Методическое пособие 596

УДК 519.8

Воронежский государственный университет, факультет ПММ, каф. математических методов исследования операций, д. техн. н., доц, И. Л. Каширина Россия, г. Воронеж, тел.: 8-903-653-92-93 E-mail: kash.irina@mail.ru

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет асп. А. Л. Ухин Россия, г. Воронеж, тел.: 8-920-417-12-19 E-mail: ukhin81@mail.ru

И.Л. Каширина, А.Л. Ухин

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РЕСУРСНО-ВРЕМЕННОЙ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Рассматривается объектный подход к моделированию одной из ресурсновременных распределительных задач, позволяющий понизить размерность решаемой задачи и разработать для нее эффективный генетический алгоритм. Статья содержит описание всех этапов генетического алгоритма с учетом возможного использования дополнительных критериев эффективности, улучшающих качество найденного решения. В заключении приводятся результаты вычислительного эксперимента.

I.L.Kashirina, A.L.Uhin

MODELING AND ALGORITHMIZATION RESOURCE-TIME DISTRIBUTION OB-

JECTIVES

The article deals with the object approach to modeling a resource-temporal distribution of tasks, which allows to reduce the dimension of the problem to be solved and design for her effective genetic algorithm. The article contains a description of all the stages of a genetic algorithm, taking into account the possible use of additional performance criteria that will improve the quality of the solution found. In conclusion, the results of computational experiment.

Ресурсно-временные распределительные задачи характеризуются широким практическим распространением во множестве инженерных, экономических, управленческих и других приложений. Во всех случаях, когда требуется упорядочить во времени и распределить какие либо ресурсы между работами (операциями), возникает вопрос эффективного планирования такого распределения. К классу ресурсно-временных распределительных задач можно отнести любые задачи календарного планирования, включая задачи составления расписаний в школе и в ВУЗе, многие задачи управления проектами, динамические задачи о назначениях, задачи определения необходимых ресурсов, позволяющие минимизировать суммарные издержки при выполнении ограничений на директивные сроки окончания работ и т.п.

В ресурсно-временных распределительных задачах для каждой работы указана длительность ее изготовления и ресурс, который должен быть использован для ее выполнения (конкретный тип помещения, оборудования, либо конкретный исполнитель). Ресурсы, используемые в таких задачах, являются ресурсами повторного использования. Для каждого ресурса указаны интервалы времени, в которые он может быть использован

© Каширина И.Л., Ухин А.Л., 2016

93

•технологические условия,

•ресурсные условия,

•временные ограничения,

•ресурс одновременно не может использоваться несколькими работами. Требуется построить такое допустимое распределение ресурсов между работами,

для которого ресурсные и временные условия выполнены "наилучшим" образом.

Как правило, постановки ресурсно-временных распределительных задач имеют комбинаторный характер и большое число переменных. Точное решение такой задачи практически невозможно получить за приемлемое время. Поэтому современный подход к решению ресурсно-временных распределительных задач опирается на разработку численных алгоритмов, характеризующихся полиноминальной зависимостью времени счёта от размерности задачи, но имеющих точность решения, близкую к оптимальной. При этом, согласно данным многих исследований, большое значение имеет грамотная математическая формализация исходной постановки задачи, позволяющая придать исходным данным структуру, способствующую эффективной работе применяемого далее алгоритма решения.

При решении ресурсно-временных распределительных задач хорошо себя зарекомендовали генетические алгоритмы, которые являются на сегодняшний день наиболее гибкими из всех известных инструментов приближенного решения оптимизационных задач.

Одной из наиболее распространённых постановок ресурсно-временных распределительных задач является задача составления расписаний. При этом различные задачи составления расписаний могут иметь много общего. Например, в задачах составления расписания занятий в вузе и графика работ на предприятии можно провести аналогии между ресурсами: группы студентов и приборы, преподаватели и исполнители, аудитория и квалификация служащих, предметы и работодатели. Поэтому методы, разработанные для одного подкласса задач, часто можно перенести на другие.

