Возвращаясь после интегрирования к исходной функции y = ux , получим интеграл уравнения.

Однородное дифференциальное уравнение часто задается в дифференциальной форме: P(x; y)dx +Q(x; y)dy = 0 . В этом

случае функции P(x; y) и Q(x; y) должны быть однородными функциями одинакового порядка. Дифференциальное уравне-

ние переписывается в виде dydx = −QP((xx;; yy)), где правая часть яв-

ляется однородной функцией нулевого порядка однородности.

исходное уравнение:

(x2 −u2 x2 )dx + 2xux(xdu +udx)= 0 , x2 (1−u2 + 2u2 )dx + 2ux3du = 0 ,

(1+u2 )dx + 2uxdu = 0 .

исходного уравнения.

90

5.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

называется линейное относительно неизвестной функции и ее производной уравнение, имеющее вид

dydx + P(x) y = Q(x) ,

где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные функции или посто-

янные.

Рассмотрим метод Бернулли интегрирования данного уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения ищется в виде произведения двух неизвестных функций

y = u(x)v(x) от x . Тогда y′ = u′v +uv′. Подставляя выражение y и y′ в уравнение, получаем:

u′v +uv′+ P(x)uv = Q(x) или u′v +u(v′+ P(x)v)= Q(x).

Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим дифференциальное уравнение v′+ P(x)v = 0 . Разделяем переменные интегрирования

dvv = −P(x)dx , интегрируя, получаем: ln v = −∫P(x)dx + ln c .

Из множества функций v(x), обращающих выражение v′+ P(x)v в ноль, можно выбрать самую простую функцию,

положив c =1, поэтому v = e−∫P(x)dx .

Подставляя найденную функцию v в исходное уравнение, получаем u′e−∫P(x)dx = Q(x).

Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными:

dudx e−∫P(x)dx = Q(x), du = Q(x)e+∫P(x)dx dx , u = ∫Q(x)e∫P(x)dx dx + c .

91

найденное выражение v в исходное уравнение и получаем

го уравнения y′− ytgx = cos2 x , удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.

Решение: Положим y=uv, тогда y′ = uv′+ vu′ и u(v′−vtgx)+ vu′ = cos2 x .

Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось

92

Функция u определяется из уравнения u′cos x = cos2 x ,

Используя начальное условие y(0)=1, найдем

1 = cos0 (sin 0 + c), откуда c =1. Искомое частное решение будет иметь вид y = cos x(sin x +1) .

5.6. Уравнения Бернулли

Уравнение вида y′+ p(x)y = g(x)yn , n ≠1, называется уравнением Бернулли. Оно легко сводится к линейному дифференциальному уравнению. Разделив уравнение на yn , получим: y−n y'+p(x)y−n+1 = g(x). Обозначим y−n+1 = z . Тогда

Дифференциальные уравнения порядка выше первого на-

зываются дифференциальными уравнениями высших порядков.

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае

или в виде, разрешенном относительностаршей производной, y′′ = f (x, y, y′).

93

Для уравнений, разрешенных относительно старшей производной, имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения второго

будет удовлетворять этим условиям. Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях по-

стоянных C10 ,C2 0 ,удовлетворяющих начальным условиям

y x=x0 = y0 , y′ x=x0 = y0′ называется частным решением.

Если нельзя получить явную зависимость в общем решении, то ограничиваются ответом в виде общего интеграла

дифференциального равнения второго порядка Ф(x,C1,C2 ) = 0 .

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетво-

ряющего заданным начальным условиям y x=x0 = y0 ,

y′ x=x0 = y0′ , называется задачей Коши. Решение задачи Коши единственно.

5.8. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка

Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения по-

94

рядка. Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Пусть дано уравнение y′′ = f (x). Порядок понижается посредством введения новой функции y′ = p(x). Тогда, используя y′′ = p′(x), получаем дифференциальное уравнение первого порядка p′ = f (x), решив которое, получим общее решение уравнения первого порядка p = p(x,C1 ). Решая уравнение y′ = p(x,C1 ), получим общеерешение заданного уравнения

y = ∫p(x,C1 )dx +C2 .

