Методическое пособие 596

Важную роль при оценке организационно – технологических решений играет понятие трудности для каждого показателя. Интуитивно ясно, что, чем больше разница между требуемым значением показателя и его фактическим уровнем, тем лучше вариант организационно – технологического решения. Можно рассматривать трудности по стоимости, качеству, времени выполнения работ. Зависимость трудности для каждого показателя от xi

иxi* должна обладать следующими свойствами:

-при xi = xi* быть максимальной, т. е. равной 1 (трудность максимальна при предельно низком значении показателя);

-при xi=1, xi ≥ xi* быть минимальной, т. е. равной 0 (при предельно высоком зна-

чении показателя трудность должна быть минимальной);

- при xi >0, xi* = 0 быть минимальной, так как при отсутствии требований к показа-

Полагаем также, что di=0 при xi = xi*= 0 и di=1 при xi = xi*= 1. После того, как получена формула трудности для каждого показателя, необходимо получить общую оценку трудности организационно-технологического решения, которая будет вычисляться по следующей формуле:

i=1

где qi – весовые коэффициенты (если критерии равнозначны, то все qi=1).

Рассмотрим пример построения комплексной оценки по аддитивной модели и методу «трудности» для уже приведенных в табл. 1 данных.

В табл. 1 приведены данные, характеризующие три возможных варианта организа- ционно-технологического решения для реализации строительного проекта и требования к максимальному (минимальному) значению каждого показателя.

Выполним нормализацию показателей по формулам полной нормализации (2) и (3). При выборе максимальных и минимальных границ показателей с целью исключения экстремальных значений их необходимо выбирать с погрешностью, равной 10% от минимальной границы. Например: минимальная граница стоимости равна 640. Тогда xmin и xmax для показателя стоимость будут равняться 640-0,1*640=576 и 730+0,1*640=794 соответственно. В табл. 2 рассчитаны пронормированные значения показателей для каждого варианта календарного плана.

Используя данные о величине весовых коэффициентов, полученных выше, находим рейтинговые оценки для рассматриваемых трех проектов по формуле, то есть используем аддитивную модель

13

m

Ri = ∑qj xij . j=1

1 вариант КП (вариант А):

m

R1 = ∑qj x1 j = 0,46 0,43 + 0,31 0,75 + 0,12 0,45 + 0,07 0,53 + 0,04 0,86 = 0,5558 .

j=1

2 вариант КП (вариант В):

m

R2 = ∑qj x2 j = 0,46 0,52 + 0,31 0,62 + 0,12 0,56 + 0,07 0,6 + 0,04 0,59 = 0,5642 .

j=1

3 вариант КП (вариант С):

m

R1 = ∑qj x1 j = 0,46 0,71+ 0,31 0,5 + 0,12 0,67 + 0,07 0,73 + 0,04 0,41= 0,6295 .

j=1

Следовательно, согласно аддитивной модели (1) наиболее приемлемым будет вариант календарного плана (КП) под номером 3 (вариант С), вариант В будет находиться на 2 месте и на последнем месте будет находиться вариант А.

Теперь, используя результаты расчетов в табл. 3, найдем комплексные показатели проектов, используя модель «трудности». Для этой цели по формуле (7) рассчитаем трудности показателей для каждого варианта.

Используя формулу (8), рассчитаем интегральные трудности по каждому варианту: dA=0,907; dB=0,81; dC=0,73.

По результатам расчетов можно сделать следующий вывод: самым предпочтительным вариантом является C, затем проект В и последнее место занимает проект А. Если сравнить результаты, полученные по аддитивной модели (1), и модели «трудности», то можно сделать вывод, что результаты получились идентичными. Причем различие между первым вариантом, то есть вариантом А, и вторым, то есть В, незначительное.

Таким образом, использование аддитивных и мультипликативных моделей требует проведения экспертного опроса с целью определения значимости отдельных показателей оценки. Сама процедура экспертного опроса проводится в форме алгоритма парных сравнений и является достаточно трудоемкой, неудобной для эксперта и требующей дополнительных усилий, направленных на достижения согласованности данных экспертного опроса и получения согласованного мнения экспертов. Это предполагает выполнение для матриц парных сравнений, заполненных экспертами условий транзитивности (4).

