Учебное пособие 1613

ВВЕДЕНИЕ

Изучение математики развивает логическое мышление, приучает человека к точности, к умению выделять главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложнейших задач, возникающих в различных областях деятельности. Цель пособия – обеспечить организацию самостоятельной работы и помочь студентам в освоении методов решения задач по курсу высшей математики, при условии, что изучение теории должно выполняться по рекомендованному в программе учебнику и конспекту лекций.

Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, теоремы без доказательств, главнейшие формулы, методы и способы решения задач. Решение типовых примеров и задач в параграфе, как правило, расположено по возрастающей трудности.

Характерной особенностью является включение решений задач вычислительного характера, что позволяет развивать необходимые навыки и умение для студентов инженерных специальностей. Кроме того, значительное внимание уделено методам решения прикладных задач с физическим смыслом.

Часть задач была заимствована из сборников: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, 1975; Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике, 1972; Задачи и упражнения по математическому анализу, под редакцией Б.П. Демидовича, 1968; Сборник задач по математике для вузов. Под редакцией А.В.Ефимова, ч.1-2, 1993-1994; Бугров Я.С., Никольский Я.С. Высшая математика. Задачник, 1982.

Пособие включает задания для типового расчета по двум разделам: дифференциальные уравнения и ряды, изучаемым в курсе высшей математики во втором семестре в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 280100 «Безопасность жизнедеятельности».

3

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.1. Общие понятия о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения первого порядка

1°. При моделировании физического явления или технологического процесса исследователи стараются выявить закономерности его протекания и описать данный процесс математически, т.е. найти функциональную зависимость между переменными параметрами этого процесса. В большинстве случаев, рассматривая некоторое явление, мы не можем непосредственно установить характер зависимости между переменными x и y, зато можем установить зависимость между величинами x, y и производными от y по

x : y , y ,..., y n т. е. написать обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка

где F – известная функция своих аргументов; х – независимая переменная; у – функция переменной х, подлежащая определению.

При рассмотрении другого физического процесса замечаем, что ряд пока неизвестных параметров, которые удобно принять за функции, зависит от одной переменной x, тогда данный процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Fn x, y1, y2 ,..., yn , y1.y2 ,..., yn 0,

2°. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Наивысшая производная в уравнении (1) n-го порядка, значит

4

и уравнение n-го порядка. Любой же из остальных аргументов функции F может в этом соотношении явно и не участвовать. Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, т.е. обращающая его в тождество, называется решением (или интегралом) этого уравнения.

3°. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Если это уравнение разрешить относительно производной, то оно примет вид

Для уравнения (4) справедлива теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.

Теорема. Если в уравнении y f x, y функция f x, y и

ее частная производная fy непрерывна в некоторой области D

на плоскости Оху, содержащей некоторую точку x0 , y0 , то существует единственное решение этого уравнения y x , удовлетворяющее условию: y y0 при x x0 .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция y x , график

которой проходит через точку x0 , y0 .

4°. Общим решением дифференциального уравнения

которая зависит от одной произвольной постоянной интегрирования C и удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной.

С геометрической точки зрения общий интеграл представляет собой семейство плоских кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной

5

постоянной С. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.

Например, общим решением уравнения первого порядка

зависящее от параметра C (рис. 1.1).

Рис.1.1

5°. Функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных,

называются частными решениями (интегралами) этого уравнения. Отыскание частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию вида

y y0 при x x0 , называется задачей Коши.

Для уравнения (6) частное решение при начальных условиях y0 1 при x0 2 находится следующим образом.

Подставляем в решение (7) начальные условия, тогда 1 C2 , отсюда С = 2. Искомым частным решением будет функция

6

график которой проходит через точку с координатами x0 2 ;

y0 1 .

6°. Встречаются дифференциальные уравнения, имеющие особые решения. Особым решением называется решение, которое не содержится в общем решении ни при каком численном значении C, включая . Особое решение является результатом нарушения единственности решения задачи Коши.

Геометрически особому решению соответствует интегральная кривая, которая является огибающей семейства интегральных кривых, определяемых общим решением.

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

1°. Рассмотрим уравнение

в котором коэффициент при dx зависит только от x, а к коэффициент при dy - только от у. Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием первого слагаемого по x, а второго

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P и Q разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной

В таком уравнении путем деления его членов на q(x) p(y) переменные разделяются

7

После разделения переменных, когда каждый член уравнения будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием

приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки u ax by c , где и – новая

неизвестная функция.

2.1. Найти общее решение уравнения xdx ydy 0 .

Решение. Поскольку уравнение с разделенными переменными, то интегрируя, получим общее решение

представляет семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С.

2.2. Решить дифференциальные уравнения:

cos2 x dx sin2 y dy ,

откуда tg2 x ctg2 y C .

8

Произвольной постоянной целесообразнее придать форму

проинтегрируем ln y ln sin x ln C , откуда

9

Отсюда общий интеграл tg x y x C . 2

10