Учебное пособие 1305
.pdfСреди правильных рациональных дробей можно выделить четыре типа дробей, называемых простейшими:
1. |
A |
, |
2. |
A |
, |
3. |
Ax + B |
, |
4. |
Ax + B |
, |
x − a |
(x − a)k |
x2 + px + q |
(x2 + px + q)k |
где A, B, p, q − действительные числа, а трёхчлен x2 + px + q
имеет отрицательный дискриминант, т.е. p2 − q < 0 . 4
Простейшие дроби интегрируются несложным образом:
1. ∫ x −Aa dx = A∫d(xx−−aa) = Aln x − a +C ;
2. ∫ |
|
A |
|
dx = A∫(x − a)−k dx = A |
(x − a)−k +1 |
+C = |
|
(x − a) |
k |
− k +1 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
= − |
|
|
A |
+C ; |
|
|
|
(k −1)(x − a)k −1 |
|
|
3. ∫ 2 Ax + B dx = I3 . x + px + q
4. Простейшие дроби четвертого типа рассматриваться здесь не будут.
1.8. Разложение правильной дробно–рациональной функции на сумму простейших дробей
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь QP((xx)), знаменатель которой разложен на множители
Q(x)= (x − x1 )k (x − x2 )l ...(x2 + p1x + q1 )S (x2 + p2 x + q2 )p ...,
можно представить единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:
20
|
P(x) |
|
A1 |
|
|
A2 |
|
|
... + |
|
Ak |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Q(x) |
x − x1 |
(x |
− x )2 |
(x − x )k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
|
1 |
+ |
|
2 |
|
|
+... + |
|
|
l |
|
|
+... |
|
|
||||||||||||||
|
(x − x2 ) |
|
(x − x |
2 )2 |
|
(x − x |
2 )l |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
+ |
M1x + N1 |
|
|
+ |
|
M 2 x + N2 |
|
+... + |
M S + NS |
|
+ |
||||||||||||||||||
|
x2 + p1x + q1 |
|
(x2 + p1x + q1 )2 |
|
(x2 + p1x + q1 )S |
|||||||||||||||||||||||||
|
+ |
|
|
P1x +Q1 |
+ |
|
|
P2 x +Q2 |
+...+ |
|
|
PP +QP |
+..., |
|||||||||||||||||
|
x2 + p2 x + q2 |
(x2 + p2 x + q2 )2 |
|
|
(x2 + p2 x + q2 )P |
|||||||||||||||||||||||||
где A1, A2 ,...,Qp |
|
- некоторые действительные числа, |
находя- |
щиеся по методу неопределённых коэффициентов.
Суть метода неопределенных коэффициентов сводится к тому, что предыдущее равенство приводится к общему знаменателю, после чего тождественно приравниваются числители правой и левой части. Условие тождественности означает равенство коэффициентов при одинаковых степенях x слева и справа, из чего и получается система уравнений относительно
искомых чисел A1, A2 , B1… и т.д.
Пример 1.8.1. Вычислить интеграл∫ x(xx−+12)2 dx.
Решение: Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.
x +1 |
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
. |
x(x − 2)2 |
x |
x − 2 |
(x − 2)2 |
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.
A |
+ |
B |
+ |
C |
= |
A(x − 2)2 + Bx(x − 2)+Cx |
= |
|
x − 2 |
(x − 2)2 |
(x − 2)2 x |
||||
x |
|
|
|
21
= (A + B)x2 + (− 2A −22B +C)x + 4A ,
(x − 2) x
(A + B)x2 + (− 2A − 2B +C)x + 4A = x +1.
