Учебное пособие 1613

где y0 y x0 , y x0 f x0 , y0 , а дальнейшие производные y x0 , y x0 ,... находятся последовательным дифференциро-

ванием исходного уравнения и заменой в них х на х0. Аналогично при помощи степенных рядов решаются уравнения высших порядков. Следует заметить, что при интегрировании уравнений посредством степенных рядов необходимо следить за сходимостью полученных рядов.

3°. Приближенное интегрирование уравнений методом Бубнова-Галёркина. В общем случае приближенное решение ищем в виде ряда

удовлетворяющие граничным условиям.

Для того, чтобы функция (3) являлась точным решением дифференциального уравнения, необходимо, чтобы уравнение тождественно удовлетворялось при подстановке в него решения, а это требование равносильно требованию ортогонально-

где X(x,y)- дифференциальный оператор уравнения. Неопределенные коэффициенты ci находятся из решения

системы (4).

14.1. Проинтегрировать уравнение y 2 y x .

Решение. Будем искать решение в виде степенного ряда y a0 a1x a2 x2 ... an xn ...

Отсюда y a1 2a2 x ... nan xn 1 ... . Подставляя y и y в исходное уравнение, получим

a1 2a2 x ... nan xn 1 ... 2 a0 a1x a2 x2 ... an xn ... x .

101

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х

Подставляя в решение неопределенные коэффициенты, выраженные через а0 будем иметь

ya0 2a0 x 2a0 x 2a0 x2 23 2a0 x3 24 23 2a0 x4 52 24 23 2a0 x5 ...

12 x2 12 23 x3 12 23 24 x4 12 23 24 52 x5 ...

Неопределенный коэффициент а0 играет роль произвольной постоянной интегрирования. Пользуясь признаком Даламбера, нетрудно доказать, что полученные ряды сходятся на всей числовой оси.

14.2. Найти решение уравнения y xy2 2cos x , взяв

пять первых членов разложения, если у = 1 при х = 0. Решение. Из заданного уравнения и начальных условий

102

Полагая x 0 и y 0 1, y 0 2 находим частные значения производных y 0 1, y 0 10, y 4 0 18 .

Подставляя частные значения производных в разложение (2), будем иметь

14.3. Проинтегрировать уравнение y xy y x , если y 0, y 0 при x 0 .

Решение. Ищем решение в виде ряда (2) y y n 0 xn .

n 0 n!

Из уравнения и начальных условий имеем y 0 0 , y 0 0 ,

103

самонаводящегося снаряда в полярной системе координат имеет вид

H — постоянная высота цели, r — модуль радиус-вектора центра тяжести снаряда (точка M ), — полярный угол вектора r (рис. 1.10). Найти решение, удовлетворяющее

начальному условию r0 r 0 0.

Решение. В данном случае имеем дифференциальное уравнение первого порядка второй степени. Требуется найти

зависимость r от . Представим r в виде ряда Тейлора

r r 0 r 0 0 r 0 0 2 ...

1! 2!

104

коэффициентов разложения. Таким образом, решение примет вид

в окрестности особой точки x 0.

Решение. Поскольку решение ищется в окрестности

n2ak x k 0

k

или

k 2 n2 ak xk ak xk 2 0.

k

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x

равенство (3) примет вид

106

Так как a1 0, то a2k 1 0 при всех k . Для четных числовых коэффициентов имеем

……………………………………………………… (5)

Подставляя коэффициенты (5) в выражение (2), получим

Пользуясь признаком Даламбера, нетрудно показать, что ряд (6) сходится при любом значении x , следовательно,

коэффициент a0 может быть выбран произвольно. Полагаем

107

где a xa 1e xdx a 0 — гамма-функция, обладающая

0

свойством a 1 a a .

Подставляя (7) в (6), первое частное решение будет иметь

вид

является числом целым n k, то все коэффициенты ak (5)

могут быть выражены через произвольный коэффициент C0

C0 2 n 1 n 1 .

Таким образом, второе частное решение уравнения (1) примет вид

Отсюда общее решение уравнения Бесселя будет

y C1 n x C2 n x ( n — не целое число).

Если в качестве второго частного решения взять функцию Бесселя второго рода n -го порядка

108

( C 0,5772157...— постоянная Эйлера), то общее решение уравнения Бесселя примет вид

y C1In x C2Yn x ( n — целое положительное число). Здесь следует заметить, что функция Yn x в особой точке

x 0 обращается в бесконечность.

14.7.Найти решение уравнения Бесселя

x2 y xy x2 1 y 0

на отрезке 1, 2 при граничных условиях y 1 1, y 2 2.

Решение. С целью упрощения выбора решения при помощи подстановки y z x приведем граничные условия к

виду z 1 z 2 0. Само уравнение в этом случае примет вид

109

Следует заметить, что сравнение точного решения уравнения Бесселя через функции Бесселя

y3,6072 I1 x 0,75195 Y1 x

сприближенным имеет расхождение в четвертом знаке, т. е. даже первое приближение дает достаточно точный результат.

Решение. Чтобы удовлетворить граничным условиям первое приближение выбираем в виде многочлена

y1 C1 1 C1 x l 2 x2 2lx 3l2 .

Пользуясь методом Бубнова-Галёркина, будем иметь

l y1IV y1 3x x l 2 x2 2lx 3l2 dx 0.

0

Подставляя сюда y1 и интегрируя, находим, что C1 при l 1 равно 0,0324. Таким образом

y1 0,0324 x 1 2 x2 2x 3 .

Второе приближение, удовлетворяющее граничным условиям, запишем в виде

y2 C1 1 C2 2 C1 1 C2 x l 3 3x2 4lx 3l2 .

Для определения C1 и C2 составляем систему

l

y2IV y2 3x 1dx 0;

0

l

y2IV y2 3x 2dx 0,

0

которая в раскрытом виде будет

l 24 C1 5C2 9x l C1 x l 2 x2 2lx 3l2

0

C2 x l 3 3x2 4lx 3l2 3x x l 2 x2 2lx 3l2 dx 0;

110