Учебное пособие 1305

b

A = ∫F(x)dx.

a

Пример. 3.7.1. Найти работу по выкачиванию бассейна с водой, если последний представляет собой куб с ребром a .

Решение:

Используем метод дифференциалов. Введем систему координат как указано на рисунке 16.

Работа A по выкачиванию слоя жидкости толщиной x (0 ≤ x ≤ a) является функцией x . Найдем дифференциал dA как главную часть приращения при изменении x на величину

70

∆x = dx . Для выкачивания «элементарного слоя» толщиной dx

объем «элементарного слоя». Поскольку dA = xgγa2dx , то, интегрируя дифференциал в пределах от 0 до a , получим

Вопросы для самопроверки

1.Опишите метод интегральных сумм и метод дифференциала.

2.Напишите формулу для вычисления площади плоской

фигуры в декартовых координатах.

3.Получите формулу площади плоской фигуры, ограниченной линией, заданной параметрическим образом.

4.Площади фигур какого типа вычисляются в полярных

динатах на основе формулы длины дуги параметрически задаваемой кривой?

7.Как находится объем тела по известной зависимости площади поперечного сечения?

8.Выведите формулу объема тела вращения.

9.Используя метод дифференциалов, получите формулу

площади поверхности вращения.

10. Как вычисляется работа по перемещению тела переменной силой?

71

Задачи для самостоятельного решения

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Найти объем тела вращения вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

72

4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

4.1. Основные понятия

Среди действительных чисел не существует решений алгебраических уравнений с отрицательными значениями дискриминанта. Возникшая в математике потребность дополнить множество действительных чисел так, чтобы содержались все решения алгебраических уравнений, была удовлетворена вве-

дением мнимой единицы ί= −1 . Математический символ ί

обозначает одно из решений уравнения x2 +1 = 0 и определяется соответствующими правилами действия над ним. Числа вида bί , где b является действительным числом, называются чисто мнимыми. Однако, наиболее общими числами, составленными с помощью мнимой единицы, являются комплексные числа z = a + ίb , где a и b - действительные числа.

Комплексными числами называются выражения z = a + ίb , где a и b -действительные числа, а ί – математический символ, который называется мнимой единицей: i2= −1.

73

Первая компонента a комплексного числа z = a + ίb на-

зывается его действительной или вещественной частью и

Плоскость Oxy называется плоскостью комплексных чи-

сел z . Действительные числа изображаются при этом точками оси Ox , которая называется действительной или веществен-

ной осью.

Чисто мнимые числа z = ίb изображаются точками на оси Oy , которая называется мнимой осью.

Комплексное число z = a + ίb можно отождествить с точкой (a,b) комплексной плоскости, и с радиус-вектором, на-

чало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой (a,b).

4.2. Три формы записи комплексного числа

Запись комплексного числа в виде z = x +iy называется алгебраической формой представления комплексного числа z .

Два комплексных числа z1 = x1 + ί y1 и z2 = x2 + ί y2 равны друг другу тогда и только тогда, когда x1 = x2 и y1 = y2 .

Если x1 = x2 , а y1 = −y2 , то комплексные числа z1 = x1 + ί y1 и z2 = x1 − ί y1 называются комплексно сопряжён-

ными: z = x1 + ί y1 , z = x1 − ί y1 .

Точки, соответствующие комплексно сопряженным чис-

лам z и z , симметричны относительно действительной оси

Ox .

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел появляется в результате представления радиус-вектора

r = OM = {x, y}, соответствующего комплексному числу

74

z = x + ί y в полярной системе координат. Длина вектора r , изображающего комплексное число z , называется модулем комплексного числа и обозначается z или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и

радиус-вектором r называется аргументом этого комплексного числа, и обозначается Arg z или ϕ . Аргумент комплексного

числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа Arg z - величина многозначная, определяется с точностью до слагае-

мого 2kπ (k = −1,0,1,2,3...) :

Arg z =arg z + 2kπ ,

где arg z -главное значение аргумента, заключенное в проме-

жутке (−π,π].