Приравнивая одинаковые коэффициенты, получим систему уравнений:
|
x2 |
A + B = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 1 |
|
, B = − 1 |
, C =1+ 2A + 2B =1 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
−2A −2B +C =1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 |
4A =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Подставим найденные коэффициенты в разложение ра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
циональной функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
= |
1 |
|
− |
|
|
1 |
|
+ |
|
1 |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x-2)2 x |
|
4x |
4(x − 2) |
(x − 2)2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Искомый интеграл представляется в виде суммы интегра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ловот простейших дробей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x(x − 2) |
2 dx = ∫ |
4x |
|
4(x − 2) |
|
|
2 |
dx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
4 ln |
|
− |
4 ln |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 1.8.2. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x |
+1)(x |
2 |
+ x +1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Решение: Разложим правильную рациональную дробь на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
простейшие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x2 + x +1)+ Bx(x +1)+C(x +1) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
A |
+ |
|
|
Bx +C |
= |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
(x +1)(x2 + x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)(x2 + x +1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Приравняем числители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x2 + x +1) |
+ B(x2 + x)+C(x +1)=1. |
|
|
22
x2 x1 x0
A + B = 0
A + B +C = 0 B = −A, C =1− A, A − A +1− A = 0, .
A +C =1
A =1, B = −1, C = 0.
Подставим найденные коэффициенты в разложение рациональной функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)(x2 + x +1)= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Окончательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
dx |
|
|
−∫ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx = ln |
|
x +1 |
|
− |
∫ |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x +1)(x |
+ x +1) |
|
|
|
x |
+ x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ x + |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
1 |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
d x + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= ln |
|
|
x +1 |
|
− ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
x +1 |
|
− ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
+ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
+ |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
+ |
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= ln |
|
x +1 |
|
− |
|
1 |
∫ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
+ |
|
2 |
|
arctg |
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ln |
|
x +1 |
|
− |
1 ln(x2 + x +1)+ |
|
1 |
|
|
arctg |
|
2x +1 |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.9. Интегрирование тригонометрических выражений
Рассмотрим случаи интегрирования тригонометрических функций. Рациональную функцию переменных sin x и cos x
обозначим R(sin x,cos x). Пусть надо вычислить неопределенный интеграл:
23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫R(cos x,sin x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Вычисление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенных |
|
|
|
|
|
|
|
|
интегралов |
|||||||||||||||||||||||||||||
∫R(cos x,sin x)dx |
|
|
|
|
с |
|
помощью |
универсальной |
подстановки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg |
x |
= t сводится |
|
|
|
|
к |
|
|
вычислению |
|
интегралов |
от |
|
дробно– |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рациональной функции относительно t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2tg |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−tg |
2 x |
|
|
|
1−t 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
sin x = |
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, |
cos x = |
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+tg |
2 x |
1+t 2 |
|
1+tg |
2 x |
|
1+t 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x = 2arctgt; |
|
dx = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∫R(cos x,sin x)dx |
|
|
|
|
|
|
1−t 2 |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2∫R |
1+t |
2 |
, |
1+t |
2 |
|
|
1+t |
2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Пример 1.9.1. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 +sin x + cos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Решение: |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 +sin x + cos x |
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||
|
|
(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
1 −t |
|
|
|
3t + 3 + 2t +1 −t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+1) |
t |
2 |
|
+ |
1 |
|
t |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
d t + |
2 |
|
|
|
|
|||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||
|
2t |
2 |
+ 2t + 4 |
|
|
t |
2 |
+ t + 2 |
t |
2 |
+ |
2t |
|
1 |
+ |
1 |
− |
1 |
+ 2 |
|
|
1 |
2 |
|
7 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
4 |
|
|
t + |
|
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
arctg 2t |
+ |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2tg |
|
x |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
+C = |
|
arctg |
|
2 |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
В силу громоздкости универсальной тригонометрической |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подстановки полезно знать другие подстановки, которые быст- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рее приводят к цели. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Если подынтегральная функция не изменяется при одно- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
временном |
изменении |
|
знака |
|
|
у |
|
sin x |
и |
|
cos x , |
|
т.е. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
R(−cos x,−sin x)= R(cos x,sin x) |
, |
тогда |
|
|
|
с |
|
помощью |
замены |
tgx = t подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию относительно переменной t . В этом случае
sin |
2 |
x = |
tg 2 x |
= |
|
t 2 |
, cos |
2 |
x = |
|
|
1 |
= |
|
|
1 |
, |
|
1+tg 2 x |
1+t 2 |
|
1 |
+tg 2 x |
1 |
+t 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = arctgt, dx = t 2dt+1.
