Практикум по высшей математике. дифференциальные уравнения и ряды. Пантелеев И.Н

l 24 C1 5C2 9x l C1 x l 2 x2 2lx 3l2

0

C2 x l 3 3x2 4lx 3l2 3x x l 3 3x2 4lx 3l2 dx 0.

Интегрируя эту систему при l 1, получим

26, 07C1 33,36C2 0, 72;

31, 05C1 25, 74C2 1, откуда C1 0,0407; C2 0,0102.

Окончательно будем иметь

y2 0, 0407 x 1 2 x2 2x 3 0, 0102 x 1 3 3x3 4x 3 .

14.9. Найти упругую линию равномерно загруженной нагрузкой p балки-полоски единичной ширины,

дифференциальное уравнение изгиба которой имеет вид

полоски, E — модуль упругости, v — коэффициент Пуассона, h — толщина полоски, T h — продольная сила,— напряжение, действующее в срединной поверхности, считаемое положительным при растяжении.

Граничные условия: а) балка-полоска свободно оперта на жесткие опоры w w 0 при z 0 и z l; б) балка-полоска

жестко заделана по концам w w 0 при z 0 и z l. Решение. а) Расположим начало координат на опоре (рис.

1.11).

Рис. 1.11

111

Воспользуемся методом Бубнова-Галёркина. Представим искомую упругую линию в виде ряда

w k Ck sin k l z

каждый член которого удовлетворяет граничным условиям. Подставляя решение в дифференциальное уравнение,

получим

L k D kl 4 T kl 2 Ck sin k l z P 0.

Здесь следует иметь в виду, что k n. Таким образом упругая линия балки-полоски имеет вид

112

б) Решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям, представим в виде ряда

Таким образом, упругая линия рассматриваемой балкиполоски имеет вид

113

14.10. Найти решение уравнения равновесия свободно опертой балки-полоски, выделенной из цилиндрической поверхности радиуса R

напряжение от нагрузки q , приложенной со стороны

выпуклости.

Решение. Поскольку балка-полоска свободно оперта, то w wyy 0 при y 0 и y b.

В качестве первого приближения выражение для прогиба w, удовлетворяющее граничным условиям, примем в виде

w f sin by .

Воспользуемся методом Бубнова-Галёркина

b Y sin y dy 0,

0 b

где

114

Постоянные интегрирования C1,C2 ,...,Cn находятся подстановкой начальных условий при t t0 в общее решение

системы.

2°. Метод интегрируемых комбинаций. Суть метода заключается в такой комбинации уравнений системы, которая дает возможность получить легко интегрируемые уравнения.

Линейные системы, содержащие дифференциальные уравнения высших порядков, также можно посредством дифференцирования и комбинации уравнений свести к одному уравнению.

Методом интегрируемых комбинаций решаются системы

Умножая на подходящие множители и складывая, иногда удается получить уравнение, содержащее только две

переменные xi , xj . Интегрируя это уравнение, находим один из n 1 интегралов системы f xi , xj C.

15.1. Решить систему уравнений:

dx 3x y 0,

dt

dy x y 0,dt

при t 0, x 1, y 1.

Решение. Продифференцируем по t первое уравнение

116

Исключая с помощью второго уравнения dydt и y с

помощью первого уравнения системы, получим

d 22x 4 dx 4x 0. dt dt

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка.

Корни характеристического уравнения кратные k1,2 2. Следовательно, общее решение для x будет x C1 C2t e 2t . Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для y C1 t 1 C2 e 2t .

Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями. При t 0, x 1 имеем

Следовательно, частное решение имеет вид

x 1 2t e 2t ,y 1 2t e 2t .

15.2. Решить системы:

117

d 3 x x 0. dt3

Таким образом, задача свелась к однородному линейному уравнению третьего порядка относительно x. Решение этого уравнения имеет вид