Эти задачи могут быть сформулированы следующим образом: с помощью некоторого множества ресурсов необходимо построить допустимое расписание выполнения заданного комплекса взаимозависимых работ, чтобы оптимизировать выбранную меру эффективности.

Зачастую задача составления расписаний имеет несколько критериев эффективности. Решение многокритериальной задачи определяет необходимый набор работ, которые требуется выполнить в планируемый период. Нарушение «жестких» технологических условий не допускается, что отражено в ограничениях математической модели. При нарушении «мягких» технологических условий на систему накладываются штрафные санкции, соответственно возникает множество частных критериев оптимальности, связанных с минимизацией штрафов. В качестве единого критерия задачи составления расписания, как правило, выступает обобщенный функционал – аддитивная свертка частных критериев оптимальности, связанных с минимизацией штрафов, накладываемых на систему.

Особенно сложными являются задачи составления учебного расписания в школе и в ВУЗе. Такая ситуация возникает из-за вовлечённости в расписание большого количества людей со своими интересами и требованиями, удовлетворение которых часто приводит к конфликтным ситуациям.

Исходными данными в задаче составления расписания учебных занятий являются: множество преподавателей P; множество учебных групп K; множество учебных дисциплин (предметов) для каждой группы U; множество аудиторий A; учебный план, указывающий каждой учебной группе количество часов по каждому из изучаемых предметов.

Необходимо построить расписание, обеспечивающее проведение всех занятий без накладок относительно аудиторий и без «окон» для обучающихся, удовлетворяющее требованиям СанПиН [4], а также, по возможности, учитывающее пожелания преподавателей.

94

За основу для моделирования выбирается объектный подход [2]. По результатам вычислительных эксперименто объектная структура данных оказалась наиболее удачной для последующего решения задачи генетическим алгоритмом. В качестве основного элемента моделирования используется класс “Предмет”, объекты которого обладают следующими свойствами: название предмета, учебная группа, в которой он преподается ФИО преподавателя, номера аудиторий, в которых должен преподаваться этот предмет (либо указание, что специализированные аудитории для него отсутствуют). Все объектыпредметы нумеруются в произвольном порядке числами от 1 до n, причем количество экземпляров каждого объекта, участвующих в нумерации, равно количеству часов в неделю данного предмета в соответствующей учебной группе. Расписание представляет собой таблицу, ячейки которой также пронумерованы специальным образом. Предварительно фиксируется структура будущего расписания, то есть указываются ячейки, которые не будут участвовать в построении расписания. Если структура расписания будет жестко зафиксирована (то есть количество ячеек, участвующих в расписании, окажется в точности равно количеству учебных часов в неделю в данной группе), – это будет гарантировать отсутствие окон у обучающихся.

Далее для каждого объекта-предмета под номером k вводится в рассмотрение еще одного свойства: множество I(k) номеров строк расписания, на которых может находиться данный предмет (в соответствии с учебным планом и пожеланиями преподавателя, который его ведет). Соответственно могут быть сформированы множества K j (i) - номе-

ра предметов j-й уч. группы, которые могут быть стоять в i-й строке расписания.

строка пустая, при этом y j - вектор-расписание, соответствующее j-ой учебной группе,

р – общее количество строк в таблице-расписании.

Рассмотрим матрицу совместимости предметов S, которая вводится следующим образом: S(k, r) =0, если предмет k совместим с предметом r, S(k, r) =1 в противном

случае. Предметы являются несовместимыми, если они используют общий ресурс (преподавателя или аудиторию). Такие предметы не могут находиться в расписании на одной строке (то есть преподаваться одновременно). Несовместимость между предметами, про-

водимыми в одной учебной группе, можно не учитывать, так как в матрице yi j они на-

ходятся в одном столбце, соответственно, автоматически не могут находиться на одной строке.

Целевая функция минимизирует количество несовместимых предметов в каждой строке:

предметов, участвующих в расписании, и pq-n нулевых элементов (стоящих на фиксированных местах и не участвующих в перестроении расписания). Про этом равенство

yi j = k может выполняться только в случае, если k K j (i) .