Можно несколько упростить процедуру экспертного опроса, отказавшись от попарного сравнения показателей по важности и заменив ее следующим подготовительным шагом: каждому эксперту предлагается заполнить матрицу, описывающую его представления о важности каждого из вариантов. Произвольный элемент матрицы, заполняемой экспертом, aij показывает, какую часть имеющегося ресурса, по мнению эксперта, необходимо выделить на реализацию i-го проекта с тем, чтобы оставшуюся часть направить на выполнение j-го проекта. В процессе заполнения матрицы эксперту запрещается использовать предельные значения показателя, то есть аji(k) ≠0 и аji(k) ≠1. Следовательно, оценки k-го эксперта должны обеспечивать выполнение следующего соотношения:

14

где m – количество экспертов, привлекаемых для экспертного опроса.

Учитывая логику формирования элементов матрицы, приходим к утверждению равенства диагональных элементов величине 0,5, то есть

аii(k)=0,5, i = 1,n; k = 1,m

Экспертный опрос дает m различных матриц сравнения, так как каждая матрица отражает представления одного эксперта, а эти представления могут различаться, и, следовательно, возникает задача получения согласованного мнения экспертов. Для этой цели проводится осреднение полученных матриц. Если степень согласованности экспертов по коэффициенту конкордации будет невысокой, необходимо повторно провести процедуру экспертного опроса по методу Дельфы [5, 6]. С учетом этого, произвольный элемент результирующей матрицы будет вычисляться по формуле:

1 m

aij = m k=1 aijk

изначения элементов результирующей матрицы будут равны средним значениям, вычис-∑

ленным по результатам экспертного опроса.

По результирующей матрице, отражающей интегральное представление экспертов о ресурсных приоритетах реализуемых вариантов, необходимо получить интегральные оценки для каждого варианта, в наиболее полной степени учитывающие мнения экспер-

тов. Обозначим вектор этих оценок через q = {q1,q2 ,...,qn } и сформулируем нормировочное

условие для компонент этого вектора, отражающее наличие основного свойства системы весовых коэффициентов:

i=1

Вполне рационально увязать интегральную оценку i-го варианта с его потребностью в ресурсах: чем больше потребность в ресурсах у конкретного варианта, тем выше должна быть его оценка. Это достаточно логичное, с практической точки зрения, требование приводит к тому, что система интегральных оценок исследуемых вариантов должна удовлетворять следующему выражению для всех i и j:

Используя свойства полученной матрицы, построим на ее основе положительно определенную обратно-симметричную матрицу ||βij||. Для этой цели преобразуем элементы исходной матрицы ||αij|| по формуле

Полученная матрица будет представлять положительно определенную обратносимметричную матрицу, обладающую следующими свойствами:

βii = 1, βij = 1/βij.

Основная трудность в представленной постановке заключается в том, что согласно условиям задачи для матриц aij и βij должны выполняться условия согласованности, что приводит к требованию соблюдения условий транзитивности, записываемых для матри-

Если требование (13) выполняется, то есть матрица, полученная в результате экспертного опроса, будет согласованной, построение интегральных оценок по проектам будет выполняться на базе очевидного тождества qi= qi, которое может быть преобразовано к следующему выражению:

15

и интегральная оценка для i-го проекта находится при помощи матрицы βij по формуле, имеющей следующий вид:

j=1

Однако степень согласованности данных экспертного опроса при практических расчетах, как правило, бывает значительно ниже представленной, что требует предварительного проведения необходимой процедуры согласования данных [5]. В этих целях может быть использована имеющее место избыточность исходных данных, проявляющаяся в

том, что составить матрицу βij согласно выражению (12) можно с использованием толь-

ко одной из ее строк, но так как имеется n строк, то и возникает ситуация переопределения задачи. Это сказывается на том, что в том случае, когда выполняются условия согла-

сованности, матрицы βij , построенные с использованием различных строк, примерно бу-

дут совпадать. А в том случае, когда условие согласованности не выполняется, такие матрицы будут существенно различаться. С целью преодоления данного затруднения, как правило, проводят сглаживание исходных данных, что чаще всего предполагает проведение операции осреднения [6] исходных данных, получаемых из различных строк матрицы.

