Учебное пособие 1613

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

a3 ... an ... an ,

где числаa , a

образуют известную числовую

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

2. РЯДЫ

2.1. Числовые ряды. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости

1°. Числовым рядом называется выражение вида

довательность. Здесьan — общий член ряда.

2°. Под частичной суммой ряда понимают сумму п первых его членов Sn a1 a2 ... an . Числовой ряд называется

сходящимся, если частичная сумма при n имеет предел.

Этот предел называется суммой сходящегося ряда	lim Sn S .
	x
Если предел lim Sn не существует, то ряд	называется
x
расходящимся.

3°. Необходимым признаком сходимости ряда является

условие lim a	n	0 . Если предел общего члена	lim a	n	0 , то
x	n		x	n

ряд расходится — достаточный признак расходимости ряда.

1.1. Проверить, выполняется ли необходимое условие

										2n 3							n
сходимости для рядов: а)										2n 3			;	б)			n		;
сходимости для рядов: а)									n(n 1)				;	б)			n2		;
	1	1		1		1		n 1	n(n 1)						n 2		n2	1
в)	1	1		1		1	...
в)	2	2		2		2	...
	2	5	8		11
	Решение. а) Найдем предел общего члена при n :
												2		3
								2n 3		lim	n					0 .
						lim		2n 3			n				n2
						lim								1
						x n(n 1)				x				1
													1	n

Так как предел общего члена равен нулю, то необходимое условие сходимости ряда выполняется и ряд может сходиться.

121

б) Найдем предел общего члена при n

lim	n	lim		1		1.
lim	n2 1	lim		1		1.
x	n2 1	x		1
			1
			1		n2

Поскольку предел не равен нулю, то ряд расходится (см. достаточный признак расходимости ряда).

в) При исследовании на сходимость третьего ряда

необходимо найти его общий член					1		2 .
	12	12	12 12 ...		1		2 .

2		5	8 11	n 1	(3n 1)
Найдем предел общего члена ряда				lim		1		0.
Найдем предел общего члена ряда				lim		(3n 1)2		0.
				x		(3n 1)2

Для первого и третьего рядов необходимый признак сходимости выполняется, поэтому они могут сходиться, но могут и расходиться, что можно установить только с помощью достаточных признаков сходимости.

2.2. Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов

1°. Интегральный признак Коши. Предположим, что существует непрерывная и убывающая функция f (x) , причем

при x t она равна первому члену ряда (1), при x = 2 второму члену и т. д. При сделанных предположениях ряд (1) сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится несобственный интеграл


f (x)dx ,	(2)

где нижним пределом интеграла может быть любое положительное число из области определения функции. При исследовании рядов на сходимость интегральным признаком целесообразно пользоваться в том случае, когда достаточно легко находится значение несобственного интеграла (2).

122

2°. Первый признак	сравнения. Пусть		даны два
положительных ряда
a1 a2	a3	... an ;	(3)
		n 1
			(4)
b1 b2	b3	... bn .	(4)
b1 b2	b3	... bn .

n 1

Если все члены ряда (3) не превосходят соответствующих членов ряда (4), т. е. an bn (n 1, 2,3,...) , то из сходимости

ряда (4) следует сходимость ряда (3), а из расходимости ряда

(3) следует расходимость ряда (4).

При использовании этого признака исследуемый ряд сравнивают с геометрической прогрессией


aqn ,(a 0),					(5)
n 0
которая сходится при	q	1	и расходится при			q	1 ,
которая сходится при	q	1	и расходится при			q	1 ,
расходящимся гармоническим рядом					(6)
		1			(6)

		n 1 n
или рядом Дирихле			1

				,	(7)
			p	,	(7)
		n 1	n

который при p 1 сходится, а при p 1 расходится.

3°. Второй признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда (3) и (4). Если существует предел

lim an K , то ряды одновременно сходятся или расходятся.

n bn

4°. Радикальный признак Коши. Пусть an 0 и существует

предел lim n a K , тогда ряд (1) сходится, если		K 1, и
n	n
n

расходится, еслиK 1.

123

В случае, когда K 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым и следует пользоваться другими достаточными

признаками.
5°. Признак		Даламбера.		Если	существует		предел
отношения	последующего		члена		ряда к	предыдущему
lim an 1 D,	то	при D 1	ряд	(1)	сходится,	а при	D 1
n a
n

расходится. При D 1 признак Даламбера не дает возможности судить о сходимости ряда. В тех случаях, когда признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости, прибегают к более тонким и сложным признакам.

6°. Признак Раабе. Если существует предел

lim n

1 R,

an 1

то при R 1 ряд (1)

сходится, а при R 1 ряд расходится.

7°. Признак Куммера.

Пусть ряд

расходится. Если

n 1 c

K 0

существует предел

lim

cn 1

то при

ряд

an 1

(1) сходится, а приK 0 расходится.

