Учебное пособие 1631

Пример 3.16. Найти производную сложной функции y ln3 cos 62x 1 .

Решение:

Пример 3.17. Найти производную функции arcsin x 8x .

Решение. Основание и показатель степени заданной функции зависят от х. Поскольку в таблице производных нет степенно-показательных функций, прологарифмируем

y arcsin x 8x , чтобы затем найти ее производную

ln y ln arcsin x 8x 8x ln arcsin x.

Продифференцируем по х обе части полученного

Использованный метод называют логарифмическим дифференцированием.

41

задана уравнением F(x, y) = 0, не разрешенным относительно y — неявно заданная функция y3 3y 2x 0.

Решение. Продифференцируем обе части заданного

называется производной первого порядка.

Если функция f x дифференцируема, то производная от

производной определена и называется производной второго порядка, обозначается

y n y n 1 .

Производные порядка выше второго называются производными высших порядков, причем порядок производной обозначается числом в скобках, записанным в виде верхнего индекса.

42

Пусть функция y f x дифференцируема, а аргумент x является независимой переменной. Тогда ее дифференциал или

существует и называется вторым дифференциалом или

дифференциалом второго порядка:

d dy d 2 y d y dx y dx dx y dx dx y dx 2 y dx2 .

Дифференциал n -го порядка определяется как дифференциал от дифференциала n 1 -го порядка:

d n y d d n 1 y .

Данные формулы справедливы, если x является независимой переменной.

Пример 3.21. Найти d 2 y , если y x3 , а x является независимой переменной величиной.

Решение: y 3x2 , y 6x , d 2 y 6x dx2 .

При вычислении пределов для раскрытия в них неопределенностей может быть использовано правило Лопиталя.

этой окрестности будет выполняться неравенство

f x0 f x , ( f x0 f x ) .

Значение функции в точке максимума (минимума)

называется максимумом (минимумом) функции или экстре-

мумом функции.

Понятие экстремума функции является локальным для функции, поскольку всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции.

Рассмотрим необходимое и достаточные условия существования экстремума функции.

максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е.

f x0 0 (обратное не верно).

касательная к ее графику параллельна оси Ox .

Точки, в которых производная обращается в нуль,

называются стационарными.

Точки непрерывности, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.

f x меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка макси-

47

мума; если же изменение знака происходит с минуса на плюс, то x0 является точкой минимума.

Еще одним из пунктов исследования функции является

определение интервалов выпуклости, вогнутости функции, точек перегиба.

График дифференцируемой функции y f x называется

Точки графика непрерывной функции y f x ,

отделяющие участки вогнутости и выпуклости графика,

называются точками перегиба.

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба

точка графика с абсциссой x0 является точкой перегиба.

Точки, где функция непрерывна, а вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второго рода.

Следующим пунктом в исследовании функции является

определение наличия асимптот. 48

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными.

Вертикальные асимптоты появляются на границах области определения функции и в точках разрыва второго рода.

асимптоту. Существуют функции, графики которых имеют различные асимптоты при стремлении x к и , поэтому при определении параметров k и b необходимо вычислять соответствующие пределы при x и x .

Рассмотрим общий план исследования функции: 1) определяем область определения функции; 2) находим точки разрыва функции;

3) находим точки пересечения графика функции с осями координат, определяем четность (нечетность) функции, ее периодичность;

непрерывна, интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума функции;

49