Для этого введем вспомогательную матрицу δij , которая строится с использованием операции логарифмирования элементов матрицы βij . Таким образом получаем

Для выполнения операции сглаживания данных последовательно перебирают строки матрицы δij . Для каждой строки, используя соотношение транзитивности (17), можно

~

построить всю матрицу δij , которая в данном случае, с учетом способа ее построения, будет являться согласованной. В результате получаем набор из n матриц, на основе которых, путем осреднения элементов, строим согласованную матрицу δ~ijc :

~ ∑n δ~ijl

δijc = l=1 . (18) n

Построив таким образом согласованную сглаженную матрицу δ~ijc , переходим к исходной матрице βij , выполняя операцию потенцирования:

с exp(~c ).

βij = δij

Получив согласованную матрицу βijc , интегральные оценки для проектов, предна-

значенных для включения в производственную программу организации, можно построить с использованием выражения (15).

Итак, алгоритм получения комплексной оценки проектов предполагает выполнение следующей последовательности действий:

16

1 шаг. Проведение экспертного опроса. Результатом является набор из m матрицaij(k) , заполненных экспертами.

2 шаг. Формирование результирующей матрицы путем осреднения мнений экспер-

тов:

aij = 1 ∑m aijk .

m k=1

3 шаг. Формирование матрицы βij с использованием выражения (12).

4 шаг. Формирование матрицы δij . При этом используется формула (16).

5 шаг. Выполнение операции сглаживания данных, когда по каждой из строк исходной матрицы δij с использованием условия транзитивности (17) строятся согласован-

~

ные матрицы δij .

дим матрицу βijc :

с exp(~c ).

βij = δij

8 шаг. Интегральные (комплексные, рейтинговые) оценки проектов находятся с помощью матрицы βijc с использованием выражения

Главным преимуществом рассмотренного алгоритма является его вычислительная устойчивость и простота реализации, но к недостаткам следует отнести резкое возрастание сложности составления матрицы результатов экспертного сравнения при росте числа анализируемых вариантов.

Но в данном случае следует подчеркнуть, что все вышеперечисленные методы построения комплексных оценок основываются на том факте, что все показатели, характеризующие описываемый вариант ОТР, имеют количественное выражение. К сожалению, такая ситуация не всегда имеет место. Очень часто приходится сталкиваться с проблемой, когда часть показателей или же даже все имеют качественное описание. Например, такая категория, как риск или надежность рассматриваемого варианта, вообще-то выражается в виде количественного параметра, но его определение очень часто весьма затруднительно и опять-таки связано с проведением экспертного опроса. В этом случае гораздо проще задать такие качественные характеристики этого параметра, как «высокий риск», «умеренный риск», «низкий риск» и т.п. Но для данного случая рассмотренные выше алгоритмы получения интегральной оценки становятся уже неприемлемыми. Для решение данной проблемы самый простой способ заключается в искусственной оцифровке значений, задаваемых качественно, но это достаточно неэффективный прием. Более оправданным в данном случае будет являться разработка новых алгоритмов, позволяющих учесть и параметры, описываемые качественно. Одним из таких алгоритмов является алгоритм, основанный на понятии медианы Кемени.

Рассмотрим случай, когда осуществляется выбор проектов с целью включения в производственную программу организации. Пронумеруем все проекты. Пусть i – порядко-

вый номер проекта (i =1,n ). Определим набор параметров, которыми будет описываться

17

каждый проект (допустим таких критериев будет m). Среди критериев могут быть критерии, выражаемые как количественно, так и качественно. Затем осуществляется сбор данных, характеризующих каждый из проектов по выбранной системе критериев. Если сравнивать все проекты между собой по конкретному частному критерию, то можно сформировать вектор предпочтений, расположив все проекты в порядке привлекательности каждого проекта по данному критерию, то есть получить выражение вида

где Pi j - порядковый номер проекта, занимающего в ранжировании по j-му критерию

i-е место.

Следующий шаг алгоритма заключается в построении для каждого вектора предпочтений Pj вектора πj = (π1j , π2j , ..., π2j ) , получаемого по следующему правилу: компонента вектора πj πij представляет собой число проектов, которые согласно j-му частному критерию являются более предпочтительными, чем проект, имеющее порядковый номер i.