Очевидно, что оптимальное значение функции (1) равно 0. Достижение этого предела является обязательным условием для получения приемлемого расписания. Эта функция будет использована при вычислении критерия приспособленности генетическо-

го алгоритма, который работает именно с переменными yi j . Алгоритм перестраивает матрицу Y=( yi j ). таким образом, что элементы матрицы будут менять положение только

95

в пределах своего столбца. При кроссовере часть столбцов случайным образом берется от одного родителя, часть от другого. Таким образом, потомки всегда будут представлять допустимые решения. Мутация с некоторой вероятностью меняет местами элементы одного столбца; это случайно выбранные элементы (участвующие в расписании), обмен которых также всегда дает допустимое решение. Оценка особей популяции осуществляется с помощью целевой функции (1). Так как эта функция минимизируется, то в качестве критерия отбора целесообразно использовать турнирный отбор.

Важной положительной характеристикой предлагаемого алгоритма является простое включение в рассмотрение дополнительных критериев эфффективности, улучшающих качество расписания. Сюда можно отнести:

1.Возможность не фиксировать четко границы расписания (например, указывается, что в четверг и в пятницу должно быть как минимум 4 урока, а пятый урок только в какой-то один из этих дней). Для этого добавляется фиктивный предмет, с определенными свойствами, и по окончании работы алгоритма ячейка с фиктивным предметом будет равнозначна тем, которые не участвуют в расписании.

2.Наличие спаренных уроков. Для учета спаренных уроков вводится матрица М:

mij =1, если уроки i и j должны проводиться непосредственно один за другим, mij =0 в

противном случае; и подсчитывается количество ситуаций в каждой учебной группе, не удовлетворяющих данному условию. Полученное значение прибавляется к целевой функции (1) с некоторым весовым коэффициентом.

3. Распределение нагрузки в течение учебной недели. В соответствии с требованиями СанПиН [4] каждый учебный предмет имеет свою оценку трудности (например, математика – 8 баллов, физическая культура -1). При этом наибольшая учебная нагрузка (в баллах) должна приходиться на середину недели (среду и четверг), а последний учебный день (субботу) нагрузка должна быть наименьшей. Штрафы за нарушение указанных условий также могут быть добавлены в целевую функцию (1).

Проведенные вычислительные эксперименты показывают эффективность предлагаемого генетического алгоритма построения расписания. Для 100 случайным образом сгенерированных тестовых задач (с различными учебными планами и размерностью 9001000 переменных) после настройки параметров алгоритма было найдено оптимальное решение с нулевым значение целевой функции

Библиографический список

1.Каширина, И.Л. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях

при нечетких коэффициентах целевой функции/ И.Л. Каширина, Б.А. Семенов// Вестник Воронежского государств. университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии, 2006. - № 1.- С. 102-106.

2.Каширина, И.Л. Генетический алгоритм решения квадратичной задачи о назначениях специального вида/ И.Л. Каширина// Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2003.- № 1.- С. 128-131

3.Каширина, И.Л. Эволюционное моделирование: учебное пособие/ И.Л. Каширина. - Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2011. - 60 с.

4.Санитарно-эпидемиологические требования к условиям и организации обучения в общеобразовательных заведениях. Приложение №3.

5.(СанПиН 2.4.2.2821-10)

6.Пайкерс, В. Г. Методика составления расписания в образовательном учреждении/ В. Г. Пайкерс – М.: АРКТИ, 2001. - 112 с.

7.Черноморов, Г.А. Теория принятия решений: Учебное пособие/ Г.А. Черноморов; ЮжноРоссийский гос. техн. ун-т. Новочеркасск: Редакция журнала «Известия вузов. Электромеханика», 2002 - 276 с.