Проекции радиус-вектора r , изображающего комплексное число z = x + ί y , равны x = r cosϕ и y = r sinϕ (рис. 17).

Следовательно, комплексное число z можно записать в виде,

называемом тригонометрической формой записи комплекс-

ного числа

Модуль комплексного числа определяется однозначно формулой

r = z = x2 + y2 .

75

Если точка z расположена на действительной или мнимой оси, то argz находится непосредственно. Например, для

z = 5 argz = 0 , а для z = −3 ί argz = −π2 .

Два комплексных числа z1 и z2 равны тогда и только то-

гда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаю т- ся на 2кπ:

z1 = z2 , ϕ1 =ϕ2 + 2kπ (k = 0,±1,±2,...).

Пример 4.2.1. Записать комплексное число z = −1+ 3 ί в тригонометрическом виде.

Решение: z = r = (−1)2 + (3)2 = 2,

Использование формулы Эйлера eiϕ = cosϕ +i sinϕ по-

зволяет перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к показательной или экспоненциальной форме:

z = r eiϕ ,

4.3. Действия над комплексными числами

На множестве комплексных чисел определены действия, аналогичные действиям, определенным на множестве действительных чисел.

Суммой двух комплексных чисел z1 = x1 +iy1 и z2 = x2 +iy2 называется число, определяемое равенством

z1 + z2 = (x1 + x2 )+i(y1 + y2 ),

т.е. при сложении комплексных чисел их действительные и мнимые части складываются. Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетатель-

ным (ассоциативным) свойствами:

z1 + z2 = z2 + z1,

(z1 + z2 )+ z3 = z1 + (z2 + z3 ).

77

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел

z1 = x1 +iy1 и z2 = x2 +iy2 называется число z1 − z2 , определяемое равенством

венством

z1z2 = (x1 +iy1 )(x2 +iy2 )= (x1x2 − y1 y2 )+i(x1 y2 + x2 y1 ).

Произведение комплексных чисел в алгебраическом представлении производится по обычным правилам перемно-

жения алгебраических многочленов с учетом того, что i2 = −1, i3 = i2i = −i и т.д.

Пример. 4.3.2. Вычислить произведение (4 −7i)(3 +5i). Решение:

(4 −7i)(3 +5i)=1`2 + 20i − 21i −35i2 =12 +35 −i = 47 −i .

Следует отметить, что z z = (x +iy)(x −iy)= x2 + y2 явля-

ется действительным числом, равным квадрату модуля комплексного числа.

Умножение комплексных чисел подчиняется переместительному, сочетательному и распределительному законам

z1z2 = z2 z1,

(z1z2 )z3 = z1 (z2 z3 ),

z1 (z2 + z3 )= z1z2 + z1z3 .

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:

78

z1 = r1 (cosϕ1 +i sinϕ1 ) и z2 = r2 (cosϕ2 +isinϕ2 ),

то произведение комплексных чисел равно

z1z2 = r1 (cosϕ1 +i sinϕ1 )r2 (cosϕ2 +isinϕ2 )=

= r1r2 ((cosϕ1 cosϕ2 −sinϕ1 sinϕ2 )+i(sinϕ1 cosϕ2 +cosϕ1 sinϕ2 ))=

= r1r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 )+i(sin(ϕ1 +ϕ2 ))).

Отсюда вытекает правило, что при перемножении комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются.

При перемножении комплексных чисел в показательной форме вышеуказанное правило сохраняется, т.е.

z1z2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2 ).

Пример 4.3.3. Найти произведение комплексных чисел z1 =1+i и z2 = 3 −i , предварительно перейдя к тригонометрическому представлению.

Деление комплексных чисел определяется как операция,

обратная операции умножения. Частным от деления двух комплексных чисел z1 и z2 ≠ 0 называется комплексное число

Практически деление комплексных чисел в алгебраическом представлении производится посредством умножения числителя и знаменателя на число, комплексно сопряженное знаменателю:

79