8°. Признак Бертрана. Если существует предел

lim ln n

1 1 B,

an 1

то при B 1 ряд (1)

сходится, а при B 1 расходится.

9°. Признак

Ермакова.

Пусть

функция

f (x) an

существует предел

lim

f (ex ) ex

E , тогда при

E 1

ряд (1)

f (x)

сходится, а при E 1 ряд расходится.

Функция

ex может

быть заменена любой

другой

функцией (x) ,

удовлетворяющей

неравенству

(x) 0 .

124

Таким образом, из признака Ермакова может быть получен ряд других признаков, в зависимости от выбора функции (x).

			10°. Признак Гаусса. Представим для ряда (1) отношение
	an			в виде							an																n , где									, — постоянные, а																		n	—
				в виде						a															n		n , где									, — постоянные, а																			—
	a									a															n			n2
	n 1												n 1
ограниченная величина																										n			L ; тогда ряд сходится,																					если 1 ,
ограниченная величина																										n			L ; тогда ряд сходится,																					если 1 ,
	1,				и расходится,																	если 1											или 1, 1.
																																																1
			2.1. Исследовать сходимость рядов: а)																																													1				;
			2.1. Исследовать сходимость рядов: а)																																												(3n		1)		2	;
																																											n 1				(3n		1)
б)			1					1								1								... ;						в)			1						1								1		...
б)		1	2			1		2			2										2			... ;						в)		2ln 2						3ln 3							4ln 4				...
		1	1			1		2							1 3																	2ln 2						3ln 3							4ln 4
			Решение. а) Заменяем общий член ряда непрерывной
функцией											f (x)														1					,			исследуем													на			сходимость
функцией											f (x)									(3x 1)2										,			исследуем													на			сходимость
																				(3x 1)2
несобственный интеграл
							dx											1									1								1								1					1				1
							dx											1									1								1								1					1				1
																					lim																lim																.

				1 (3x 1)								2														3x 1																3			1
																		3													1				3													2				6
																		3																	3													2				6
			Интеграл сходится, следовательно, по интегральному
признаку Коши сходится и ряд.
			б) Найдем сначала для ряда общий член
												1													1						1			...							1						...
																2										2					2			...					1		n			2			...
											1 1										1 2									1 3									1		n
			Функция											f (x)											1				; а интеграл
			Функция											f (x)									1		x2				; а интеграл
																							1		x2
																	dx								lim arctgx													.
																	dx
														1 1 x2
																																			1			4
																																						4
			Интеграл сходится, следовательно, по интегральному
признаку Коши сходится и ряд.
			в) Найдем общий член ряда																														...			1 .
												1											1							1			...			1 .

									2ln 2										3ln 3								4ln 4										n 2			n ln n

125

и рассмотрим интеграл

	dx	lim ln ln x	.

2	x ln x
			2

Нижний предел несобственного интеграла выбираем в соответствии с областью существования функции. Интеграл расходится, поэтому согласно интегральному признаку расходится и ряд.

																			1
2.2. Исследовать сходимость рядов: а)																			1		;
2.2. Исследовать сходимость рядов: а)																		3	n 3		;
																	n 1		n 3
	1			2	1		2 2		1				2 3						1
б)		;	в)												... ;	г)						.
б)		;	в)	5					3						... ;	г)				2n 5		.
n 2 ln x				5	2		5		3				5				n 1			2n 5
Решение. a) Сравним данный ряд с расходящимся рядом
Дирихле, когда p					1	.Общий член ряда Дирихле будет
Дирихле, когда p					3	.Общий член ряда Дирихле будет
					3
							an			1				.
							an			1				.
										n		3
Так как			3 n 3 3				n ,	то					1			1	.
Так как			3 n 3 3				n ,	то						n 3			.
											3			n 3		3 n

Поскольку общий член нашего ряда больше общего члена расходящегося ряда Дирихле, то по первому признаку сравнения он тем более расходится.

б) Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Так как ln n n , то общий член исследуемого ряда больше

соответствующего члена гармонического ряда ln1n 1n и,

соответственно, наш ряд согласно первому признаку сравнения расходится.

в) Найдем общий член ряда

2	1	2 2	1	2 3		1	2 n
5	2	5	3	5	...	n	5	,
					n 1

126

и сравним с бесконечной геометрической прогрессией,

знаменатель	которой	q	2	1 .	Эта	убывающая
			5

геометрическая прогрессия представляет сходящийся ряд, а общий член исследуемого ряда меньше соответствующего члена геометрической прогрессии, т.к. делится еще на п. Отсюда следует, что наш ряд тем более сходится.

г) Рассмотрим вспомогательный ряд

1	1	1	1		1				1
				...		...					.
	4	5	6		n 3					3)
2							n 1 2(n
Слева в скобках записан гармонический ряд, в котором
отброшены	первые			три	члена			1	1	. Поскольку
						1		2	3

отбрасывание конечного числа первых членов ряда не влияет на сходимость или расходимость ряда, то вспомогательный ряд расходится.

