 |
12 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
7 |
8 |
1 |
14 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Операция перемножения матриц возможна (корректна), если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матриц C 
cij 
и D 
dij 
называется матрица A, элементы которой 
aij 
равны сумме произведений
элементов i -й строки матрицы C на элементы j-гo столбца
n
матрицы D : aij ci1d1 j ai2 d2 j ... cin dnj cik dkj , причем k 1
операция умножения матриц не коммутативна, т. е. CD DC .
Пример 1.3. |
2 |
2 |
0 |
1 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
1 |
|
|
3 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 0 ( 2) 3 |
2 ( 1) ( 2) 1 |
2 2 ( 2) 0 |
6 |
4 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
4 |
0 |
( 1) 3 |
4 ( 1) ( 1) 1 |
4 2 ( 1) 0 |
|
|
3 |
5 |
8 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.4. Найти значение многочлена
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p(x) A |
2 |
6A 7E , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A |
5 |
|
1 |
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
6 |
2 |
|
1 |
6 |
|
||||||
|
Решение. Найдем |
A |
2 |
|
A A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
1 |
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
0 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 2 ( 1) 5 6 3 |
2 ( 1) ( 1) 1 6 0 |
2 6 ( 1) 4 6 ( 2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 1 5 4 3 |
|
|
5 ( 1) 1 1 4 0 |
|
|
5 6 1 4 4 ( 2) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 2 |
0 5 ( 2) 3 |
3 ( 1) 0 1 ( 2) 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6 0 4 ( 2) ( 2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
17 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
4 |
|
26 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
6 |
|
7 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6A 7E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( 6) |
|
5 1 |
4 |
|
|
0 7 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
2 |
|
|
|
0 0 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
( 6) 2 7 |
( 6) ( 1) |
|
( 6) 6 |
|
|
|
|
6 |
|
6 36 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 6) 5 |
|
( 6) 0 7 |
( 6) 4 |
|
|
|
|
30 |
7 24 . |
|||||||||||||||||||
|
|
( 6) 3 |
|
( 6) 0 |
( 6) ( 2) 7 |
|
|
|
18 |
0 19 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Тогда значение матричного многочлена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
3 4 |
|
6 |
|
6 36 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A2 6 |
A 7Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
27 |
4 26 |
+ |
|
30 |
|
7 24 |
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 22 |
|
|
|
18 |
|
0 19 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
3 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
181 3 |
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Важнейшей характеристикой квадратной матрицы размера [ n n ] является число , называемое определителем
или детерминантом n-го порядка.
Рассмотрим матрицу размером [ 2 2 ] |
a |
a |
|
А = 11 |
12 |
. |
|
|
|
a22 |
|
|
a21 |
|
Для нее определитель второго порядка |
вычисляется по |
||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
||
det A = = |
a11 |
= a a |
22 |
a a |
21 |
. |
|
||
|
a21 |
a22 |
|
11 |
12 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем понятия минор и алгебраическое дополнение |
|||||||||
элементов определителя. Минором |
M ij |
элемента |
|
aij опреде- |
|||||
лителя n-го порядка называется |
определитель |
(n 1) -го |
|||||||
порядка, получаемый из исходного определителя n-го порядка вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя aij называется число, равное минору этого
элемента, взятому со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца элемента четная и со знаком (-) — в противном
случае, т. е. |
A ( 1)i j |
M |
ij |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
6 |
|
; A |
|
8 |
6 |
|
; |
A |
|
8 |
6 |
|
. |
||
Пример 1.5. |
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
1 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
-1 |
7 |
|
|
32 |
|
2 |
- 4 |
|
|
|
|
-1 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления определителя любого порядка суще-
ствует метод разложения определителя по какой-либо строке или столбцу, а именно: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).
7
Для определителя третьего порядка имеем
a11 a12 |
a13 |
|
a |
|
a22 |
a23 |
|
– a |
|
a21 |
a23 |
|
a |
|
a21 |
a22 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a |
|
a |
|
a |
|
= |
|
|
|
+ |
|
. |
|||||||||
21 |
22 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
11 |
|
a32 |
a33 |
|
12 |
|
a31 |
a33 |
|
13 |
|
a31 |
a32 |
|
|||
a31 a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь определитель разложен по первой строке. Определитель можно вычислить, раскладывая его по любой строке или столбцу. Если же в какой-либо строке (столбце) определителя имеются нули, то разложение удобнее вести именно по этой строке (столбцу).
1 2 3
Пример 1.6. Вычислить 6 1 4 . 3 5 0
Решение. Так как в третьей строке определителя стоит ноль, то удобнее вычислить определитель разложением по третьей строке
|
1 |
2 |
3 |
= 3 |
|
2 |
3 |
|
5 |
|
1 3 |
|
0 |
|
1 2 |
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
5 |
0 |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
6 |
4 |
|
|
|
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3(8 – 3) – 5(4 – 18) + 0(1 – 12) = 15 + 70 = 85.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее
определитель отличен от нуля. Для квадратной невырож-
|
|
a |
a |
... a |
|
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
денной матрицы |
A |
a21 a22 |
... a2n |
может быть определена |
||
|
|
|
|
|||
|
|
... ... ... ... |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 an2 |
... ann |
|
||
обратная матрица A 1 :
8
|
|
|
A |
A |
... A |
Т |
|
|
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
|
A 1 |
1 |
|
A21 A22 |
... A2n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
... ... ... ... |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
An1 |
An 2 |
|
|
|
|
|
|
|
... Ann |
|
||||
где Aij — алгебраические дополнения матрицы A.
Обратная |
|
матрица |
удовлетворяет |
|||
A 1 A A A 1 E . |
|
|
|
|||
Пример |
1.7. |
Вычислить |
обратную матрицу |
|||
|
1 |
3 |
7 |
|
|
|
матрицы А |
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
2 |
. |
|
||
|
|
5 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Вычислим определитель матрицы
условию
А 1 для
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
1 6 3 14 7 5 13 0. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем алгебраические дополнения матрицы: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
5; |
|||||||
А |
|
|
|
6; |
А |
|
14; |
А |
|
|
|
|
||||||||||||||||
11 |
|
0 |
6 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
5 |
6 |
|
13 |
|
5 |
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
15; |
|||||||||
А |
|
3 |
18; |
А |
|
1 |
29; |
А |
|
|
|
|
||||||||||||||||
21 |
|
|
0 |
6 |
|
|
22 |
|
5 |
6 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
7 |
|
|
|
1 |
7 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|||||||||||||||
А |
|
3 |
13; |
А |
|
26; |
А |
|
13. |
|||||||||||||||||||
31 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
32 |
|
|
4 |
2 |
|
|
33 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9