Практикум по высшей математике. дифференциальные уравнения и ряды. Пантелеев И.Н

функциях, находим, что A

5

, B

1

.

26

26

Частное решение примет вид

y1

1

ex

5cos x sin x .

26

Следовательно, общее решение исходного уравнения будет

y C1ex C2e6 x

1

ex 5cos x sin x .

26

е) Для соответствующего однородного уравнения

y 2 y 0

составим

характеристическое

уравнение

k2 2k 0 .

Его корни

k

0, k

2

2 . Общее

решение

1

однородного уравнения будет

u C

C

e2 x .

1

2

Приравниваем коэффициенты

sin x

A A D 2B 2C 0,

cos x

B C C 2A 2D 0,

x sin x

C 2A 0,

x cos x

A 2C 1.

Из решения этой системы находим, что

A

1

,

B

14

,

C

2

,

D

2

.

5

25

5

25

б) y 2 y y 2e 2 x ;

y 0 2, y 0 1,

y 0 1.

Решение.

а) Для

соответствующего однородного

уравнения

yIV 5y 4 y 0 составляем характеристическое

уравнение

k4 5k2

4 0.

Находим

его

корни

k1,2 i, k3,4

2i.

Следовательно,

общее

решение

однородного уравнения будет

u C1 cos x C2 sin x C3 cos 2x C4 sin 2x .

Поскольку

число

a bi

совпадает

с

корнями

характеристического

уравнения

k1,2 ,

то частное

решение

ного уравнения будет

y

1

x cos x.

1

2

Окончательно, общее решение неоднородного уравнения

примет вид

y C cos x C

sin x C cos 2x C

sin 2x

1

x cos x .

2

4

1

3

2

б)

Для

соответствующего однородного

уравнения

y 2 y y 0

составляем характеристическое

уравнение

k3 2k2

k 0.

Находим его корни k

0, k

2,3

1. Учитывая

1

правой

части будет

y

Ae 2 x . Находя производные

1

y ,

y ,

y и подставляя

их

в исходное уравнение, будем

1

1

1

а) y 2 y y xe x cos x ; б)

y 3y 2 y

ex

2

;

x

e

1

б) Характеристическое

уравнение,

соответствующего

однородного уравнения, имеет корни

k1 2,

k2 1.

Тогда

общее решение однородного уравнения будет

u C e2 x

C

ex .

Частное решение находим по формуле (3)

1

2

2 x

x

ex

2

x

2 x

e x

y1 e

e

dx

x

e dx dx e

e

x

e

1

1

2 x

dx

dx

x

2 x

dx

ex

1 t

e

x

e

e

dt

e

e

x

1

e

x

1

dx

t 1

e

2 x x2

ln x

3x2

4

.

2

x

2

3x

2

Таким образом,

y C1 xC2

ln x

e 2 x .

2

4

г) Характеристическое уравнение, соответствующего

однородного уравнения,

имеет корни k1 0, k2

2i,

k3 2i.

1

2ix

4ix e5ix

e3ix

eix

e ix

e

e

5i

3i

i

i

dx

8

1

2ix eix

e ix

e 3ix

e 5ix

e

dx

8

5

3

3

5

1

3ix

3ix

ix

ix

e

e

e

e

.

8

15i

15i

3i

3i

тригонометрические функции y

1

sin 3x

1

sin x.

1

60

12

ex

1

y

а) y

2 y

y x2 1 ; б) y

y cos3 x ; в)

y

sec xtg x.

Решение.

а) Для

соответствующего

однородного

уравнения

y 2 y y 0

составляем

характеристическое

уравнение

k2 2k 1 0,

корни которого

k

1. Общее

1,2

решение однородного уравнения будет u C1

C2 x ex .

y ex и y

2

xex , получим

1

x

x

0,

C1e

C2e

x

x e

x

ex

,

2

C1e

C2 1

x

1

Откуда C1

1

,

C2

1

.

x2 1

x2 1

Интегрируя последние выражения, находим

C1

1

ln x2 1 C1;

C2 arctgx C

2 .

2

Обозначая

y1 cos x; y2

sin x,

из

системы

(9) будем

иметь

C cos x C sin x

0,

1

2

C1 sin x C2 cos x

1

,

3

1

cos

Откуда

C1

sin x

;

C2

1

.

