Практикум по высшей математике. дифференциальные уравнения и ряды. Пантелеев И.Н

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f (t) cos (t x)dt .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

4.2. Сила тока i , протекающего в электрической цепи, характеризуется амплитудой импульса H , длительностью действия импульса частоты следования импульсов (рис. 3.6).

Рис.3.6

Представить: а) 2 - периодическую функцию в виде ряда Фурье; б) Т – периодическую функцию в виде ряда Фурье.

Решение. а) Запишем функцию в виде

(0 t ),

f (t)

( t 2 ).

Поскольку функция 2 - периодична, то интегрируем ее по

формулам

(2) в промежутке

[0, 2 ) ,

с учетом

того, что в

интервале [ , 2 ) функция равна нулю

Hdt H

;

H cos ktdt

sin kt

sin k ;

(k 1, 2,...),

H sin ktdt

(cos k 1)

(1 cos k );

(k 1, 2,...).

Коэффициенты Фурье зависят от амплитуды импульса H и от его длительности . Разложение функции в ряд Фурье имеет вид

f (t)	H	H				1
			sin cos t (1 cos ) sin t				sin 2 cos 2t
			sin cos t (1 cos ) sin t				sin 2 cos 2t
	2					2
				1
					(1 cos 2 ) sin 2t ...
					(1 cos 2 ) sin 2t ...
				2

181

sin k cos kt 1 cos k sin kt .

k 1

Определим теперь амплитуды и фазы простых гармоник

sin2

k (1 cos k )2

2 2 cos k

sin

sin k

tg k

ctgk

1 cos k

отсюда k

Разложение функции в ряд Фурье примет вид

f (t)

sin

sin sin

sin

...

cos t

sin cos 2t

sin

cos

sin

cos kt

k 1

б) Принимаем

период

равным

T 2l

находим

коэффициенты Фурье по формулам (4)

Hdt

2H ;

H cos 2k tdt

sin 2k ;

(k 1, 2,...) ,

H sin

tdt

(k 1, 2,...),

1 cos

;

T 0

тогда

A 2H sin

;

182

Пологая T 2 , запишем разложение функции в ряд Фурье

f (t) H

sin

cos

2 t

sin 2

cos

...

sin k

cos k

k 1

3.5. Интеграл Фурье

1°. Если функция f (x) задана и непрерывна в интервале ( ; ) , кусочно-дифференцируема в любом конечном интервале и абсолютно интегрируема в интервале ( ; ) , то она может быть представлена интегралом Фурье

Если функция f (x) четная, то интеграл Фурье имеет вид

	2
f (x)		f (t) cos tdt cos xd .
f (x)		f (t) cos tdt cos xd .
		0 0

Для нечетной функции			f (x) будем иметь
	2
f (x)		f (t) sin tdt sin xd .
f (x)		f (t) sin tdt sin xd .
		0 0

Интеграл Фурье в комплексной форме имеет вид

(2)

(3)

	1
f (x)			f (t)ei (t x) dt d .		(4)
f (x)	2		f (t)ei (t x) dt d .		(4)
	2
2°. Представим формулу (4) как суперпозицию двух
формул
		1
F ( )		1		f (t)ei t dt ,	(5)
F ( )		2		f (t)ei t dt ,	(5)
		2

183

		1
	f (x)		F ( )e ix d .		(6)

		2
Функция F ( ) в формуле (5) называется прямым
преобразованием Фурье			для	функции f (x) ,	а функция
f (x)	в формуле		(6)	называется	обратным
преобразованием Фурье для функции F ( ) .

Формула (2) может быть представлена косинуспреобразованием Фурье для четной функции

		2
Fc ( )		2	f (t) cos tdt ,
Fc ( )			f (t) cos tdt ,
			0
	2
f (x)	2	Fc ( ) cos xd .
f (x)		Fc ( ) cos xd .
		0

Формула (3) может быть представлена преобразованием Фурье для нечетной функции

		2
Fs ( )		2	f (t) sin tdt ,
Fs ( )			f (t) sin tdt ,
			0
	2
f (x)	2	Fs ( ) sin xd .
f (x)		Fs ( ) sin xd .
		0

(7)

синус-

(8)

В формулах (5), (7), (8) прямого преобразования Фурье переменную t можно заменить на переменную x .

5.1. Представить интегралами Фурье следующие функции:

а)	sin x		при \| x \| ;	б)
	f (x)	0	при \| x \| ,

Решение. а) Функция воспользуемся формулой (3)

	ax
f (x) e		при	x 0;
eax		при x 0, a 0.
sin x нечетная,			поэтому

		2
	f (x)		sin xd sin t sin tdt

			0		0
2				1
	sin xd				cos(1 )t cos(1 )t dt
			2
	0				0

184

			1		sin(1 )t			sin(1 )t
										sin xd
										sin xd
				0		1		1	0
1	sin					sin			2	sin sin x
						1	sin xd				1	2	d .
							sin xd					2	d .
	0	1								0

б) функция f (x) четная, поэтому воспользуемся формулой

(2)

	2
f (x)	2	cos xd e at cos tdt .
f (x)		cos xd e at cos tdt .
		0	0

Внутренний интеграл вычисляем отдельно по формуле интегрирования по частям

					a
e at cos tdt					a		.
e at cos tdt			a	2		2	.
0			a
0
Таким образом		a cos x
	2	a cos x			d .
f (x)		a2 2
f (x)		a2 2
		0

5.2. Найти преобразование Фурье функции

Решение.

