Учебное пособие 1305

7. Если функция f(x) интегрируема на [a,b] (a<b) и числа m и М являются наименьшим и наибольшим значениями функ-

[a,b]. При интегрировании воспользуемся свойством 6. В результате получим:

m∫dx ≤ ∫ f (x)dx ≤ M ∫dx m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .

a a a a

Если f (x)≥ 0 , то свойство 8 допускает наглядную геометрическую интерпретацию: площадь криволинейной трапе-

b

ции, соответствующей определенному интегралу ∫ f (x)dx , за-

a

ключена между площадями прямоугольников с отрезком [a,b]

40

в основании и высотами, равными m и M , как показано на рис. 3.

[a,b], то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка c такая, что

∫b f (x)dx = f (c)(b − a) .

a

Доказательство: Полагаем, что a<b. Так как функция непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на нём своего наибольшего М и наименьшего m значений: m ≤ f (x) ≤ M .

Проинтегрировав это неравенство в пределах от а до b, получим:

b

m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .

a

После деления на (b-a)>0 имеем:

m ≤ b 1 a ∫b f (x)dx ≤ M

− a

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она принимает любое промежуточное значение, заключённое между

41

Геометрический смысл теоремы о среднем состоит в том, что криволинейная трапеция, соответствующая определенному

b

интегралу ∫ f (x)dx , равновелика прямоугольнику с длиной

a

основания (b-a) и высотой f(c).

2.3. Определённый интеграл с переменными верхним пределом

Пусть неотрицательная функция f(x) интегрируема на от-

b

резке [a,b]. Тогда ∫ f (x)dx = S представляет число, соответст-

a

вующее площади криволинейной трапеции. Если верхний предел интегрирования b будет менять свое положение, то, очевидно, будет меняться и площадь изменяющейся криволинейной трапеции, т.е. S = S(b). В определённом интеграле пере-

менную интегрирования можно обозначить любым другим символом, например t :

a

42

оказывается функцией переменного верхнего предела интегрирования

x

Φ(x) = ∫ f (t)dt .

a

Теорема Барроу: Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то производная от функции Φ(x) равна f (x), т.е. Φ(x) есть первообразная для f(x) на [a,b]:

Φ′(x) = f (x) .

Другими словами: производная от определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функ-

ции, в которой аргумент t заменяется на x : f (t) t=x = f (x) .

Доказательство:

Для нахождения производной Φ′(x) назначим прираще-

ние ∆x для верхней границы интегрирования x и найдём приращение функции Φ(x) :

x+∆x x

∆Φ(x) = ∆Φ(x + ∆x) − ∆Φ(x) = ∫ f (t)dt − ∫ f (t)dt .

a a

Переставляя местами пределы интегрирования во втором интеграле и используя свойство аддитивности 4, получим:

x+∆x

∆Φ(x) = ∫ f (t)dt .

x

Применяя теорему о среднем к отрезку [x, x + ∆x], имеем:

Φ′(x) = lim ∆Φ(x) = lim f (c)∆x = lim f (c) = f (x),

∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0

поскольку при ∆x → 0 c → x . Последнее соотношение и является доказательством того, что функция Φ(x) является перво-

образной для f(x), непрерывной на [a,b].

Из теоремы Барроу следует, что неопределенный интеграл может быть представлен с использованием определенного интеграла с переменным верхним пределом:

x

∫ f (x)dx = Φ(x) +C = ∫ f (t)dt +C .

a

2.4. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a,b].

Тогда способ вычисления определенных интегралов может быть получен с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Теорема: Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) есть какая-либо ее первообразная, то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

b

∫ f (x)dx = F(b) − F(a) .

a

Доказательство. Согласно теореме Барроу

x

∫ f (t)dt = F(x)+C ,

a

где F(x)является первообразной для функции f (x). Постоянную величину C легко определить, положив x = a :

a

∫ f (t)dt = 0 = F(a)+C или C = −F(a).

a

44

При вычислении определенного интеграла, представляющего собой число, возвращаться к прежней переменной нет необходимости. В этом случае требуется пересчитать пределы интегрирования для новой переменной интегрирования.

Пример 2.6.1. Вычислить определенный интеграл

Пример 2.6.3. Вычислить определенный итеграл

ln 2

∫ex −1dx.

0

Решение:

2.7. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого рода

Определенные интегралы от непрерывных функций по конечному отрезку называются собственными интегралами. Несобственные интегралы возникают, если отрезок интегрирования бесконечен или подынтегральная функция испытывает разрыв второго рода.

Если хотя бы один предел интегрирования оказывается бесконечным, то определенный интеграл называется несобст-

венным интегралом первого рода.

Рассмотрим функцию f (x), непрерывную на промежутке [a,∞), и выделим отрезок [a,b].

Несобственным интегралом от функции f (x) по бесконечному промежутку [a,∞) называют предел интеграла по промежутку [a,b] при b → +∞ :