Интегрируя

последние

cos3 x

cos2 x

выражения, находим C

1

;

C

.

C

tg x C

2 cos2 x

1

1

2

2

Подставляя C1, C2 в общее решение, будем иметь

y C1 1 cos x C

2 sin x

1

1

или

2cos x

cos x

1

y C cos x C

sin x

.

2

1

2cos x

в) Для

соответствующего

однородного

уравнения

y y 0

составляем

характеристическое

k3 k 0 и

находим

его

корни

k1 0, k2,3 i.

Общее

решение

Обозначая y1 1; y2

cos x; y3

sin x, из системы (10)

будем иметь

3

xx , C2 tgx, C3 tg2 x. Интегрируя

откуда C1 sin x cossin 2

ax b n

y n

a1 ax b n 1 ... an 1 ax b y an y f x , (1)

где a,b, a1,..., an 1, an

- постоянные, называется уравнением Эй-

лера.

ax b et

Если для области ax b 0 по формуле

ввести

новую

независимую

переменную t , то

t

;

2

e

2t

a

3

e

3t

yx ae

yt

yxx a

ytt

yt ;

yxxx

yttt

3ytt 2 yt

и т. д.

и

уравнение

Эйлера

преобразуется

в

линейное

уравнение с постоянными коэффициентами.

2°. Уравнение вида

... an 1xy an y f x ,

xn y n a1xn 1 y n 1

(2)

есть частный случай уравнения Эйлера (1).

x et

Решение уравнения (2) ищем с помощью подстановки

x 0 . Тогда

t

e

2t

e

3t

и т. д.

yx e

yt ;

yxx

ytt yt ; yxxx

yttt

3ytt 2 yt

xn y n a1xn 1 y n 1

... an 1xy an y 0

(3)

при x 0

можно найти в виде y xr , где r - постоянное число.

Для нахождения

r подставляем

n

в уравнение (3) и

y, y ,..., y

решаем

полученное

характеристическое

уравнение

относительно r.

Если

r -

действительный

корень

характеристического

уравнения кратности

k,

то ему соответствует

k линейно

независимых решений

y3 xr ln x 2 , … , yk xr ln x k 1 .

y1 xr ,

y2 xr ln x,

Если корни комплексные r i

кратности k, то им со-

ответствует k пар линейно независимых решений

x cos ln x ,

x ln x cos ln x , … ,

x ln x k 1 cos ln x ,

x sin ln x ,

x ln x sin ln x , … ,

x ln x k 1 sin ln x .

12.1. Решить уравнения: а)

x2 y xy y 0;

б)

x

2

y

y 0;

в)

x

2

y

3xy

y

1

;

xy

x

г) x 1 2 y 3 x 1 y 4 y x 1 3 .

Решение. а) Уравнение однородное,

полагаем y xr . То-

гда y

rx

r 1

и y

r r

1 x

r 2

. Подставляя

в заданное

y, y , y

уравнение,

получим

характеристическое

уравнение

r r 1 r 1 0 илиr2

1 0 . Корни мнимые r1,2

i . Следо-

вательно, общее решение будет y C1 cos ln x C2 sin ln x.

б)

Полагая y xr , находим характеристическое уравнение

r r 1 r 2 r 1 0

или r 1 3 0 . Корни действительные

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y1 At2e t .

Находим

производные

y1 A 2te t

t2e t ,

y1 A 2e t

4te t t2e t . Подставляя y, y , y в неоднородное

уравнение, будем иметь

A

2e t 4te t t2e t 4te t 2t2e t t2e t e t ,

отсюда A

1

. Таким образом,

y C1 tC2

e t

1

t2e t .

2

2

Переходя к переменной x, будем иметь

y C C

2

ln x

1 ln2 x 1 .

1

2

x

г) Полагая x 1 et , находим линейное уравнение с посто-

янными коэффициентами

ytt yt 3yt 4 y 33t

или y 4 y 4 y 33t .

Характеристическое уравнение, соответствующего одно-

родного

уравнения,

имеет

кратные

корни

k1,2 2 .