Методическое пособие 598

x1 x2 x3 x4 x5 x6

Символом * помечены вершины из множества N0 . Удаляя строки 4 и 6, а также столбцы 4 и 6, получим:

Символом * помечены вершины из множества N1. Удаляя строки 1 и 5, а также столбцы 1 и 5, получим:

Символом * помечена вершина из множества N2 . Удаляя строку 3 и столбец 3, получим:

x2

P x2 0 *.

Символом * помечена вершина из множества N3.

111

Построив множества N0 , N1, N2 , N3 , определим значения порядковой функции or x , x X , (на рис. 35 они от-

g xi есть минимальное из целых неотрицательных чисел, не

входящих в множество g xj : xj xi и g xi 0, когда

xi .

Иначе говоря, g xi представляет собой минимальное из неотрицательных чисел, не соответствующих никакой из вершин xi .

Функция Гранди широко используется при доказательстве многих теорем в теории графов, помимо этого, вычисление некоторых характеристик графа приводит к нахождению значений этой функции.

Пример 2. Определим функцию Гранди для орграфа G из примера 1. Разделим совокупность вершин орграфа на

уровни: N0 x4 , x6 , N1 x1, x5 , N2 x3 , N3 x2 .

Используя определение функции Гранди, получим:

112

На рис. 36 представлен орграф G , возле всех вершин которого проставлены значения функции Гранди.

Рис. 36. Функция Гранди орграфа

Для орграфов без контуров небольшого порядка используют табличный способ нахождения функции Гранди.

Пример 3. Определим функцию Гранди для орграфа из примеров 1 и 2, применяя табличный способ. Таблица заполняется таким образом:

3.3.Нахождение минимальных путей на орграфах

Алгоритм Дейкстры.

Предположим, что G S,U , орграф с взвешенны-

ми дугами. Пусть s вершина начало пути и t вершина конец пути. Веса дуг должны быть больше нуля.

Этап I. Определение длины минимального пути. Шаг 1. Присвоение вершинам начальных меток.

Присвоим d(s) 0 и считаем данную метку постоянной (постоянные метки отмечаются сверху символом *). Для

Шаг 3. Превращение метки из временной в постоян-

ную.

Из всех вершин с временными метками берём вершину

114

Поскольку в исходном графе имеется цикл, проходящий через вершины х2 , х3 и х5 , то вершины графа нельзя упорядочить по алгоритму Фалкерсона.

Этап I.

~

Шаг 1. Присвоим d x1 0* , x x1, d x j , j 2, 6.

Первая итерация.

Шаг 2. Совокупность вершин, непосредственно сле-

Шаг 3. Одна из временных меток становится постоян-

ной:

~

min d xi , i 2, 6 min 9, , 6, 11, 6* d x4 , x x4.

~

Шаг 4. x x4 t x6 , переходим к шагу 2.

Вторая итерация.

~

Шаг 2. S x2 , x3 , x5 .

116

d x2 min 9, 6* 5 9, d x3 min , 6* 7 13, d x5 min 11, 6* 6 11.

Шаг 3. min d x2 , d x3 , d x5 , d x6

~

min 9, 13, 11, 9* d x2 , x x2.

Шаг 4. x2 x6 , переходим к шагу 2.

Третья итерация.

~

min 13, 11, 11* d x5 , x x5.

Шаг 4. x5 x6 , переходим к шагу 2.

Четвёртая итерация.

Этап II.

Первая итерация.

Шаг 5. Находим совокупность вершин, непосредствен-

~

но предшествующих x x6 , с постоянными метками

117

х3

Рис. 38. Сеть с наличием отрицательных весов дуг

Найти минимальный путь от вершины x1 до вершины x6 .

120