Таким образом, задача заключается в поиске такого ранжирования проектов, при котором наилучшим образом будут учтены предпочтения по каждому из локальных показателей. В качестве оценки качества ранжирования принимается медиана Кемени, которая определяется следующим образом:

m

π* = minπ ∑d(π, π j ),

j=1

где d(π,π j ) – расстояние между двумя вариантами ранжирования, которое

вычисляется по формуле

n

d(π,π j ) = ∑ πi − πij .

i=1

С целью нахождения медианы Кемени необходимо осуществить построение матрицы потерь R = {rkl }. Для этого рассматриваем векторы π = (π1, π2 , ..., πk ..., πn ) , в которых проект с номером k ( k {1,2,...,n}) расположен на l-м месте, где l последовательно изменяется от 1 до n (т.е. πk = l−1), тогда

Нахождение медианы Кемени сводится к решению известной задачи о назначениях, исходные данные для которой определяются формулой (19), а сама задача имеет следующую формальную постановку:

если проект с порядковым номером k является более предпочтительным, чем l-й проект; αkl = 1, если k-й и l-й проекты эквивалентны; и αkl = 0 , если k-й проект менее

предпочтителен, чем l-й;

• считаем сумму элементов каждой строки и сумму всех элементов матрицы :

• находим доли, соответствующие каждому направлению деятельности:

χk = αk′ /α′ k = 1, n.

В качестве примера рассмотрим 4 проекта, данные о которых приведены в табл. 4. Как видно из табл. 4, критерий «оценка риска» имеет качественное выражение.

В качестве критериев рассмотрим приведенные характеристики.

1. Расположим проекты по предпочтительности по каждому из локальных критериев, построив тем самым вектор предпочтения P j и соответствующие ему векторы π j. Получим:

2. Вычислим элементы матрицы потерь R={rkl}, которые определяются по следующему правилу: каковы потери в том случае, если k-й проект при ранжировании будет поставлен на l-е место. Тогда:

r11=|π1 - π 11|+|π1 - π 21|+|π1 - π 31|+|π1 - π 41|+|π1 - π 51|= =|0-3|+|0-1|+|0-3|+|0-3|+|0-3|= 13,

где π1=0 {первый проект при ранжировании будет поставлен на первое место}; r12=|π1 - π 11|+|π1 - π 21|+|π1 - π 31|+|π1 - π 41|+|π1 - π 51|=

=|1-3|+|1-1|+|1-3|+|1-3|+|1-3| =8, где π1 =1 {первый проект при ранжировании будет поставлен на второе место};

r13=|π1 - π 11|+|π1 - π 21|+|π1 - π 31|+|π1 - π 41|+|π1 - π 51|=|2-3|+|2-1|+|2-3|+|2-3|+|2-3| =5, где π1 =2 {первый проект при ранжировании будет поставлен на третье место};

r14=|3-3|+|3-1|+|3-3|+|3-3|+|3-3|=2,

где π1=3 {первый проект при ранжировании будет поставлен на четвертое место}; r21=|π2 - π 12|+|π2 - π 22|+|π2 - π 32|+|π2 - π 42|+|π2 - π 52|=

19

=|0-1|+|0-0|+|0-2|+|0-2|+|0-0| =5, где π2 =0 {вторая альтернатива в векторе π занимает первое место};

r22=|1-1|+|1-0|+|1-2|+|1-2|+|1-0|=4; r23=|2-1|+|2-0|+|2-2|+|2-2|+|2-0| =5; r24=|3-1|+|3-0|+|3-2|+|3-2|+|3-2| =5;

r31=6; r32=3; r33=4; r34=9; r41=6; r42=5; r43=6; r44=9.

3. В результате получена задача о назначениях, исходные данные которой задаются следующей матрицей:

образом наличие хотя бы одного нуля в каждом из столбцов.

k-я итерация (k ≥ 1). Определяется минимальное число линий, которыми можно вычеркнуть все нули в матрице. Если число таких линий n, то в матрице n независимых

нулей, и по преобразованной матрице C(k) выписываем результат: в матрице X* на

месте нулевых элементов матрицы C(k) стоят единицы, а на месте ненулевых элементовнули. Если этих линий меньше n, то переходим к k+1-й итерации.

k+1-я итерация. Среди всех незачеркнутых элементов матрицы ищем min cij = γ . Обозначим незачеркнутые элементы c(k)ij, зачеркнутые одной линией-

c′(k)ij, зачеркнутые двумя линиями - c′′(k)ij . Осуществим преобразование матрицы:

и переходим к k-му этапу.