Пример 1.9.2. Вычислить интеграл ∫ 2 1 dx . sin x +sin x cos x
Решение:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
tgx |
= t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
dt |
|
|
|
= |
|
|||||
∫sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x +sin x cos x |
|
|
|
|
x +sin 2x |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+t |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
d t + |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = ∫ |
=∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
= ∫ |
|
|
t |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
t 2 |
+ t |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
||||||||||||||
t |
2 |
|
|
t |
|
t |
2 |
+ t + |
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
t |
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
||||||
|
|
t 2 |
+1 |
t 2 +1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 ln |
t + |
2 |
|
− |
2 |
|
t |
|
tgx |
|
= |
|
|
|
|
+C = ln |
+C = ln |
+C. |
||||||
2 |
|
1 |
|
1 |
t +1 |
tgx +1 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t + |
2 |
|
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.9.3. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
2 |
|
x cos |
4 |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = arctgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение: |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
x cos |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
t |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(1+t 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
+1 t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
= ∫ |
|
dt = ∫ |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
+t |
|
|
|
dt = − |
|
+ 2t + |
|
|
|
|
+C = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
t |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
−1 |
|
+ 2tgx + |
tg 3 x |
|
|
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
tgx |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если функция R(sin x,cos x) нечётна относительно sin x : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R(cos x,−sin x)= −R(cos x,sin x), |
|
|
|
тогда |
|
|
с |
|
|
помощью |
|
|
замены |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x = t |
|
|
подынтегральная |
функция |
|
преобразуется |
|
в |
рацио- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нальную функцию относительно переменной t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 1.9.4. Вычислить интеграл ∫ |
sin x cos2 x |
dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin2 x +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin x cos |
2 |
x dx |
|
cos x |
|
|
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
− 2 + 2 dt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∫ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
sin |
x +1 |
|
|
|
−sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
2 −t |
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= ∫ 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt =t + 2∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= t |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
t |
2 |
|
− |
|
|
|
|
t |
2 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= cos x + |
|
|
|
|
|
ln |
cos x − |
|
2 |
|
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
cos x + |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если функция R(sin x,cos x) нечётна относительно cos x : R(−cos x,sin x)= −R(cos x,sin x), тогда с помощью замены
sin x = t подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию относительно переменной t .
Пример 1.9.5. Вычислить интеграл ∫sin2 x cos xdx . sin x +1
Решение:
|
|
|
|
∫ |
sin |
2 |
|
x cos xdx = |
sin x = t |
|
|
= |
∫ |
t |
2 |
dt = |
∫ |
t |
2 |
|
−1+1dt = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|
t +1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos xdx = dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ∫ t −1+ |
|
|
|
dt = |
|
|
−t +ln |
t +1 |
+C = |
|
|
|
|
|
−sin x +ln |
sin x +1 |
+C |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t +1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Интегралы вида ∫sin2n x cos2m x dx , |
|
∫sin2n x sin2m x dx , |
|||||||||||||||||||||||||||
∫cos2n x cos2m x dx |
|
вычисляются с помощью тригонометриче- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ских формул понижения степени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x = 1+ cos 2x , sin2 x = |
1−cos 2x . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.9.6. Вычислить интеграл ∫sin4 xdx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫sin |
4 |
xdx =∫ |
1−cos 2x |
|
1 |
∫(1− 2cos 2x + cos |
2 |
|
2x)dx = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
dx = |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1+cos 4x |
= |
1 |
|
3 |
− |
2cos 2x |
+ |
cos 4x |
||||||||||||||||
4 |
∫ 1− 2cos 2x + |
|
|
2 |
|
dx |
4 |
∫ |
2 |
|
|
2 |
dx = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
3 |
∫dx − |
1 |
∫cos 2xdx + 1∫cos 4xdx = |
3x |
− |
sin 2x |
+ |
1 |
sin 4x +C. |
|||||||||||||||||||||||
8 |
2 |
8 |
|
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Интегралы вида ∫sin ax cosbx dx , ∫sin ax sin bx dx ,
∫cos ax cosbx dx вычисляются с помощью тригонометрических формул умножения:
27
sinα cos β = 12 (sin(α + β)+sin(α − β)), cosα cos β = 12 (cos(α + β)+ cos(α − β)), sinα sin β = 12 (cos(α − β)−cos(α + β)).