96

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ СОЦИАЛЬНО-

ЭКОНОМИЧЕСКИМИ

СИСТЕМАМИ

97

УДК 519.81

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет д. техн. н., проф. каф. «Управление строительством» Ю. В. Бондаренко, асп. каф. «Управление строительством» В. Л. Козлов, асп. каф. «Управление строительством» А. Н. Чикомазов, Россия, г.Воронеж, тел.:276-40-07

Ю.В. Бондаренко, В.Л. Козлов, А.Н. Чикомазов

К ВОПРОСУ О МОТИВАЦИИ ХОЗЯЙСТВУЮЩИХ СУБЪЕКТОВ К РЕШЕНИЮ СОЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ РЕГИОНА: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ И ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ

Рассматривается проблема мотивации администрацией региона функционирующих на его территории хозяйствующих субъектов к решению актуальных для региона социально-экономических задач. Предлагается алгоритм формирования величины максимальной мотивирующей ставки налога на прибыль, позволяющей предприятию обеспечить достижения таких результатов экономической деятельности, которые достаточны для приемлемого уровня социально-экономического развития региона. Особенностью предлагаемого подхода является использование математической модели формирования оптимальной траектории развития хозяйствующего субъекта, учитывающей особенности функционирования современного предприятия.

Yu.V. Bondarenko, V. L. Kozlov, A.N. Chikomazov

TO THE QUESTION OF MOTIVATION OF ECONOMIC ENTITIES TO THE SOLUTION OF SOCIAL PROBLEMS OF THE REGION: THEORETICAL ASPECTS AND PRACTICAL CALCULATIONS

The motivation problem by administration of the region of the economic entities functioning in its territory to the solution of social and economic tasks, actual for the region, is considered. The algorithm of formation of size of the maximum motivating rate of income tax allowing the enterprise to provide achievements of such results of economic activity which are sufficient for the acceptable level of social and economic development of the region is offered. Feature of the offered approach is use of mathematical model of formation of the optimum trajectory of development of an economic entity considering features of functioning of the modern enterprise.

Введение

Современная российская политика, направленная на формирование социального государства, обозначила потребности поиска новых форм, методов и механизмов управления, направленных на преодоление социальных проблем. Ее эффективная реализация подразумевает смещение управления социально-экономическими преобразованиями с федерального уровня на уровень каждого региона, и потому обеспечение устойчиво высокого качества и уровня жизни населения является важнейшей задачей региональных органов власти.

Как показал проведенный нами анализ, достижение достойного уровня и качества жизни в большинстве регионов сопряжено с преодолением целого ряда социальных проблем, среди которых высокий уровень безработицы и бедности, низкие номинальные и реальные доходы населения, достаточно низкий коэффициент рождаемости и т.п. Поскольку значительная часть социальных проблем вызвана экономическими причинами, то сложность достижения поставленной цели в регионах обусловлена не только ограниченным бюджетом социальных программ, но и общими диспропорциями функционирования рыночной экономики: устойчиво наблюдается недостаточное внимание хозяйствующих субъектов к социальным проблемам региона нацеленность бизнеса преимущественно на получение сугубо экономического эффекта. Вместе с тем, решение социальных задач, достижение приемлемых значений социальных показателей развития региона невозможно без обес-

98

печения на его предприятиях достойного уровня среднемесячной заработной платы, увеличения числа высокопроизводительных рабочих мест, проведения грамотной внутрифирменной политики, направленной на снижение затрат и предотвращение значительного роста цен на отечественную продукцию. В этих условиях многократно возрастает значимость региональных органов власти и, соответственно, их возможности целенаправленного воздействия (регулирования) на хозяйствующие субъекты региона (их руководства) в целях мотивации последних на достижение таких результатов экономической деятельности, которые необходимы для обеспечения требуемого уровня социально-экономического развития региона.

Вопросы управления социально-экономической системой региона, в общем, и государственного регулирования предприятий экономической системы, в частности, неоднократно становились предметом обсуждения в научной литературе ([1]-[11]). Вместе с тем проблема разработки инновационных подходов к мотивации хозяйствующих субъектов региона к решению значимых для региона социальных задач, учитывающих современные особенности функционирования предприятий, является актуальной.

Предлагаемый нами подход к формированию мотивирующего воздействия базируется на привлечении математического инструментария, а в его основу положена динамическая модель формирования оптимальной траектории развития хозяйствующего субъекта, позволяющая на основе данных статистической отчетности предприятия рассчитать оптимальную траекторию развития хозяйствующего субъекта с учетом различного вида регулирующих воздействий и в их отсутствии.

