Учебное пособие 1613

x 4 0 ,

то

есть

4 x .

Данный ряд

представляет

геометрическую

прогрессию

со

знаменателем

q lg(x 4) .

Ряд сходится при условии

q

1,

то есть

lg x 4

1 или

1 lg(x 4) 1. Отсюда

lg

1

lg(x 4) lg10 или

1

x 4 10,

4,1 x 14 .

10

10

Следовательно, данный ряд сходится для значений х из

интервала

x 4,1; 14 ,

который

содержится в

промежутке

4; .

n 1 xn

5.2. Показать, что ряд 1

сходится равномерно

n

n 1

на отрезке 0;1 . При каких n и любом х на этом отрезке

остаток ряда

Rn x

0,1?

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных

n

величин членов данного ряда

x

. По признаку Даламбера

n 1

n

D lim

xn 1

n

x

. Для всех значений х из полуоткрытого

n

1

xn

n

промежутка 0;1 этот предел меньше 1, следовательно, в

промежутке

0;1

ряд

сходится

абсолютно.

Поскольку

1 n 1

xn

xn

,

то исследуемый ряд для х из промежутка 0;1

n

n

Отсюда

R (x)

xn 1

1

0,1;

n 1 10 ;

n 9 для всех х

n

n 1

n 1

на отрезке 0;1 .

1

5.3.

Доказать,

что ряд

равномерно

n 1

сходится

в интервале

0 x .

n 1 2

1 nx

n сумма ряда

При

каком

Решение. При любом

x 0

члены данного ряда меньше

членов числового сходящегося ряда

1 1

1 ...

1

...,

2n 1

2

4

1

n

1

R (x)

2

0,001.

1

2n 1

n

1

2

Отсюда 2n 1 1000 и сумма ряда может быть вычислена с

заданной точностью при n 11.

x

2

5.4. Определить сходимость ряда

.

1 x2

n

n 1

Ряд сходится и имеет сумму f (x)

x2

1 x2 .

1

1

1 x2

x

2

x

2

1

n 1

1

2

Sn

1

x

1 x2

.

1

1 x2 n

1

1 x2

1

Отсюда остаток ряда R (x)

f x S

(x)

.

1

x2 n

n

n

При x 0 нельзя указать такое число N,

при котором

остаток

ряда стремился бы к нулю, так как

при любом n

остаток

равен единице. Следовательно, какое бы

мы ни

выбрали, будет

f x Sn (x)

при x 0 .

Ряд

сходится

cn c1 c2 c3

... cn ...,

(1)

n 1

где

cn an bni

—

комплексные числа;

an ,bn —

действительные числа; i2

1.

Ряд с комплексными членами сходится, если

одновременно сходятся

ряды с

действительными членами

an

и bn , причем в этом случае

n 1

n 1

.

cn

an i bn .

(2)

n 1

n 1

n 1

cn

an2 bn2 .

n 1

n 1

cn zn

c0 c1z c2 z2 c3 z3 ...,

(3)

n 0

где z x iy — комплексная переменная; cn

an ibn —

комплексные постоянные.

z z0 ,

Если степени z заменить степенями разности

то

получим ряд

n c0 c1 (z z0 ) c2 (z z0 )2

c0 z z0

...,

(4)

ряды сходятся абсолютно; при

z

R или

z z0

R ряды

n i

n

n(2

i)

n

в) i

1

б)

;

;

г)

.

n 1

n 1

n 1

n

n 1

n(3 2i) 3i

Решение. а) Используем признак Даламбера

lim

c

lim

n 1 2 i n 1 2n

n 1

2n 1 n(2 i)n

n

c

n

n

2 i

lim n 1

2 i

4 1

5

1.

2

2

2

2

n

n

Поскольку предел больше 1, то данный ряд расходится.

б) Представим ряд по формуле (2)

в виде суммы двух

n

1

рядов с

действительными членами

i

.

n 1

n

1

n 0

n 0

n

i

i

i

i

n

n 1

i

1

1

1

1

...

1

i

1

.

2n

2n 1

n 1

n

1 2

3 4

5 6

7 8

n 1

n 1

модулей

i

n

расходится, следовательно,

исходный

1 ,

n 1

n

n 1 n

ряд сходится условно.