Пример 1.9.7. Вычислить интеграл ∫sin10x cos3xdx.
Решение:
∫sin10x cos3xdx = 12 ∫(sin(13x)+sin(7x))dx = −261cos13x −141 cos 7x +C.
1.10. Интегрирование иррациональных функций
Вычисление интегралов вида ∫R(x, mx, nx,...)dx произво-
дится с помощью замены x = tW , где W является наименьшим общим кратным чисел m, n,.... Данная замена позволяет перей-
ти к интегрированию дробно-рациональной функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx =Wt |
W −1 |
dt , |
∫R(x, |
m |
x, |
n |
|
x,...)dx |
|
|
|
W |
,t |
m |
|
,t |
n |
|
|
|
|
W −1 |
dt . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ∫R t |
|
|
|
|
|
|
|
,... Wt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.10.1. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t |
|
+1)−1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6t |
5 |
dt |
|
|
|
t |
3 |
dt |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
|
x + |
3 |
x |
|
= |
6t |
5 |
= ∫ |
t |
3 |
+t |
2 |
|
= 6∫ |
t +1 |
= 6∫ |
|
|
t +1 |
|
|
dt |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx = |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
3 |
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 6 ∫(t |
|
−t +1)dt − ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+t −ln |
t +1 |
|
+C = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
= 6 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2t3 −3t 2 + 6t −6ln t +1 +C = 2x −33x + 6 6x −6ln 6x +1 +C .
28
|
|
|
|
|
|
|
m |
ax +b |
|
n |
ax +b |
||
|
|
; |
|
|
||
Вычисление интегралов ∫R x; |
|
cx + d |
|
cx + d |
;... dx |
|
|
|
|
|
|
осуществляется с помощью дробно-линейной подстановки
ax +b = tW , где W является наименьшим общим кратным чи- cx + d
сел m, n,....
Тогда ax +b = cxtW + dtW , x = taW−dct−Wb
dx =ξ′(t)dt = (WtW −1d(a −ct(W )+ (tW)2d −b)cWtW −1 )dt. a −ctW
Поскольку ξ(t) является рациональной функцией, то и ξ′(t) является рациональной функцией. В результате получается интеграл от рационального выражения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tW d −b |
W W |
|
|
||||||||||||||
|
|
ax |
+b |
|
|
|
ax +b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫R x;m |
cx |
+ d |
;n |
|
|
cx + d |
;... dx = ∫R |
|
|
W ,t m ,t m ,... |
ξ′(t)dt. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a −ct |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.10.2. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
x + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x − 2)2 |
x − 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение: Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x + 2 |
= t |
3 |
, |
x + 2 |
= xt |
3 |
− 2t |
3 |
, x = |
|
2t3 + 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
t3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
(t3 |
|
−1)− (2t3 + 2)3t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
dx = |
6t 2 |
|
dt = |
|
−12t 2dt |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(t3 −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t3 −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
12t 2dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ |
|
3 |
|
|
dx = −∫ |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(x − 2)2 |
x − 2 |
|
2t3 + 2 |
|
|
2 |
(t3 |
−1)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|