Анализируя возможности и целесообразность мотивирующего воздействия, в настоящей статье мы акцентировали внимание на актуальных социальных проблемах региона, связанных с недостаточно высокими значениями показателей номинальной и реальной заработной платы и высоким уровнем безработицы. Регулирующее воздействие администрации региона в этом случае должно мотивировать руководство хозяйствующих субъектов к повышению средней заработной платы сотрудников и созданию новых рабочих мест.

1. Постановка задачи

Рассмотрим конкретный регион, на территории которого осуществляют экономическую деятельность хозяйствующие субъекты (ХС). Зафиксируем некоторый момент времени (год) t = 0, а также дискретный временной интервал 1,K,Т , такт которого составляет

один год.

Будем считать, что социально-экономическое состояние региона, качество жизни его населения оценивается набором показателей (индикаторов), среди которых - уровень безработицы в среднем в год; уровень трудоустройства граждан, состоящих на учете в службе занятости; среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников; среднемесячные реальные доходы населения; численность населения с доходом, ниже прожиточного минимума (уровень бедности) и т.п.

В практике управления администрацией региона для каждого показателя социальноэкономического развития определены целевые («идеальные») значения, достижение которых является показателем успешности развития региона. Так, например, в Воронежской области для показателя «уровень безработицы в среднем в год» плановое значение для 2015 года составляет 4,68 %, для 2016 года – 4, 67 %, показатель «рост реальной заработной платы относительно 2011 года» по плану в 2015 году должен составить 122,6 %, а в 2016 году 128,7 %.

Как показали проведенные нами исследования [9], значения большинства показателей социально-экономического развития региона зависят от экономических показателей деятельности хозяйствующих субъектов. Например, среднемесячная номинальная заработная плата на предприятиях является составляющей аналогичного показателя по региону, количество занятых и вакантных рабочих мест влияют на показатели занятости и безработицы и т.п.

Рассмотрим одно из предприятий региона, оказывающее наиболее существенное влияние на его социально-экономическое развитие. Состояние и результативность деятель-

99

ности любого предприятия, и данного в том числе, в каждый момент времени t оценивается значениями показателей экономической деятельности. Среди таких показателей – прибыль, объем выпускаемой продукции, размер среднемесячной заработной платы, численность трудовых ресурсов и т.п.

Будем полагать, что администрацией региона в целях достижения «идеальных» показателей социально-экономического развития для каждого момента времени рассматриваемого дискретного временного интервала 1,K,Т определены «идеальные» для данного предприятия значения показателей экономической деятельности – среднемесячной заработ-

зовать как мотивирующие руководство хозяйствующего субъекта к достижению «идеальных» значений выбранных показателей, выделим предоставление по результатам деятельности налоговых льгот в форме допустимого снижения региональной компоненты ставки налога на прибыль.

При этом будем считать, что мотивирующее воздействие должно обладать следующими свойствами:

1)обеспечить с минимальными затратами в каждый момент времени t достижение установленных администрацией «идеальных» показателей экономической деятельности, необходимых для достижения требуемого уровня социального развития региона;

2) обеспечить экономическую мотивацию хозяйствующего субъекта – прирост объема выпускаемой продукции и прибыли;

Формирование администрацией региона регулирующего воздействия, обладающего перечисленными выше свойствами, предполагает последовательное решение целого ряда задач, основными среди которых являются:

1.Анализ текущего состояния и прогнозирование развития хозяйствующих субъектов на период T последующих лет.

2.Принятие решение о необходимости мотивации конкретного предприятия.

3. Определение параметров мотивирующего воздействия, обладающего перечисленными выше свойствами.

Поддержку реализации каждой из перечисленных выше задач мы предлагаем осуществлять на основе математической модели формирования оптимальной траектории

развития хозяйствующего субъекта.