г) Используем радикальный признак Коши

c

n(2 i) 1 n

2n 1 in

2 i

lim n

lim n

lim

n

n

n

n(3

2i) 3i

n

3n (2n 3)i

3 2i

2 i 3 2i

8 i

5

1.

3 2i 3 2i

13

13

6.2. Определить круг сходимости: а) in zn ;

n 0

n

i)

б)

z 2i

;

в) n! i z3n ;

г)

n!(1

z2n .

n

n 1

n3

n 1

n 1 (2n 1)!

Решение. а) Используем признак Даламбера

lim

c

lim

in 1zn 1

z

.

n 1

in zn

n

c

n

n

lim

(z 2i)n 1 n3n

z

2i

lim

n

z 2i

.

(n 1)3n 1(z

2i)n

3

1

3

n

n n

Следовательно, радиус круга сходимости

z 2i

3 , вне

этого

круга

z 2i

3

ряд

расходится. На границе круга

сходимости

z 2i

3 ряд расходится, так как во всех точках

этой границы расходится числовой ряд 1 .

в) По признаку Даламбера

n 1

n

lim

n 1 ! i z3n 3

z

3

lim

n!(n 1) i

.

n! i z

3n

n! i

n

n

Радиус круга сходимости данного комплексного

степенного ряда R 0

и ряд сходится только в одной точке

(0,0).

г) По признаку Даламбера

n 1 (2n 1)!

(n 1)!(1 i)z2n 2 (2n 1)!

z2 lim

0.

lim

(2n 1)!n! 1 i z2n

(2n 1)!2n(2n 1)

n

n

Радиус круга сходимости данного степенного ряда

R

и ряд сходится во всех точках комплексной плоскости.

2.7. Алгебраические действия над рядами

1°. Пусть даны два ряда

an a1

a2 a3 ...

(1)

n 1

b ...

(2)

b b b

n

1

2

3

n 1

Под суммой (разностью) этих рядов понимают ряд

(an bn ) (a1

b1 ) (a2 b2 ) (a3

b3 ) ...

(3)

n 1

Если ряды (1), (2)

сходятся, то сходится и

их

сумма

(разность).

2°. Под произведением рядов (1), (2) понимают ряд

cn c1 c2

c3

... cn ...

,

(4)

Sn

ряда (1) при n называется суммой ряда S lim Sn .

n

Если в ряде (1) отбросить первые n членов, то получим ряд

an 1 an 2 an 3 ... S Sn Rn ,

(5)

nn

n

7.1.

Составить

сумму

рядов 1

и

( 1) n

.

n

Сходится ли эта сумма?

n 1

2

n 1

2

Решение. Сумму рядов находим по формуле (3)

1 n

1 n n

1 n ( 1)n n

1 ( 1)n

.

2

n

2

n

2

n

2

n

n 1

n 1

n 1

n 1

Сравнивая общий член полученного ряда по первому

признаку

сравнения

со

сходящейся

геометрической

прогрессией

1 ( 1)n

1

, убеждаемся в его сходимости.

2n

2n

1

7.2.

Составить

разность рядов

1

и

,

2n 1

n 1

n

n 1

1

1

2n 1 n

n 1 .

n 1 n

n 1 n(2n 1)

n 1

2n 1

n 1

n(2n 1)

Сравнивая общий член

полученного

ряда по второму

признаку сравнения с расходящимся гармоническим рядом

lim

n 1 n

1

, убеждаемся в его расходимости.

n n(2n 1)

2

1

1

7.3. Перемножить ряды

и

. Сходится ли

n

n

n 1

это произведение?

n 1

n 1

3

Решение. Раскроем перемножаемые ряды

1

1

1

1

1

1

1

...

;

1

...

n n

2

3 2

3 2

n 1

3

2

n 1

3

n 1

3

3

Пользуясь схемой (4), находим произведение

1

1

1 1

1 1 1

1

1

...

n n

n 1

3

2

3 2

2

3 2

3 2

3 2

n 1

n 1

3

3

3

1

1

1

1

1

1

...

...

n 1

2

3/ 2

n 2

3/ 2

n 3

n

3/ 2

3

3

3

3

1

1

1

1

1

1

1

...

...

1

...

...

3

2

n 1

2

3 2

3

n 2

3

3

3

1

1

...

1

...

...

1

3/ 2

3

3

n 3

3