Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1631

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

5) находим критические точки второго рода ( f (x) = 0 или f (x) не существует, функция непрерывна), интервалы

выпуклости и вогнутости графика функции, а также точки перегиба;

6)находим асимптоты (вертикальные, наклонные) функции;

7)строим график функции, используя полученную информацию.

	y	x 2
Пример 3.26. Исследовать функцию				и постро-
		x 2
			1

ить ее график.

Решение:

1. Область определения функции

D y : , 1 1,1 1, .

2. Простейшие свойства:

а) если x 0 , то y 0 . График пересекает оси координат только в одной точке O 0,0 ;

б) так как

y( x)

x 2

y(x).,

то функция

( x)2

x2 1

является

четной,

т. е.

график ее

симметричен

x2 1

относительно оси Oy ;

в) функция непериодическая.

3. Первая производная равна

x 2

2x(x 2 1) x 2 (2x)

2 .

4. Приравниваем к нулю полученную производную.

Получаем

единственную

стационарную

точку

x = 0, которая

является единственной критической точкой. Значение функции в этой точке y 0 0 .

5. Разбиваем область определения функции стационарной точкой и точками разрыва функции и исследуем знаки первой производной в каждом промежутке:

y 0

Рис. 6

В точке

x = 0

происходит

смена знака

производной

с плюса на минус,

поэтому точка

x = 0 является

точкой

максимума (yмакс = y(0) = 0).

6. Вторая производная равна

2(x 2 1)2 ( 2x)2 x 2 1 2x

6x 2 2

x 2

3 .

7. Приравнивая вторую производную к нулю, видим, что критические точки второго рода отсутствуют.

8. Разбиваем область определения функции точками разрыва функции и исследуем знаки второй производной в каждом промежутке:

y 0 y 0 y 0

1	Рис. 7	1	x

На интервалах	x ; 1 1;	функция выпуклая,

а на интервале x 1;1 функция вогнутая. Точек перегиба

нет.

9. Асимптоты.

а) исследуем вертикальные асимптоты при x 1 и x 1:

lim	x2	,	lim	x	2	,

x 1 0 x2 1			x 1 0 x2		1
	x2	,		x2
lim			lim			;

x 1 0 x2 1			x 1 0 x2		1

б) исследуем наличие наклонных асимптот:

lim

x2 1

lim

0 ,

1,2

x x2 1

lim (

0 x) lim

1,2

x x

2 1

x x2 1

Имеется наклонная (горизонтальная) асимптота y 1 при x .

10. Полученные результаты используем при построении графика функции (рис. 8).

	y
	y f x
	1	y 1
		y 1
	0
1	1	x
x 1	x 1
	x 1
	Рис. 8

4. ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА» НА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР

ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ БАКАЛАВРОВ, ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО НАПРАЛЕНИЮ

38.03.03 «УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ» (ПРОФИЛЬ «УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ ОРГАНИЗАЦИИ»)

Линейная алгебра

Матрицы, операции над матрицами. Определители второго и третьего порядков, их свойства.

Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись систем линейных алгебраических

уравнений. Обратная матрица. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Векторная алгебра

Векторы, линейная зависимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов.

Графический метод решения систем линейных неравенств.

Предел и непрерывность функции

Функция. Способы задания функции. Простейшие свойства функции. Основные элементарные функции, применяемые в экономике.

Предел функции. Бесконечно малые величины и их свойства. Первый и второй замечательные пределы. Простейшие типы неопределенностей и способы их раскрытия.

Сравнение бесконечно малых величин. Непрерывность функции.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная функции. Основные правила дифференцирования. Таблица производных. Производные высших порядков. Дифференциал функции.

Исследование функции с помощью производной.

5. ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольные работы выполняются по следующим правилам, при несоблюдении которых работа будет не зачтена.

Контрольная работа выполняется в тетради в клетку, содержащей 12 или 18 листов чернилами синего или черного цветов. Использование чернил красного цвета недопустимо.

Для замечаний рецензента необходимо оставлять поля размером 4-5 см.

Обложка тетради должна быть оформлена следующим образом: Контрольная работа № __, по математике, студента группы _______, Ф.И.О., № зачетки, № варианта.

Работа выполняется строго по своему варианту, условия задач записываются полностью, после чего идут подробные решения этих задач с описанием всех промежуточных действий и указанием всех используемых формул. Задачи располагаются по порядку возрастания номеров.

В конце работы необходимо поставить подпись и число. Если при рецензировании работы будут выявлены

преподавателем ошибки, допущенные студентом при решении задач, необходимо в конце работы сделать работу над ошибками, правильно решив отмеченные преподавателем задания. При необходимости следует проконсультироваться с преподавателем.

6.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

ККОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1

1.Что такое матрица и каковы ее свойства?

2.Какой матрице можно поставить в соответствие определитель и что такое определитель?

3. Сформулируйте основные свойства определителя. В каких случаях можно сказать, что определитель равен нулю?

4.Дайте определение минору и алгебраическому дополнению.

5.Как произвести вычисление определителя разложением его по строке (столбцу)?

6.Что собой представляет система линейных алгебраических уравнений? В чем отличие однородной системы от неоднородной?

7.Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Понятие обратной матрицы.

8.Как решить систему линейных алгебраических уравнений с помощью метода Гаусса?

9.Что такое вектор, как найти его координаты?

10.Понятие базиса, в чем его необходимость? Какие

вектора образуют декартовый базис? Как перейти

к новому базису?

