Практикум по высшей математике. дифференциальные уравнения и ряды. Пантелеев И.Н

Подставляя частное решение в уравнение (10), получим

Таким образом, полагая 2C1 C , имеем

б) Разделим на x2 y2 правую и левую часть уравнения

Теперь видно, что это уравнение Бернулли. Для его решения воспользуемся методом Лагранжа.

Найдем сначала решение однородного уравнения dyy dxx , ln y ln x ln C , y Cx .

21

Подставляя частное решение в уравнение (13), будем иметь

x2 y2 Cey .

1.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

1°. Если для дифференциального уравнения

то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах

и может быть записано в виде du (х, y) = 0.

а) Общий интеграл находится по одной из формул

22

где x0 , y0 - координаты некоторой фиксированной точки, причем

P2 x0 , y0 Q2 x0 , y0 0 .

б) Поскольку полный дифференциал функции и равен сумме частных дифференциалов ux dx Pdx, uy dy Qdy , то

интегрируя их по отдельности, считая в первом случае у постоянной, а во втором х, найдем два выражения для функции

u Pdx y ; u Qdy x , (4)

здесь y и x - некоторые функции.

Общее решение находится подстановкой в первое выражение вместо y всех членов из второго выражения,

зависящих только от у, или наоборот.

2°. Пусть левая часть уравнения (1) не является полным

Функция называется интегрирующим множителем и

легко находится в двух случаях:

а) если x , то из выражения (5) следует

23

Признаком существования интегрирующего множителя является отсутствие в выражении (6) переменной y, а в выражении (7) переменной х.

5.1. Решить уравнения: а) x y dx x 2 y dy 0 ;

Решение. а) Вначале надо убедиться, что данное уравнение в полных дифференциалах. Полагая P = x + y; Q = x - 2у, подставляем их значения в выражение (2)

выражение (2) и убеждаемся, что это уравнение в полных дифференциалах.

Для нахождения функции и интегрируем ее частные дифференциалы по формулам (4), считая в первом случае у постоянной величиной, а во втором – х

24

Подставляя из первого выражения все члены, зависящие от x, во второе и приравнивая постоянной интегрирования,

Решение. а) Здесь P x2 y ; Q = - x. Подставляя Р и Q в

Умножим на интегрирующий множитель левую часть

Проверим по условию (5) - является ли это уравнение в полных дифференциалах

Находим неопределенные интегралы

Qdy 1x dy xy x .

25

Так как во втором выражении нет членов, зависящих только от у, то есть y 0 , то общее решение получается

Поскольку равенство выполнено, то частный интеграл находим по формуле (3), считая, что x0 1, y0 1, C 0 .

называется уравнением Лагранжа.

26

Если положить y p и принять x за функцию, то после

дифференцирования уравнение (1) сводится к линейному относительно x

где p - независимая переменная.

Интегрируя уравнение (2) и подставляя найденное значение x в уравнение (1), получим общее решение уравнения Лагранжа в параметрическом виде. Общее решение

а особое решение получается исключением параметра p из уравнений

Общее решение представляет собой семейство прямых, а особое является огибающей этого семейства.

Решение. а) Данное уравнение есть уравнение Лагранжа. Полагаем у' = р, тогда уравнение примет вид

Продифференцируем его

27

Таким образом, решение свелось к линейному уравнению. Используя замену x = uv; x u v v u , где u, v - функции от p, будем иметь

dy pdx xdp p23 dp .

Так как dy = pdx, то

28

y 32 3 2x2 .

Докажем, что семейство прямых, определяемых общим решением, представляет собой семейство касательных к особой интегральной кривой, т.е. особое решение является огибающей этого семейства.

Уравнение касательной к особой кривой в некоторой точке

касательных к особой интегральной кривой в произвольной

29

является огибающей этого семейства.

1.7. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной

1. Если дифференциальное уравнение является уравнением высшей степени относительно производной

то, разрешая его относительно y , например, для случая второй степени, получим два уравнения

Геометрически это означает, что через каждую точку М некоторой плоской области проходят две интегральные кривые. Общее решение уравнения (1) в этом случае примет вид

Кроме того, уравнение (1) может иметь особое решение, которое может быть получено в результате исключения у' = р из системы уравнений

Следует заметить, что кривые (4), (6), не всегда являются решениями уравнения (1) и в каждом конкретном случае необходима проверка.

2°. Если уравнение имеет вид

30