Сравним общие члены заданного ряда с членами вспомогательного ряда. Для любого п имеет место

. Так

как члены

заданного

ряда больше

2 n 3

2n 5

членов, расходящегося ряда, то он тем более расходится.

2.3. Исследовать сходимость рядов: а)

;

б) n 1

; в) 2n 3 .

n 1 2n 1

n 1

2 n

n n 1

Решение. а) Сравниваем со сходящимся рядом Дирихле

. Находим предел отношения общих членов

n 1 n

lim

1 .

2n 1 2

127

Так как ряд Дирихле сходится, то исследуемый ряд согласно второму признаку сравнения тоже сходится.

	б)		Сравниваем	с бесконечно убывающей прогрессией

	1	.	Пользуясь	правилом		Лопиталя,		находим предел
	n
n 1 2
отношения их общих членов
				lim	2n	lim	2n ln 2	1.

				n 2n n		n 2n ln 2 1

Так как предел существует и конечен, а бесконечно убывающая геометрическая прогрессия сходится, то исследуемый ряд согласно второму признаку сравнения тоже сходится.

в) Находим предел отношения общего члена исследуемого

lim

2n 3 n

ряда и гармонического

lim

2 .

n(n 1)

Поскольку предел существует и гармонический ряд

расходится, то исследуемый ряд также расходится.

n 1

2.4. Исследовать

на сходимость ряды:

а)

;

2n 1

n 1

б)

2n 1

n 1

Решение. а) Воспользуемся радикальным признаком

Коши. Находим предел

n 1

lim n

lim

K .

2n 1

Так как предел

К < 1,

то ряд сходится.

б) Находим предел

128

lim n

lim

2n 1

n 2n 1

2 n

Так как предел больше 1, то ряд расходится.

2.5. Исследовать на сходимость:

n 1

а)

;

б)

;

в)

;

(2n 1)

n 1 !

n 0 2

n 1

г)

1 5

...

1 5 9 4n 3

2 4 6

2 4 6 8 (4n 4)(4n 2)

Решение. а) Воспользуемся признаком Даламбера. Зная

общий член ряда, заменяем

на

n 1

и находим член ряда

an 1

3n 1

2n 1(2n 3)

Далее находим предел

D lim

n 1

lim

3n 12n (2n

lim

2n 1

2n 1(2n

3)3n

2n 3

2 n

Так как предел больше 1, то ряд расходится.

б) Находим член ряда:

n 1 !

;

n 1 n 1

n 1

D lim

n 1

lim

n 1 !

lim

n 1 nn

lim

1 n 1

n 1 n 1 n

Здесь D < 1, следовательно, по признаку Даламбера ряд

сходится.

в)

Находим:

2n 1

Воспользуемся

n 1 !

n 1

признаком

Даламбера

lim

n 1 !

0 ;

ряд

2n 1

сходится.

129

г) Находим член ряда a

1 5 9 4n 1

n 1

4 6 4n 4n

По признаку Даламбера

lim an 1 lim

4n 1

0 , D < 1.

n 4n 4n 2

Следовательно, ряд сходится.

2.6. Исследовать на сходимость

2n 1 !!

2n 1

n 1

2n!!

Решение. Воспользуемся признаком Раабе.

Находим a

2n 1 !!

член ряда: an 1

;

вычисляем предел

2n 2 !! 2n 3

n 6n 5

lim 2n 2 2n

3 1 n

lim

3 .

2n 1 2

Здесь R > 1, следовательно, ряд сходится.

1 !

2.7. Исследовать на сходимость ряд 2n

n 1 2n 1 ! 2n

Решение. Воспользуемся признаком сходимости Куммера.

Возьмем cn n , такой выбор возможен, так как ряд 1

n 1 n

расходится. В этом случае

lim n	2n 1 ! 2n 3 ! 2n 2			n 1

n		2n 1 !2n 2n 1 !
		2n 3 n 1			1.
lim		2n 1	n 1
n

Здесь К > 0, следовательно, ряд сходится.

2.8. Исследовать на сходимость ряд 1 nn .

n 1 n! en

Решение. Находим a		1	n 1 n 1	.
	n 1	n 1 !
			en 1

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.49 Mб3Учебное пособие 1609.pdf
#
30.04.2022307.86 Кб3Учебное пособие 161.pdf
#
30.04.20221.5 Mб4Учебное пособие 1610.pdf
#
30.04.20221.5 Mб3Учебное пособие 1611.pdf
#
30.04.20221.5 Mб13Учебное пособие 1612.pdf
#
30.04.20221.5 Mб8Учебное пособие 1613.pdf
#
30.04.20221.5 Mб5Учебное пособие 1614.pdf
#
30.04.20221.5 Mб2Учебное пособие 1615.pdf
#
30.04.20221.51 Mб2Учебное пособие 1616.pdf
#
30.04.20221.51 Mб15Учебное пособие 1617.pdf
#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf