Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1613

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

1.3. Однородные уравнения первого порядка

1. Дифференциальное уравнение

P x dx Q y dy 0

(1)

называется однородным, если Р и Q - однородные функции от x и у, одной и той же степени (одинакового измерения).

Функция	F x, y		называется			однородной,	если
F ax, ay aq F x, y , где q - степень однородности.
Однородное уравнение можно представить в виде
		y		x
	y		или y		.		(2)

		x		y

Однородное уравнение с помощью подстановки y ux или x uy , где и - некоторая функция от х или у, приводится к

уравнению с разделяющимися переменными.

2°. Уравнения, приводящиеся к однородным. Дифференциальные уравнения вида

y		ax by c
	f		(3)

	a1x b1 y c1

приводятся к однородным уравнениям с помощью

подстановки x u x0 ; y u y0 , если			ab1 a1b 0 . Здесь
x , y	0	координаты точки пересечения прямых ax by c 0 и
0

a1x b1 y c1 0 .

Если же ab1 a1b 0 , то уравнение решается с помощью подстановки u ax by c .

3°. Если в дифференциальном уравнении считать x и dx - величинами первого измерения, а у и dy - измерения q, то с помощью подстановки

y uxq

(4)

уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Уравнения, позволяющие подобрать q таким

образом, называются обобщенными однородными дифференциальными уравнениями.

3.1. Проинтегрировать уравнения:

		y	y	dx x y

	cos x y cos x x ;			б) dy x y ;
а) xy	cos x y cos x x ;			б) dy x y ;
в) x2	xy y2 dx x2dy ;			г) xdy ydx	x2 y2 dx , y=0 при

x=1.

Решение. а) Разрешим данное уравнение относительно производной

y cos

x cos

cos

Правая часть уравнения функция однородная нулевой степени, следовательно, данное уравнение однородное.

Поскольку правая часть уравнения является функцией

отношения		y	, то делаем замену		y=их.		Производная
		x
	du					y
y				y
	u x dx .
		Подставляя значения			и x		в предыдущее

уравнение приходим к уравнению с разделяющимися переменными

u x du

или x du

cos u

Разделим переменные

cos u du dx

проинтегрируем

sin u ln

C .

Подставляя

вместо

его значение,

окончательно получим

sin xy ln x C .

б) Полагая х = иу; x u y dudy , запишем уравнение в виде

u y du

uy y

или

y du u 1

u ,

uy y

u 1

откуда,

Разделим переменные и проинтегрируем

u 1

; arctgu

2 ln u

1 ln

C .

u2 1

Произведя обратную подстановку, получим

arctg

1 ln

C .

Окончательно общий интеграл может быть представлен в

виде arctg

x2 y2

C .

в) Поскольку уравнение однородное, то полагая

y = ux,

x dx

будем иметь

u x

; x

1 u

;

arctgu ln

;

arctg

г) Разделим правую и левую часть на dx и сделаем замену

у = их

x u

;

1 u2

y x2 y2 Cx2 .

u 1 u2

;

Найдем

частное

решение.

Подставляя в

общее решение

x = 1, у = 0, находим постоянную интегрирования С = 1. Таким образом, окончательно получим

y x2 y2 x2 .

3.2. Решить уравнения:

а) 2x 3y 1 dx 4x 6y 5 dy 0;

б) x 2 y 5 dx 2x y 4 dy 0 .

Решение. а) Разделив правую и левую часть уравнения на

dx, преобразуем уравнение к виду

2x 3y 1

4x 6 y 5

Так

как

коэффициенты

пропорциональны

; 2 6 3 4

, то используем подстановку u 2x 3y 1 ;

u 2 3y .

Подставляя

u и

в уравнение, получим

или du

u 6

2u 3

Разделим переменные

2u 3

du dx и проинтегрируем

u 6

2u 9ln

x C .

u 6

Переходя к старым переменным, общее решение примет вид

x 2 y 3ln 2x 3y 7 C .

	б) Представим уравнение в виде
		y		x 2 y 5
					.
				2x y 4	.
	Так как 1 2	то из	решения системы,			x 2 y 5		0,
	Так как 1 2	то из	решения системы,				y 4	0,
	2 1					2x	y 4	0,
находим точку пересечения этих прямых x0 1, y0							2 .
	Делаем замену	x u 1, y u 2 , тогда				dx=du, dy=du,
dy	dv . Переходя к новым переменным, уравнение сводится
dx	du
к однородному dv		u 2v .
	du	2u v

Если

сделать

замену

v ut, v

u du ,

то

уравнение

примет вид

t u

u 2ut

или u

1 4t t2

2u ut

2 t

Разделим переменные

2 t

dt du

и проинтегрируем

4t t2

d t2 4t 1

2 ln

4t 1

t2 4t 1

отсюда

t2 4t 1

1 .

и учитывая, что C2

C , получим

Заменяя переменную t

, v2

4uv u2 C .

Переходя к переменным х, у, общий интеграл запишем в

виде y 2 2 4 y 2 x 1 x 1 2 C или

y x 3 2 2 y 2 x 1 C .

3.3.Проинтегрировать уравнение x2 y2 1 y 2xy3 0 .

Решение. Если считать, что x и dx величины первого измерения, a y, dy - измерения q =-1 , то исходное уравнение можно отнести к обобщенному однородному дифференциальному уравнению.

; y

1 du

Воспользуемся заменой

y x

x dx

, тогда

2 u2

1 du

3 ;

x dx

u2 1 1 du u3 u ;

xdx x2 x2

	u2 1				du	dx	.
u		u	2			x

				1

Представим дробь в левой части в виде суммы дробей и проинтегрируем

2udu

;

u2 1

;

u2 1

Переходя к переменной у, окончательно получим x2 y2 1 Cy .

1.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

1. Линейным дифференциальным уравнением первого

порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

	y P x y Q x ,			(1)
где P(x), Q(x) - известные функции от х.
Посредством	замены функции	у	произведением двух
вспомогательных	функций у = uv;	y		линейное
			u v v u

уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций

								P x v Q x . (2)
u v v u P x uv Q x		или u v u				v		P x v Q x . (2)

Выберем функцию v такой, чтобы							v P x v 0 , тогда
	dv P x dx
	v
и частное решение этого уравнения имеет вид
	v e		P x dx		.
	v e				.
Поскольку выражение в квадратных скобках в (2) равно
нулю, то получим		x ,		откуда
нулю, то получим	u v Q	x ,		откуда

u Qv xx dx C .

Произведение найденных решений и и v является общим решением исходного уравнения

	Q x
y v x	Q x	dx C .	(3)
y v x		dx C .	(3)
	v x
	v x

2°. Уравнение вида

y P x y ynQ x ,	(4)
где P(x), Q(x) - известные функции от х, а n 0	и n 1,

называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли отличается от линейного только тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции у. Уравнение

Бернулли с помощью подстановки	у = uv;	y				также
				u v v u

сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными. 3°. Метод Лагранжа. Если в уравнении (1) Q x 0 , то

уравнение называется линейным неоднородным, а если Q(x) = 0 - линейным однородным.

Рассмотрим решение линейного однородного уравнения. Для этого разделим переменные

dyy P x dx; ln y P x dx ln C ,

откуда y Ce P x dx , где С — постоянная интегрирования.

Варьируя постоянную интегрирования, т. е. считая С(х) - некоторой дифференцируемой функцией от х, подлежащей определению, имеем

y C x e P x dx .

Подставляя y в неоднородное уравнение (1), получим

C x e P x dx Q x , откуда C x Q x e P x dxdx C .

Таким образом, искомое общее решение неоднородного линейного уравнения примет вид

y e	P x dx	Q x e	P x dx		,	(5)
y e		Q x e		dx C	,	(5)

где С - постоянная интегрирования.

Метод Лагранжа (или вариации произвольной постоянной) может быть применен и к уравнению Бернулли (4).

4°. В ряде случаев уравнения приводятся к линейным или уравнению Бернулли, если принять у за независимую

переменную, а x

- за функцию.

4.1. Решить

уравнения:

а) y yctgx sin x ;

б)

y 4xy

найти

решение,

удовлетворяющее

начальному условию y(1) = 0.

Решение. а) Производя замену у=uv; y

получим

u v uv

uvctgx sin x ,

или

u v uv

vctgx sin x .

(6)

u v

Выберем v так, чтобы

vctgx 0 .

Разделяя переменные,

находим

ctgxdx , откуда v sin x . Подставляя в уравнение

(6) значение v, получим

sin x du sin x или du dx;

u x C .

Общее решение будет y x C sin x .

б) Приведем уравнение к виду

x2 1

сделаем замену y = uv, тогда

4xv

u v v u

;

u v u v

(7)

Приравниваем выражение в скобках нулю

4xdx

2ln x

1 ;

v 0;

; ln

x2 1

Подставляя частное решение v

в выражение (7), получим

3 x2 1 ; u 3 x2 1 dx x3 3x C .

Общее решение примет вид

yx3 3x C .

x2 1 2

Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся начальным условием y=0 при х=1, тогда С=- 4. Окончательно будем иметь

y	x3	3x 4			.

		x2	1	2

4.2. Найти общий интеграл уравнения:
а) y2 6x y 2 y 0 ;				б) xy 3y x2 .

Решение. а) Уравнение сводится к линейному, если считать у за независимую переменную, а х - за функцию. Запишем исходное уравнение в виде

2 y dy

6x или x

Используя замену х = uv;

, получим

u v v u

;

(8)

u v v u

u v u v

; v y

;

Подставляя частное решение v в выражение (8), будем иметь

u y3 2y , du 12 dyy2 , u 21y C.

Таким образом, окончательно получим

x 21y C y3.

б) Воспользуемся методом Лагранжа. Найдем сначала решение однородного уравнения ху'+Зу = 0. Разделим переменные

3dx ,

3ln

Пусть постоянная интегрирования зависит от

х, т. е.

C x

(9)

dC 3Cx 4 .

тогда y

Подставим у' и у в исходное уравнение

3Cx 4

x2 , dC

x4 , C x

C .

Таким образом, из выражения (9) имеем

C1 .

4.3. Найти решение уравнений: а) y

yctgx sin x ;

б) x2 y2 y xy3 1; в) x2 2 y y2 y 2x 0 .

Решение. а) Данное уравнение есть уравнение Бернулли. Для его решения используем подстановку у = uv, тогда

uv 3

(10)

u v v u uvctgx sin x

, u v u v

vctgx sin x ,

cos xdx ,

sin x

;

v sin x .

sin x

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.49 Mб3Учебное пособие 1609.pdf
#
30.04.2022307.86 Кб3Учебное пособие 161.pdf
#
30.04.20221.5 Mб4Учебное пособие 1610.pdf
#
30.04.20221.5 Mб3Учебное пособие 1611.pdf
#
30.04.20221.5 Mб13Учебное пособие 1612.pdf
#
30.04.20221.5 Mб8Учебное пособие 1613.pdf
#
30.04.20221.5 Mб5Учебное пособие 1614.pdf
#
30.04.20221.5 Mб2Учебное пособие 1615.pdf
#
30.04.20221.51 Mб2Учебное пособие 1616.pdf
#
30.04.20221.51 Mб15Учебное пособие 1617.pdf
#
30.04.20221.51 Mб3Учебное пособие 1618.pdf