Учебное пособие 1613

1.13. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Рассмотрим некоторые приемы составления дифференциальных уравнений.

1°. При составлении дифференциальных уравнений в геометрических задачах обычно используется геометрический смысл производной как тангенса угла, образованного касательной к кривой с положительным направлением оси Ox . Устанавливая соотношение между x, y и y , приходим к

дифференциальному уравнению y f x, y .

2°. Задача об ортогональных траекториях. Ортогональной траекторией семейства кривых Ф x, y, a 0 называется

кривая, пересекающая все кривые этого семейства под углом2 . Для отыскания ортогональной траектории составляют

исключают параметр из полученного и данного уравнений

проинтегрировать.

Если семейство кривых задано в полярных Ф , , 0 координатах, то при отыскании ортогональных траекторий в

f, 2 , 0 проинтегрировать.

71

3°. ЕСЛИ исследуемый процесс y f (x) протекает так, что

его скорость относительно независимой переменной x пропорциональна текущему значению самого процесса y, то он может быть описан уравнением

dydx ky , откуда y Cekx .

Если коэффициент пропорциональности k 0 , то с возрастанием x процесс у нарастает. Например, процесс увеличения давления при погружении тела в воде, размножения бактерий, увеличение вклада в банке и т. д.

Если k 0 , то с возрастанием x процесс у убывает. Например, процесс радиоактивного распада, убывания атмосферного давления с увеличением высоты, разрядки конденсатора через сопротивление и ряд других.

4°. Основным законом динамики точки является второй закон Ньютона, который в проекциях на неподвижные оси координат имеет вид

Силы сопротивления среды принимают часто пропорциональными скорости, то есть первой производной. Упругие и квазиупругие силы пропорциональны положению движущейся точки, то есть ее соответствующей координате. Поскольку силы сопротивления и упругие силы направлены в сторону, противоположную движению, в уравнения движения они входят со знаком минус. Полагая силы действующие на точку зависящими от времени, запишем основное уравнение динамики в проекции, например, на ось x

72

где - коэффициент пропорциональности скорости

движения; с - коэффициент жесткости.

Уравнение движения (2) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Если X (t) 0 , то есть на

точку не действуют внешние силы, то точка находится под действием сил, связанных со средой.

5°. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Зависимость между радиусом кривизны изогнутой оси балки

Подставляя в формулу (3) значение радиуса кривизны и пренебрегая квадратом угла поворота сечения балки dydx ,

приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки примет вид

6°. Рассмотрим составление дифференциальных уравнений, описывающих изменение токов и напряжений в электрических цепях в зависимости от времени. Для этого воспользуемся законом Ома и правилами Кирхгофа.

Закон Ома. Падение напряжения U на индуктивности L, емкости C и активном сопротивлении R выражается формулами

где i - сила тока; t - время; L, С, R - коэффициенты индуктивности, емкости, активного сопротивления.

73

Правила Кирхгофа. 1. Алгебраическая сумма токов в точке разветвления цепи равна нулю.

2. Алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления (включая и внутреннее) равна алгебраической сумме эдс, действующих в замкнутом контуре. Токи и эдс, совпадающие с произвольно выбранным направлением обхода контура, считаются положительными.

13.1. Найти уравнения кривых, если известно, что любая касательная, проведенная к кривой, отсекает на оси Ox отрезок, длина которого равна половине абсциссы точки касания.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 1.2). Пусть y f (x) - уравнение кривой, M (x, y) - точка касания. Касательная М N наклонена под углом к оси Ox . MP - перпендикуляр к оси

геометрического смысла производной y tg ; таким образом y 2xy .

Рис. 1.2

Разделим переменные и проинтегрируем уравнение

решение в данном случае представляет семейство парабол. 13.2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку

(1,3) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на

74

оси ординат любой касательной, равен абсциссе точки касания.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Пусть y f (x) - уравнение кривой, а M (x, y) - точка касания.

