Методическое пособие 598

Функция f называется биективной или биекцией, если она является как сюръекцией, так и инъекцией. Другими совами, f осуществляет взаимно-однозначное соответствие

11

Отображение f1 есть сюръекция, но оно не является инъекцией. Функция f3 представляет собой инъекцию, при этом она не есть сюръекция, отображение f2 – биекция и является подстановкой (если A B ), функция f4 не является ни инъ-

екцией, ни сюръекцией.

Свойства функций.

1) Композиция двух функций есть функция, то есть если f : A B , g : B C , то f o g : A C .

2) Композиция двух биекций есть биекция.

12

3) Функция f : A B имеет обратную функцию

Специальные бинарные отношения.

В теории множеств большое значение имеют два вида специальных бинарных отношений: эквивалентности и порядка. Предположим, что имеются конечные множества

A a1, a2 ,..., an и B b1, b2 ,..., bn , и бинарное отношение

щие между элементами множеств A и B , и даёт возможность проиллюстрировать их графически.

Свойства матриц бинарных отношений.

таким образом: 0 0 0 , 1 1 1, 1 0 0 1 1, а умноже-

ному правилу умножения матриц, однако произведение элементов при умножении матриц вычисляется так, как указано

вп. 1.

3) P 1 PT , где P 1 – матрица обратного отноше-

Рис. 5. Графическое представление бинарного отношения

здесь под символом * подразумевается нуль или единица. Отношение P именуется иррефлексивным при условии,

что х А (х, х) Р .

Отношение P, заданное на множестве A , именуется симметричным при условии, что

х А, у A, (х, у) Р ( y, x) Р. При этом PT P .

Отношение P именуется антисимметричным при условии, что верна импликация

х, у Р у, х Р x y , что означает Р Р 1 idА ,

по-другому, в матричном виде P P 1 P PT . При этом в матрице P P 1 все элементы вне главной диагонали

станут равны нулю, главная диагональ тоже может содержать нули.

Отношение P именуется транзитивным при условии, что верна импликация х, у Р у, z Р x, z Р ,

что означает Р o Р Р.

15

В данной матрице не все элементы вне главной диагонали равны нулю, таким образом, P не является антисимметричным. Этот пример показывает, что понятие несимметричности отлично от понятия антисимметричности. Выясним, обладает ли P свойством транзитивности.

что означает P o P P, таким образом, P не является тран-

зитивным.

Рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение, заданное на множестве A , именуется отношением экви-

Пример. На множестве R действительных чисел зададим отношение a b mod 1 , полагая, что числа a и b равны

по модулю 1 тогда, когда число a b является целым. Из данного определения следует, что каждое число по модулю 1 равно своей дробной части. Каждый класс эквивалентности

вии, что оно одновременно рефлексивно и транзитивно. Используя определения отношения эквивалентности, можно заключить, что симметричный предпорядок есть отношение эквивалентности.

Пример. Дано множество A 1, 2,3, 4 . В этом случае отношение P 1,1 , 2, 2 , 3,3 , 4, 4 , 1, 2 , 3, 2 , 4,1

является предпорядком.

Если для отношения, заданного на множестве A , одновременно выполняются свойства рефлексивности, транзитивности и антисимметричности, то оно именуется частичным порядком на A . Для обозначения частичного порядка ис-

пользуют символ , а обратного ему отношения 1 – символ. Отношение < именуется строгим порядком и задаётся

17

так: x y x y x y . Оно не является частичным

порядком, потому, что не обладает свойством рефлексивности x x.

В тех случаях, когда в множестве A существуют элементы x и y , для которых не представляется возможным говорить, что x y или y x, такие элементы именуют не-

сравнимыми.

Пример. Пусть T – множество положительных делителей числа 30 и есть отношение m n , если m делит n нацело. Целые числа 5 и 15 сравнимы, так как 5 делит 15 нацело, а 5 и 6 – нет.

Частичный порядок именуется линейным порядком при условии, что каждые два элемента x и y , содержащиеся в

множества A , сравнимы, таким образом, x y или y x.

Непустое множество A , на котором задан какой-либо частичный (линейный) порядок, именуется частично (линей-

но) упорядоченным множеством.

Элемент a A , содержащийся в частично упорядочен-

ном множестве A , именуется максимальным (минимальным),

при условии, что x A верна импликация a x x a a x . Элемент a A именуется наибольшим

(наименьшим) при условии, что x a a x x A.

Для наибольшего элемента принята запись max A, наи-

меньшего – min A . Таких элементов множество может не содержать, в частности, в линейно упорядоченном множестве рациональных чисел 0,1 не содержится наименьшего эле-

мента, наибольшим элементом является единица. 18

Замечание. В том случае, когда множество содержит набольший (наименьший) элемент, он является единственным максимальным (минимальным) элементом данного множества.

Пример. Рассмотрим множество точек плоскости с некоторой фиксированной прямоугольной (декартовой) системой координат. Координаты каждой точки плоскости задаются упорядоченной парой x, y действительных чисел. Отно-

шение порядка на множестве точек плоскости определим следующим образом: a,b c, d , если и только если a c

и b d. Рассмотрим множество точек треугольника ОАВ.

у

А

Рис. 6. Множество точек треугольника

Точка с координатами 0, 0 является наименьшим элементом этого множества. Максимальными элементами являются все точки, лежащие на стороне отрезка AB . Наибольшего элемента нет.

19

Верхней (нижней) гранью подмножества B частично упорядоченного множества A именуется любой элемент a A : b a a b b B.

Точной верхней (нижней) гранью подмножества B A

именуется наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) грань для B . Точная верхняя и точная нижняя грани множества B A записываются как sup B и inf B соответственно.

(супремум) (инфимум)

Примеры. Предположим, что A R.

1)B 3,6 . sup B 6; inf B 3.

2)B 2,5 . sup B 5; inf B 2.

Данные примеры иллюстрируют, что точные верхняя и нижняя грани подмножества могут входить в него, а могут и не входить в него.

Линейный порядок на множестве A именуется полным при условии, что любое непустое подмножество множества A содержит наименьший элемент, тогда множество A

именуется вполне упорядоченным.

Предположим, что имеется конечное частично упорядоченное множество A . Элемент y называется покрываю-

щим элемент x , при условии, что x y и не найдётся такого элемента z , что x z y . В случае x y найдутся такие элементы x1, x2 , ..., xn , что x x1 x2 ... xn y, , где xi 1 покрывает xi . Произвольное частично упорядоченное множест-

во можно отобразить в виде схемы, где всякий элемент представляется точкой на плоскости, и, если y покрывает эле-

20