Применим этом алгоритм для решения полученной задачи. В этом случае решением будет является матрица X:

4. Используя решение задачи о назначениях, построим вектор группового предпочтения P*= (2, 3, 4, 1), что означает: первый проект должен быть поставлен на второе место, второй проектна третье, третий проектна четвертое место и четвертый проектна первое место.

5. Используя вектор группового предпочтения, получим матрицу предпочтений

всех элементов матрицы составила α′ = 16.

Используя полученные данные, построим интегральные оценки каждого из проектов:

χ1 = ά1/ά = 1/16 = 0,0625, χ2 = ά2/ά = 7/16 = 0,4375, χ3 = ά3/ά = = 5/16 = 0,3125,

χ4 = ά4/ ά = 3/16 = 0,1875.

Таким образом, метод построения комплексных оценок на основе медианы Кемени оказывается пригоден для сравнения проектов, каждый из которых описывается произвольным набором критериев, включая и критерии, задаваемые качественно. При этом, что следует особо подчеркнуть, не требуется проведение экспертного опроса.

Идея о построении комплексной оценки ОТР или проекта при помощи методов, исключающих проведение экспертного опроса, является достаточно привлекательной и нашла свое воплощение в методе, базирующемся на анализе матрицы потерь.

В основу метода положена идея о том, что, выбирая один из вариантов, который является лучшим по одному из критериев, тем самым сознательно ухудшают другие критерии. Поэтому значимость критериев должна быть поставлена в зависимость от величины таких потерь.

Пусть имеется n проектов, каждый из которых характеризуется m параметрами (критериями), позволяющими оценивать степень соответствия данного проекта ожиданиям инвестора. В этом случае исходные данные задачи могут быть представлены в виде матрицы

Фактическое нахождение элементов данной матрицы достаточно очевидно: каждый проект оценивается по качественному критерию в балльной шкале (наиболее удобной является десятибалльная шкала) или же количественно.

Исходные данные должны быть пронормированы по формулам полной нормализации (2) и (3). Это дает возможность привести все показатели к одному типу (мажорируемому, то есть чем больше показатель, тем лучше вариант) и одному диапазону изменения от 0 до 1.

В итоге легко получить критерии, которым должен удовлетворять идеальный про-

21

ект, задаваемый вектором Y* , составляющие которого в общем случае будут находиться по формуле

yj = max yij . i

Учитывая, что согласно условиям нормировки самое лучшее значение, принимаемое любым показателем, равно 1, получаем, что все компоненты вектора Y* идеального проекта будут равны 1, то есть Y* = {1 1, ...., 1}.

Используя матрицу нормированных исходных данных, строим вспомогательную матрицу A = αij по следующему правилу: произвольный элемент матрицы αij есть значение i-го показателя, если выбирается проект, лучший по j-му показателю. На основе вспомогательной матрицы A = αij и вектора Y* идеального проекта, строится матрица потерь

P = pij = Y* − A = y*j − αij = 1 − αij .

Матрица потерь P = pij будет характеризовать потери при выборе конкретного

проекта.

Для построения интегральной оценки каждого проекта необходимо получить весовые коэффициенты каждого из критериев. Это можно сделать, используя идею о том, что весовые коэффициенты должны быть функциями от матрицы потерь. Для этого можно использовать соотношение вида qi Pij = qj Pji и нормировочное соотношение для весовых

n

коэффициентов ∑qj = 1.

j=1

После определения значимости показателей находим рейтинг каждого проекта, умножив значение показателя на его значимость.

Рассмотрим применение этого алгоритма на примере. Необходимо отобрать 6 проектов. Каждый проект оценивается по 5 критериям: уровень рентабельности, надежность, средняя зарплата и имеющийся задел. Данные о проектах представлены в табл. 4.