Полагая, что руководство предприятия стремится максимизировать суммарную за период прибыль предприятия, модель позволяет на промежутке времени 1,K,T опреде-

лить оптимальный выпуск продукции, оптимальное распределение прибыли и доступных финансовых средств на увеличение численности трудовых ресурсов и основных фондов.

2. Модель формирования оптимальной траектории развития хозяйствующего субъекта

Будем полагать, что в каждый момент времени t рассматриваемого временного интервала 1,K,T хозяйствующий субъект (предприятие) выпускает продукцию в объеме yt

и величина выпуска измеряется в денежных единицах.

Производство продукции связано с затратами в каждый момент времени t трудовых ресурсов в объеме Lt и капитала (основных фондов) в размере Kt . При этом трудовые

ресурсы будем рассматривать как численность работников предприятия в количественном выражении.

Собственные средства предприятия (Φtc ) и средства, поступающие из внешней сре-

ды ( Φtв ), к которым относятся инвестиции, ассигнования из консолидированных бюджетов

различных уровней и внебюджетных фондов, а также заемные средства, формируют общий финансовый фонд, средства которого идут на развитие и рост предприятия:

Будем предполагать, что финансовые средства распределяются на увеличение основного капитала и создание новых рабочих мест в долях δtc и υtc для собственных средств и в долях δtв и υtв для средств из внешних источников:

идущих на расширение основного капитала и увеличение количества работников соответственно.

Динамику изменения собственных финансовых средств опишем следующими соотношениями:

где π t−1 - прибыль хозяйствующего субъекта без учета налогообложения, η - действующая ставка налога на прибыль;

υΦ

Всоотношении (7) величина ∆Lt = tω' t описывает количество новых рабочих

мест, созданных в период t, где ω'- затраты на создание одного рабочего места. Полагаем, что возможности регионального рынка труда ограничены, тогда

Выпуск предприятия в каждый момент времени t ограничен сверху производствен- ными возможностями, которые математически запишем в форме зависимости максимального объема выпускаемой продукции от имеющихся в наличии факторов производства. Такую

продукции, ρ - доля отчислений с фонда оплаты труда.

Дополнительно считаем, что величина прибыли должна быть не меньше некоторого заданного значения, а величина выпуска ограничена потребностями рынка:

Начальные условия задачи имеют вид:

Полагаем, что, определяя пути экономического развития, руководство предприятия преследует экономические цели – максимизацию суммарной за период прибыли с учетом налогообложения:

t=1

Задача, заключающаяся в определении такого распределения доступных финансовых средств на увеличение факторов производства, которое обеспечивает максимальное значение суммарной прибыли предприятия (13) с учетом ограничений (1)-(12), представляет со-

бой модель формирования оптимальной траектории развития хозяйствующего субъ-

екта.

Модель (1)-(13) представляет собой оптимизационную задачу, которая в общем случае имеет нелинейную систему ограничений. В качестве метода ее решения может быть выбран метод Соболя [12]. Полученные на основе решения оптимальные значения пере-

тия предприятия. Данная траектория формируется как результат оптимального, максимизирующего прибыль распределения руководством хозяйствующего субъекта доступных соб-

ственных и привлекаемых финансовых средств Φt на увеличение каждого фактора произ-

водства в долях (δtс )* , (δtв )* , (υtс )* , (υtв )* , t =1,K,T .

Представленная модель формирования оптимальной траектории развития хозяйствующего субъекта, рассчитанная на основе данных ежегодной статистической отчетности конкретного предприятия, позволяет решить первую из обозначенных выше задач - проанализировать динамику основных показателей экономической деятельности

{yt*,L*t ,Kt*,πt*,ωt*}t=1,K,T и построить прогноз развития ХС на период T последующих лет.

При этом если для рассматриваемого хозяйствующего субъекта выполнены соотно-

министрации региона хозяйствующему субъекту не требуется. В противном случае для достижения предприятием «идеальных» значений показателей численности трудовых ресурсов

тивирующего воздействия.

Для решения третьей из поставленных задач - определения параметров мотивирующих воздействий и последующей оценки эффективности каждого из них - разработан алгоритм определения размера мотивирующей ставки налога на прибыль.

102