Пример 5.8.1. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ = cos x .

Решение: Полагая y′ = p(x), преобразуем уравнение к виду p′ = cos x . Интегрируя, имеем dp = ∫cos xdx или

p = sin x + C1 . Возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению y′ = sin x +C1 . Следовательно,

y= ∫(sin x +C1 )dx = −cos x +C1x +C2 .

2.Пусть дано уравнение y′′ = f (x, y′). В уравнении от-

сутствует явным образом искомая функция y . Порядок по-

нижается посредством введения новой функции y′ = q(x). Тогда, используя y′′ = q′(x), получаем дифференциальное уравнение

первого порядка q′ = f (x,q). Пусть q =ϕ(x;C1 ) - общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Заменяя

функцию q на у', получаем второе дифференциальное уравнение первого порядка: y′ = ϕ(x;C1 ). Интегрируя последнее уравнение, получаем общий интеграл исходного уравнения y = ∫ϕ(x,C1 )dx + C2 .

Пример 5.8.2. Найти общее решение дифференциального

95

Пример 5.8.3. Найти общее решение дифференциального уравнения xy′′ = y′ln(y′/ x) .

Решение: Полагая y′ = q(x), преобразуем исходное урав-

нение к однородному дифференциальному уравнению первого порядка xq′ = q ln(q / x) или q′ = (q / x)ln(q / x) .

но независимую переменную x . Для понижения порядка урав-

нения введем y′ = p(y). Дифференцируем это равенство по x , учитывая, что p = p(y(x)):

96

y′′ = ddx(y′) = dpdx(y) = dpdy(y) dydx = dpdy(y) p , т. e. y′′ = p dpdy .

Теперь уравнение запишется в виде p dpdy = f (y, p), после

интегрирования которого получаем общее решение уравнения первого порядка p = ϕ(y;C1 ). Заменяя функцию р(у) на у', получаем второе дифференциальное уравнение первого порядка y′ = ϕ(y;C1 ). Интегрируя последнее, находим общий интеграл

чим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными yp dpdy − p2 = 0 , общее решение которого p = C1 y дает второе дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными dydx = C1 y . Интегрирование послед-

него дифференциального уравнения дает ln y = C1x + ln C2 или y = C2eC1x .

5.9. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка: y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = 0 , где a1 (x) и a2 (x) являются непрерывными функциями x в рассматри-

97

ваемой области. Укажем некоторые свойства решений этого уравнения.

Теорема 1. Если функции y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) являются частными решениями уравнения y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = 0 ,

то решением этого уравнения является также функция y = c1 y1(x)+ c2 y2 (x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Для нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка рассмотрим понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

когда α1 =α2 = 0 .

Если же существует пара неравных нулю чисел α1 или α2 , при которых выполняется равенство α1 y1 +α2 y2 = 0 , то функции y1 и y2 называются линейно зависимыми.

Система двух линейно зависимых функций характеризуется свойством линейной пропорциональности функции y1 и y2 ,

т. е. для всех x (a;b) выполняется равенство y1 = λy2 , где λ - некоторая постоянная величина. Например, функции y1 = x и y2 = x2 линейно независимы, а функции y3 = 2x и y4 = 5x

линейно зависимы.

Система функции анализируется на предмет линейной зависимости посредством определителя Вронского или

вронскиана.

Существует несколько теорем, касающихся определителя Вронского.

Теорема 2. Если дифференцируемые функции y1(x) и y2 (x) линейно зависимы на (а;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

висимые решения уравнения y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = 0 на (a,b), то определитель Вронского на этом интервале не обращается в

нуль ни в одной точке (без доказательства).

Из теорем следует, что вронскиан не равен нулю ни в о д- ной точке интервала (a,b) тогда и только тогда, когда частные

каждая из них обращает дифференциальное уравнение в тождество.

Теорема 4.(Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго по-

рядка). Если два частных решения y1 = y1(x) и y2 = y2 (x) ли-

99