11.Что такое скалярное произведение, как вычислить его, если известны декартовые координаты векторов?

12.Как решается система линейных неравенств графическим методом?

13.Что такое функция, область определения и область значения функции? Каковы способы задания функций? Каковы графики основных элементарных функций?

14.Что такое предел функции при стремлении переменной к бесконечности, к заданному числу?

15.Как раскрываются неопределенности с помощью первого и второго замечательных пределов?

16.Что такое бесконечно малая и бесконечно большая функции? Что такое эквивалентные функции?

17.Что такое производная функции?

18.Каковы основные правила вычисления производной?

19.Каковы производные основных элементарных функций?

20.Что такое дифференциал функции?

21.Для раскрытия каких неопределенностей можно применить правило Лопиталя?

22.Как определить интервалы возрастания или убывания функции?

23.Что такое экстремум функции и как определить точки, в которых он находится?

24.Как определить интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба?

25.Что такое асимптота? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?

26.Какова схема полного исследования функции для построения ее графика?

7.ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

				Задача № 1
№ 1–20. Найти значение многочлена p(x) 2A2											3AT		6E
от заданной матрицы A .
5			2	3			8 2				5

1. A	1		0	4	.	2.	A	1 1			1	.
	3		3	1				2		1	0
	3		3	1				2		1	0
3			4	2			1			3	2

3. A	4	3		0 .		4.	A		1 2		1 .
		1							2 7		0
9		1		3					2 7		0
						56

		1			2	3

5.	A			0	1		1 .
		8			1	1

	1				2	4

7.	A		1		7	2		.
			0		1	1
			0		1	1
	3				1	1

9. A		4			1	6	.
		1			0 2
		1			0 2
		1			3		1

11.	A			2	0	2 .
				1	4		5
				1	4		5
		7			1	2

13. A				1	2	0 .
				0	1	1

		4			1	1

15.	A	3			4	0		.
				1	3
				1	3	1

		7			2	0

17.	A			1	3	1 .
				2	2
				2	2	5
			0		1		1
	A		5		2		6
19.	A		5		2		6	.
			2		3	1

2		1	3

6. A	1	0	5	.
	2	3	1

		6					1	3

8. A			3				0	1 .
			1				3	1

			1				5	1

10.	A				2		0	3 .
						1	2	4

			6				3	1

12.		A			0		1	2			.
					5		2	1

				7			1	3
		A				1	2	0
14.									.
						4	3	4

			7				0	3

16.		A				2	1	4 .
						3	3	5

			0				7	1
	A				1		3	0
18.										.
				2			1	1

				1			2	7

20.		A				0	3	1 .
						2	4	1

Задача № 2

№ 1–20. Решить матричное уравнение.

1.2

2.31

3.65

4.12

5.16

6.8

7.41

8.32

2	5					6

1	3		X				4		.
3							1
	1
1	4						6

5	1 X			4 .
1	1						2

1	4					8

2	1		X				6		.
1	3					10

1	4			12

1	3	X				1		.
2						7
	1

1	1					7

2 1 X					1 .
1					15
	4
1	1			0

2	1 X				1		.
3	2				5

1	3					1

3	1 X						9		.
5	4
						5
1	4			10

2	1	X			8				.
1	5			16

9. 51

10. 2

11. 45

12. 26

13. 3

14.13

15.15

16.34

11 3 1

51 4

11 5 1 4 1 1 32

1						11

3		X			14						.
4							3

1							3

2 X							8				.
						6
3
1						1

5		X					0			.
1							7

4							2

		1 X					4		.
							4
		3
1						4

6 X							20				.
1						2

2			0

1	X			3		.
8				6

2						9

6		X				8		.
						8
3
3					6

		1 X					2 .
							12
5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.55 Mб9Учебное пособие 1627.pdf
#
30.04.20221.56 Mб3Учебное пособие 1628.pdf
#
30.04.20221.56 Mб14Учебное пособие 1629.pdf
#
30.04.2022309.13 Кб3Учебное пособие 163.pdf
#
30.04.20221.56 Mб18Учебное пособие 1630.pdf
#
30.04.20221.57 Mб6Учебное пособие 1631.pdf
#
30.04.20221.57 Mб5Учебное пособие 1632.pdf
#
30.04.20221.57 Mб5Учебное пособие 1633.pdf
#
30.04.20221.57 Mб3Учебное пособие 1634.pdf
#
30.04.20221.57 Mб8Учебное пособие 1635.pdf
#
30.04.20221.57 Mб5Учебное пособие 1636.pdf

1						11

3		X			14						.
4							3

1							3

2 X							8				.
						6
3
1						1

5		X					0			.
1							7

4							2

		1 X					4		.
							4
		3
1						4

6 X							20				.
1						2

2			0

1	X			3		.
8				6

2						9

6		X				8		.
						8
3
3					6

		1 X					2 .
							12
5

1						11

3		X			14						.
4							3

1							3

2 X							8				.
						6
3
1						1

5		X					0			.
1							7

4							2

		1 X					4		.
							4
		3
1						4

6 X							20				.
1						2

2			0

1	X			3		.
8				6

2						9

6		X				8		.
						8
3
3					6

		1 X					2 .
							12
5

1						11

3		X			14						.
4							3

1							3

2 X							8				.
						6
3
1						1

5		X					0			.
1							7

4							2

		1 X					4		.
							4
		3
1						4

6 X							20				.
1						2

2			0

1	X			3		.
8				6

2						9

6		X				8		.
						8
3
3					6

		1 X					2 .
							12
5