Учебное пособие 1631

Положим, x4 t . Тогда х2 = 2 – t, x3 = 8 – 3t, x1 = 11t – 27, x5 = 16t – 42.

20

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Вектором называется направленный отрезок, обозначае-

мый или a , или AB с указанием начальной точки A (точки приложения) и конечной точки B (рис. 1) .

В

векторов.

21

Если линейная комбинация векторов обращается в ноль

линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа1, 2 , ..., n равны нулю.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Базисом в пространстве называется максимально возможная по количеству линейно независимая система векторов. В трехмерном пространстве три некомпланарных

, называются координатами вектора d в базисе векторов

a , b , c .

Разложение вектора d по базису данных векторов единственно.

Необходимость введения понятия базиса обусловлена тем, что линейные операции над векторами (сложения, вычитания, умножения на вещественное число) становятся операциями над числами (координатами этих векторов).

22

в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей: ось Оx — ось абсцисс; ось Оy — ось ординат; ось

Оz — ось аппликат.

z

A

О

y

x

Рис. 2

Вектор OA , выходящий из начала координат, называется

радиус-вектором.

Декартовой прямоугольной системе координат отвечает тройка взаимно ортогональных единичных базисных векторов

единственная тройка чисел x, y, z , такая, что будет справедливо

При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 10; 2; 5, 8, 6 единиц. Определить расход сырья на всю продукцию и его изменение при изменениях выпуска

векторов x и y , т. е.

Применяя свойство скалярного произведения, изменение суммарного расхода сырья можем записать:

S = ( x + x , y ) – ( x , y ) = ( x , y ) = 10 · 10 –

– 15 · 2 + 10 · 5 – 10 · 8 + 5 · 6 = 70. 24

Рассмотрим метод решения систем линейных неравенств.

Поскольку система состоит из отдельных неравенств, рассмотрим, что собой представляет решение линейного неравенства.

Решим линейное неравенство с двумя переменными x1 и x2: a1x1 a2 x2 b 0 . Здесь переменные x1 и x2 можно представить как координаты точки на плоскости. Тогда совокупность точек, удовлетворяющих данному неравенству, представляет собой область решений данного неравенства (полуплоскость).

Приведя неравенство к виду x2 kx1 l или x2 kx1 l ,

можно определить, какая именно полуплоскость является областью решений неравенства.

Если x2 kx1 l , то искомая полуплоскость лежит выше прямой x2 kx1 l , а если x2 kx1 l , то ниже ее.

Система неравенств дает пересечение конечного числа полуплоскостей, которое образует многоугольную область,

называемую областью решений системы неравенств. Эта область может быть как ограниченной, так и неограниченной, и даже пустой.

Пример 2.2. Найти область решений системы неравенств

x1 2 0,

x2 2x1 0,

x1 x2 2 0,

6x1 12x2 36 0.

Решение. Преобразуем неравенства в уравнения: x1 – 2 = 0, x2 – 2x1 = 0, x1 + x2 – 2 = 0, -6x1 – 12x2 + 36 = 0,

являются решением неравенств, отметим штриховкой. Тогда из графика видно, что областью решений системы неравенств является выпуклый четырехугольник ABCD.

x2

В

С

А

D

Рис. 3

26

3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

из множества Y ( y Y ), то говорят, что задана функциональная

(аргументом), y — зависимой переменной, множество X — областью определения функции, множество Y — областью значения функции.

Функцию можно задать тремя способами: табличным,

аналитическим и графическим.

Табличный способ. Этот способ широко используется при экспериментальных измерениях различных величин в науке и технике. В таблицах одну из переменных принимают за независимую переменную или аргумент, тогда другие величины будут функциями от этого аргумента. Табличный способ задания функциональной зависимости широко используется в различных базах данных.

С помощью методов аппроксимации по данным таблицы можно приближенно установить аналитический способ задания функции.

Аналитический способ. Этот способ состоит в формульном задании связи между аргументом и функцией y f x .

Графический способ. При графическом способе задания функции связь между аргументом и функцией задается посредством графика. Графиком называется множество точек координатной плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами — соответствующие значения функции.

27

Основные элементарные функции: степенная функция x ( – любое действительное число), показательная функция

Функции, полученные с помощью конечного числа алгебраических (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем, извлечение корня) и трансцендентных (возведение в степень с иррациональным показателем, логарифмирование, вычисление значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций) операций, также являются элементарными.

Алгебраическими называются элементарные функции, полученные с помощью конечного числа алгебраических операций. Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные функции. К рациональным функциям относятся целая и дробная рациональные функции. Функция вида

P x a0 xn a1xn 1 a2 xn 2 an 1x an ,

где n — натуральное число или ноль, a0 , a1 , a2 , , an — любые

действительные числа (коэффициенты), называется целой рациональной функцией, или алгебраическим многочленом степени n.

Многочлен первой степени называется линейной функцией.

Отношение двух целых рациональных функций

R x a0 xn a1xn 1 an 1x an b0 xm b1xm 1 bm 1x bm

называется дробно-рациональной функцией. 28

Алгебраическая функция, содержащая аргумент под знаком радикала, называется иррациональной функцией,

например, функция f x 6x 1 x7 / 9 является иррацио-

нальной.

Алгебраические функции, не являющиеся рациональными

такая зависимость у от х, что у является функцией от переменной u (промежуточный аргумент), а u , в свою очередь, зависит от переменной x . Функция вида y ln x представляет собой пример сложной функции, где в качестве промежуточного аргумента выступает u ln x . Существуют сложные функции, содержащие несколько промежуточных

u v , а v является вторым промежуточным аргументом, т. е.

(убывающей) в некоторой области, если для любых значений

(невозрастающей).

Функция, удовлетворяющая одному из вышеназванных определений, называется монотонной.

29