По условию отрезок ON, отсекаемый касательной на си ординат, равен OA x , т. е. абсциссе точки касания. Из

координатами (1, 3). Подставляя координаты этой точки в общее решение, находим 3 1(ln1 C); C 3. Таким образом,

уравнение искомой кривой примет вид y x ln x 3 .

13.3. Найти линию, для которой сумма нормали и поднормали пропорциональна абсциссе.

75

Решение. Учитывая, что tg y , длина нормали равна

76

б) Найдем дифференциальное уравнение семейства логарифмических спиралей ae . Исключая параметр a,

13.5. Тело падает с высоты h при начальной скорости v0 0 . Найти зависимость между скоростью и пройденным

путем, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости.

Решение. На тело при падении действуют две силы: сила веса Р и сила сопротивления v2 . Пользуясь вторым законом

Ньютона (масса, умноженная на ускорение, равна сумме приложенных сил), можем записать

21k ln 1 kv2 gy C .

Вначале движения v0 0, y 0 . Подставляя начальные

условия в общее решение, находим, что C 0 . Отсюда, зависимость скорости v от пройденного пути имеет вид

13.6. Скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна его количеству в данный момент времени. Определить количество цинка к концу 200 суток, если период

77

полураспада Т = 300 суток, а в начале исследования имелось N0 8 гр. цинка.

Решение. Поскольку скорость процесса есть первая производная от количества вещества N по времени, то по условию

N 8ekT .

Период полураспада t = Т это то время, за которое распадается половина начального количества вещества, т. е.

Таким образом, количество вещества через 200 суток будет

13.7.За сколько времени тело, нагретое до 100°, в комнате

стемпературой T0 = 20° охладится до 25°, если до 60° оно

охладится за 10 мин.?

Решение. По закону Ньютона скорость охлаждения

время t = 10 мин. температура стала T = 60°, следовательно,

78

13.8. В коническую воронку высотой Н и углом при вершине конуса 2а налита вода. Найти зависимость между переменной высотой уровня воды h в воронке и временем истечения t, если площадь отверстия s см2. Определить полное время истечения.

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли, определяющей скорость v истечения жидкости из отверстия в резервуаре, находящегося на h, м ниже свободной поверхности жидкости

v 2gh ,

где g = 9,81 м/с2 - ускорение силы тяжести; - постоянный коэффициент, зависящий от свойств жидкости (для воды

0,6 ).

Объем воды, вытекший через отверстие площадью s за dt после начала истечения, равен объему цилиндра высотой vdt, т. е.

dV svdt s 2ghdt .

С другой стороны, учитывая, что радиус основания уровня воды в воронке равен htg , объем воды за время dt

уменьшился на величину

dv 13 h3tg2 13 h dh 3 tg2 tg2 h2 dh .

Поскольку уровень воды при истечении понижается, то dh < 0. Приравнивая выражения для этих объемов, получим

3

tg2 h2dh s 2ghdt или dt tg2 h2 dh . s 2g

79

Интегрируя, имеем t C 2 tg2 h52 . 5s 2g

Следовательно, зависимость между временем истечения и переменной высотой уровня примет вид

Полное время истечения Т найдем, полагая в последней формуле h =0, т. е.

Замечание. Решение задачи выполнено при условии, что размер выпускного отверстия мал в сравнении с остальными размерами воронки.

13.9. Определить время, необходимое для установления одинакового уровня жидкости в сообщающихся сосудах, если в начальный момент уровень жидкости в первом сосуде нахо-

дился на высоте h1 от отверстия, а во втором - на высоте h2 h1 h2 . Площадь горизонтального сечения первого сосуда

равна S1 второго - S2 а площадь отверстия - s.

Решение. Количество жидкости, теряемое первым сосудом, равно количеству жидкости, получаемому вторым

сосудом, т.е. S1dz1 S2dz2 , где dz1, dz2 - изменение уровней жидкости через время dt. За время dt через отверстие пройдет

80