Учебное пособие 1613

то имеем cos 0 , откуда 2 . Подставляя 2 в (*), получим А = - 0,5. Частное решение имеет вид

x0,5sin t 0,5cos t .

2

13.18.К пружине с коэффициентом жесткости с = 8,4 г/см, подвешен груз весом Р = 49 г. Найти закон движения груза,

если на груз действует сила F t 2sin13t .

Решение. Поскольку сопротивление среды не учитывается, то уравнение движения (2) имеет вид

x 169x 2sin13t .

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни k1,2 13i , поэтому общее ре-

шение однородного уравнения будет u C1 sin13t C2 cos13t или в другой форме записи x Asin 13t .

Поскольку числа a =0, b=13 совпадают с корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует умножить на t, т. е.

x1 At sin13t Bt cos13t .

Находим производные

x1 Asin13t 13At cos13t B cos13t 13Bt sin13t;

x 26Acos13t 169At sin13t 26B sin13t 169Bt cos13t .

Подставляя x1, x1, x1 , в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функци-

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

91

x C1 sin13t C2 cos13t 13t cos13t .

Найдем частное решение. В положении равновесия сила веса груза P уравновешиваются силой упругости - c . Поскольку начало координат расположено в положении равновесия груза и направлено вертикально вниз, то статическое

С возрастанием времени t амплитуда колебаний А0 неограниченно возрастает. Этот случай, когда частота внешней силы совпадает с частотой собственных колебаний системы, называется резонансом.

13.19. Груз веса P = 49 г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Сила сопротивления движению пропорциональна скорости R v . Найти уравнение движения гру-

за, если коэффициент жесткости пружины с = 5 г/см;

Р = 0,8 г см/сек и при t = 0 груз был смещен из положения статического равновесия вниз на 1 см, и ему была сообщена начальная скорость v0 =4 см/с.

92

Решение. Ось Ox направим по вертикали вниз. Положение статического равновесия примем за начало отсчета (рис. 1.7). На груз действуют силы: Р - вес груза, направленный по

вертикали вниз; F c cm x - упругая сила пружины, на-

правленная по вертикали вверх; R x - сила сопротивления, направленная противоположно скорости v x .

Рис. 1.7

Дифференциальное уравнение движения груза (2) в данном случае примет вид

Движение груза является затухающим, так как

lim Ae 8t sin 6t 0 .

t

93

Амплитудой колебаний является коэффициент, стоящий

перед синусом, т. е. Ae 8t . Круговая частота 6 .

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: при t =0, х0 = 0, х0 = 4 м/с. Прежде всего находим производную

x 8Ae 8t sin 6t 6Ae 8t cos 6t .

Используя начальные условия, получим систему уравнений

1 Asin ;

4 8Asin 6Acos ,

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид

x5e 8t sin 6t 0 .

13.20.Балка длины l, защемленная одним концом, нагружена на другом конце силой Р. Найти наибольшее значение прогиба и угла поворота.

Решение. Расположим начало координат в точке заделки А. Ось y направим вверх, а ось x - вправо (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Изгибающий момент в произвольном сечении на расстоянии x от начала координат равен M (x) P l x . Тогда диф-

ференциальное уравнение (4) примет вид

EIy P l x .

94

Интегрируя это уравнение два раза, будем иметь

Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 воспользуемся граничными условиями: y 0 и dydx 0 при

x=0. Подставляя эти значения в предыдущие выражения, получим, что C1 C2 0 .

Таким образом, угол поворота и прогиб будет

Наибольшие значения угла поворота и прогиба будут в точке В

B Pl2 , yB Pl3 . 2EI 3EI

Знак минус в выражении для B означает, что сечение повернулось по часовой стрелке, а знак минус у прогиба yB озна-

чает, что прогиб направлен вниз.

13.21. Дифференциальное уравнение изгиба круглой пластинки имеет вид

где D - цилиндрическая жесткость, q - интенсивность нагрузки в функции r. Найти решение, если q равномерно распределена по всей поверхности пластинки радиуса a и пластинка защемлена по контуру.

Решение. Дифференциальное уравнение изгиба третьего порядка, причем правая часть в общем случае является функцией r. Считаем, что нагрузка равномерно распределена, т.е. q - const. Таким образом, уравнение позволяет непосредственное интегрирование по r. После первого интегрирования находим

95

где C1 - постоянная интегрирования.

Умножая обе части уравнения на r и интегрируя, получим

Из первого равенства С2 = 0. Подставив С2 во второе,

получим C1 qa2 . 8D

Подставив постоянные интегрирования в (2), получим

w64qD a2 r2 2 .

13.22.Найти общее решение дифференциального уравнения изгиба балки - полоски, выделенной из цилиндрической оболочки радиуса r

96

линдрическая жесткость.

Решение. Общий интеграл состоит из общего интеграла, соответствующего однородного уравнения

Соответствующее однородному уравнению характеристическое уравнение имеет вид

k4 2mk2 n2 0 ,

а все четыре корня являются комплексными и определяются выражением

Общий интеграл однородного уравнения имеет вид w0 C1ch x cos x C2 sh x cos x

C3ch x sin x C4 sh x sin x.

Частное решение исходного уравнения запишем в виде

Тогда общий интеграл будет

13.23. Конденсатор С разряжается на цепь, состоящую из последовательно включенных индуктивности L и активного сопротивления R (рис. 1.9). Найти силу тока i в контуре, если

при t 0; i0 0; dtdi UL0 .

97

уравнения равны между собой k1 k2 и решение имеет вид

начальная фаза.

Найдем частное решение. Из первого начального условия имеем 0 Asin . Поскольку A 0 , то sin 0 . Откуда

0 .

99

убывают с течением времени и в контуре возникают затухающие колебания.

1.14. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

1°. В ряде случаев решение дифференциальных уравнений не всегда удается выразить в элементарных функциях. Однако интегралы некоторых дифференциальных уравнений могут быть представлены в виде степенных рядов. Обычно решение таких уравнений ищут в виде ряда

где an - неопределенные коэффициенты находятся подстановкой решения у и, соответствующих, производных y , y ,... в уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях разности x x0 или переменной х в обеих частях

полученного равенства.

2°. Если требуется найти частный интеграл, т. е. для уравнения y f x, y решить задачу Коши при начальных усло-

виях y0 y x0 , то решение ищется в виде ряда

100