Элементы высшей математики. Часть 3. Горбунов В.В., Соколова О.А

Решение: ∫cos(2x)dx = 12 sin(2x)+C .

Пример 1.3.3. Найти ∫cos(4x +5)dx .

Решение: ∫cos(4x +5)dx = 14 sin(4x +5)+C .

Пример 1.3.4. Найти ∫6x1+1 dx .

Решение: ∫6x1+1 dx = 16 ln(6x +1)+C .

1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле

Одним из основных методов интегрирование является метод замены переменной.

Пусть требуется найти интеграл ∫ f (x)dx , причем непо-

средственно подобрать первообразную для f (x) мы не можем,

но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив x =ϕ(t). Тогда dx =ϕ′(t)dt и

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt .

Функцию x =ϕ(t) следует выбирать так, чтобы можно

было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства.

В некоторых случаях целесообразнее подбирать замену переменного не в виде x =ϕ(t), а t =ψ(x).

Пусть вычисляется интеграл ∫ψψ′((xx))dx .

Заменяем ту функцию, стоящую под интегралом, производную от которой мы видим под этим же интегралом.

10

Пример 1.4.1. Найти ∫esin x cos xdx .

Решение: Пусть t = sin x , тогда dt = d sin x ; dt = cos xdx . Тогда

Как отмечалось выше, вид неопределённого интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования, что используется при интегрировании способом введения новой функции под знак дифференциала. В данном варианте метода новая переменная интегрирования не обозначается новым символом, а берется в скобки для наглядности.

Пример 1.4.6. Найти ∫lnxxdx .

Решение:

∫lnxxdx = ∫ln x dxx = ∫(ln x)d(ln x)= (ln2x)2 +C .

Пример 1.4.7. Найти ∫sin x cos xdx .

Решение:

Интегрируя обе части равенства по x , имеем:

∫d(uv)= ∫vdu +∫udv , uv = ∫vdu + ∫udv или

∫udv = uv − ∫vdu .

12

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла∫udv к вычис-

лению интеграла ∫vdu , которое может оказаться проще исход-

ного.

Интегрирование по частям требует представление подынтегрального выражения в виде произведения множителей u и dv . Существуют три типа интегралов, в которых по разным соображениям происходит выбор множителей u и dv в подынтегральных выражениях.

В некоторых интегралах приходится несколько раз интегрировать по частям.

13

рается enx или anx . После двукратного интегрирования по частям решается уравнение относительно исходного интеграла.

Пример 1.5.5. Вычислить неопределенный интеграл

∫ex sin xdx .

Решение:

− ∫ex sin xdx.

Получили нетривиальный результат - уравнение относительно исходного интеграла. Обозначив его за J , получим уравнение

J = e x (sin x − cos x)− J.

Перенося J в левую часть уравнения, имеем

2J = e x (sin x − cos x).

Окончательно: ∫ex sin xdx = ex (sin x −cos x)+C . 2

15

1.6. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

Преобразуем квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе, в сумму или разность квадратов, предварительно выделив из него полный квадрат суммы или разности.