формулой (7)

cos(x / 2) при \| x \| ,
f (x)	при \| x \| .
0

Поскольку функция четная, то воспользуемся

		F ( )		2		cos	t	cos tdt
		F ( )				cos		cos tdt
		c				2
		c
					0
2 1			1					1
		cos			t cos				t dt
		cos	2		t cos				t dt
	2 0		2					2

2		2						2
			sin						sin
			sin	2				1 2	sin
	1 2			2				1 2		2
					2		2	cos .
						1 4 2		cos .
						1 4 2

185

4. ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1.1.4xdx 3ydy 3x2 ydy 2xy2dx.

1.2.x 1 y2 yy 1 x2 0.

1.3.4 y2 dx ydy x2 ydy.

1.4.3 y2 dx ydy x2 ydy.

1.5.6xdx 6 ydy 2x2 ydy 3xy2dx.

1.6. x		3 y2 dx y	2 x2 dy 0.
1.7. e2 x 5 dy y e2 x dx 0.
1.8.		1 x2
	y y	1 y2 1 0.

1.9. 6xdx 6 ydy 3x2 ydy 2xy2dx.

1.10. x 5 y2 dx y 4 x2 dy 0.

1.11.y 4 ex dy ex dx 0.

1.12.4 x2 y xy2 x 0.

1.13.2xdx 2 ydy x2 ydy 2xy2dx.

1.14. x 4 y2 dx y

1 x2 dy 0.

1.15. ex 8 dy y ex dx 0.

1.16.	5 y	2		x	2	0.
			y y 1
1.17.	6xdx ydy yx2dy 3xy2dx.

186

1.18.y ln y xy 0.

1.19.1 ex y y ex .

1.20.1 x2 y xy2 x 0.

1.21.6xdx 2 ydy 2 yx2dy 3xy2dx.

1.22.y 1 ln y xy 0.

1.23.3 ex yy ex .

1.24.3 y2 1 x2 yy 0.

1.25.xdx ydy yx2dy xy2dx.

1.26.5 y2 dx 4 x2 y y dy 0.

1.27.1 ex yy ex .


1.28. 3 x2 y y dy			2 y2 dx 0.
1.29. 2xdx ydy yx2dy xy2dx.
1.30.	2x 2xy2	2 x2 y 0.
1.31.	20xdx 3ydy 3x2 ydy 5xy2dx.

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

2.1. y

2.2.

3y3 2 yx2

2 y2 x2 .

2.3.

x y

2.4.

x2 y2 y.

x y

2.5. 2 y

2.6.

3y3 4 yx2

2 y2 2x2 .

2.7.

x 2 y

2.8.

xy 2 x2 y2 y.

2x y .

187

2.9. 3y

2.10.

xy 3y3 6 yx2 .

2 y2 3x2

2.11. y

xy y2

2.12.

2x2 y2

x2 2xy

2.13. y

2.14.

3y3 8 yx2

2 y2 4x2

2.15.

2xy y2

2.16.

xy 3

x2 y2

2x2

2xy .

2.17. 2 y

2.18.

3y3 10 yx2 .

2 y2 5x2

2.19. y

x2 3xy y2

. 2.20.

xy 3

3x2

2xy

2.21. y

3y3 12 yx2

12.

2.22.

2 y2 6x2

2.23. y

xy 3y2

. 2.24.

xy 2

3x2 y2 y.

x2 4xy

2.25. 4 y

2.26.

3y3 14 yx2 .

2 y2 7x2

2.27. y

xy 5 y2

. 2.28.

xy 4

x2 y2

x2 6xy

2.29.

2.30.

xy 4

2x2 y2

10 x

10.

2.31.

x2 2xy 5 y2

2x2

6xy

188

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

3.1. y

x 2 y 3

3.2. y

x y 2

2x 2

3.3. y 3y x 4 .

3.4. y

2 y 2

3x 3

x y 2

3.5. y

x y 2

3.6. y

2x y 3

3x y 2

x 1

3.7. y

x y 8

3.8. y

x 3y 4

3x 6

3x y 8

3.9. y

3y 3

3.10. y

x 2 y 3

2x y 1

4x y 3

3.11. y

x 2 y 3

3.12. y

x 8y 9

2x 2

10x y 9

3.13. y

2x 3y 5 .

3.14. y

4 y 8

3x 2 y 7

5x 5

3.15. y

x 3y 4

3.16. y

y 2x 3

5x y 4

x 1

3.17.

x 2 y 3

3.18.

3x 2 y 1

x 1

3.19. y

5 y 5

3.20. y

x 4 y 5

4x 3y 1

6x y 5

3.21. y

x y 2

3.22. y

2x y 3.

x 1

4x 4

3.23. y

2x y 3.

3.24. y

2x 2 y 2

2x 2

189

3.25. y		x 5 y 6
					.
		7x y 6
3.27. y		2x y 1.
		2x 2
3.29. y		6 y 6
				.
	5x 4 y 9
3.31. y		y 2
			.
		2x y 4

3.26.y x y 4 .

3.28. y 3y 2x 1.

3x 3

3.30. y x 6 y 7 .

8x y 7

Задача 4. Найти решение задачи Коши.

4.1. y y

x x2 ,

y(1) 0.

2 0.

4.2. y y ctg x 2xsin x,

y cos x

y 0

4.3.

2 sin 2x,

4.4. y y tg x cos2 x,

y 4

1 2.

4.5. y

y 1 3 2.

2x,

x 2

4.6. y

y e

1 ,

y 0 1.

x 1

4.7. y

xsin x,

4.8. y

sin x,

4.9. y

y 1 1.

2x2

4.10. y

y 0 3 .

1 x2

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]