Методическое пособие 596

3

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УПРАВЛЕНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫМИ ПРОЕКТАМИ

Х.Г.Ли, А.П. Шутченко, А.Е. Объедков

Аспекты поиска путей финансового оздоровления строительной организации……………………………………………………………………. 168

5

УПРАВЛЕНИЕ СЛОЖНЫМИ СОЦИАЛЬНО ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

6

УДК 658.3

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Д-р. техн.н., проф. каф. «Управление строительством» С. А. Баркалов Д. техн.н., проф. каф. «Управление строительством» П. Н. Курочка Россия, г. Воронеж, тел.:276-40-07

С.А. Баркалов, П.Н. Курочка

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Рассматриваются способы построения комплексных, интегральных, рейтинговых оценок организационно-технологических решений, когда каждый вариант характеризуется конечным набором параметров. Показано, что основным способом построения таких оценок являются аддитивные и мультипликативные модели, использование которых предполагает предварительное проведение экспертного опроса. Рассмотрены модели, позволяющие ослабить требования к организации экспертного опроса или же отказаться от него совсем. Приведено построение комплексной оценки при качественных критериях, характеризующих оцениваемый объект.

S.A. Barkalov, P.N. Kurochka

METHODS OF CONSTRUCTION OF INTEGRAL ASSESSMENT

ORGANZATIONAL AND TECHNICAL SOLUTIONS

The methods of construction of complex, integrated, ratings of organizational and technological solutions, as each version is characterized by a finite set of parameters. It is shown that the main way to build such estimates are additive and multiplicative model, the use of which involves conducting a preliminary expert survey. The models allow to relax the expert survey organization, or abandon it altogether. Powered building integrated assessment with qualitative criteria characterizing estimated object.

Осуществление процедуры оценивания вариантов организационно– технологических решений (ОТР), принимаемых при возведении любого объекта, служит приоритетной компонентой в наборе задач, возникающих при принятии решений в строительном производстве. Важность таких задач определяется тем, что с учетом современных экономических реалий опора только на личный профессиональный опыт лица, принимающего решения, оказывается совершенно несостоятельной, что объясняется высокой степенью неопределенности, возникающей на этапе организационно-технологического проектирования, когда неудачно принятое решение может способствовать возникновению дополнительных, ничем не оправданных затрат.

Следовательно, возникает задача формирования механизма оценки принимаемых вариантов организационно-технологических решений, позволяющих осуществить возведение объекта в наиболее оптимальных условиях. Причем в качестве критериев оценки принимаются производственные показатели, характеризующие особенности выполняемого проекта: продолжительность реализации проекта, его стоимость, обеспеченность ресурсами. Основой для выполнения процедуры оценивания будут являться сведения о существующем положении и современных достижениях в области строительного производства. Данной информацией, как правило, располагают специалисты, отвечающие за различные аспекты проведения работ (конструктор, архитектор, экономист, технолог и т.д.). В дальнейшем требуется задаться алгоритмом полстроения комплексной оценки ОТР и

© Баркалов С.А., Курочка П.Н., 2016

7

определить процедуру формирования управленческого решения на базе известной информации.

Осуществить построение интегральной оценки можно различными способами, наиболее известный из которых – это нахождение среднего арифметического или среднегеометрического значения по первичным показателям. Такой способ предполагает равнозначность всех исходных параметров, то есть вклад каждого из критериев в комплексную оценку, характеризующую качество вариантов ОТР, одинаков. Чаще всего такое положение не соответствует действительности, что и является причиной относительно редкого его использования на практике.

Современные методы построения рейтинговой оценки основаны на использовании средневзвешанной суммы, для вычисления которой могут применяться различные способы. Самым простым является получение интегральной оценки исходя из выражения

i=1

где z - интегральная оценка; qi - весовой коэффициент при i-м показателе, определяемый, как правило, экспертным путем; xi - значение i-го показателя; при этом в процессе моде-

лирования используются нормированные значения показателей.

Выполнение нормировки показателей может осуществляться различными способами, например, находится величина, характеризующая степень влияния данного показателя на всю оценку, то есть используется выражение вида

Но наиболее часто применяется формула полной нормализации. В этом случае нормированное значения показателя, ориентированного на максимальное значение (то есть чем выше значение данного показателя, тем лучше) может быть получено по следующей формуле:

а для критерия, ориентированного на минимальное значение (то есть чем меньше значение данного показателя, тем лучше),

Как уже говорилось, значения весовых коэффициентов в формуле (1) определяются экспертным путем. Причем экспертам предлагается оценить важность каждого из показателей попарно, то есть эксперт должен в i-й строке и j-м столбце матрицы указать, во сколько раз, по его мнению, i-ый показатель важнее j-го. Таким образом в результате проведения экспертного опроса строится матрица парных сравнений, удовлетворяющая следующим свойствам: все ее элементы будут положительными и удовлетворять следующему соотношению для любых значений i и j:

aij = 1 . aji

Матрица, элементы которой удовлетворяют данному соотношению, получила название обратно-симметричной. Из этого следует, что

aii = 1.

Если эксперт при составлении матрицы экспертного опроса нигде не противоречил

8

своим предыдущим высказыванием, то рассматриваемая матрица результатов экспертного опроса А будет согласованной.

Согласованной называется матрица, удовлетворяющая условиям транзитивности, то есть для любых i, j и k выполняется соотношение вида

Таким образом, идеальная матрица парных сравнений обратно-симмитрична и согласованна.

Согласованность матрицы парных сравнений можно определить, используя следующую теорему.

ТЕОРЕМА. Положительная обратно-симметричная матрица будет являться согласованной в том случае, когда наибольшее собственное значение матрицы равно ее порядку, то есть

λmax = n .

Таким образом, по результатам экспертного опроса получена матрица парных сравнений, являющаяся положительной и обратно-симметричной. Но каким-то образом необходимо осуществить переход от матрицы парных сравнений к значениям весовых коэффициентов. Оказывается, что для матрицы парных сравнений, удовлетворяющих условиям согласованности, связь между вектором весовых коэффициентов и самой матрицей будет задаваться следующей системой уравнений:

Aq = nq ,

где A – матрица парных сравнений, полученная в результате экспертного опроса; q – вектор-столбец весовых коэффициентов, который необходимо определить.

Таким образом, задача нахождения весовых коэффициентов по матрице парных сравнений сводится к решению задачи на собственные значения для положительной, обратно-симметричной матрицы.

Алгоритмы нахождения собственных значений для произвольной матрицы достаточно сложны и трудоемки, но в рассматриваемом случае возможно применение простых и эффективных алгоритмов, которые можно использовать только в том случае, если рассматриваемая матрица будет согласованной или достаточно близка к ней. Таким образом, возникает задача оценки степени согласованности матрицы. Это оценивается с помощью индекса согласованности.

Вполне понятно, что малые изменения элементов положительной обратносимметричной согласованной матрицы А вызывают также незначительное изменение максимального собственного значения λmах.

Допустим, что А - произвольная положительная обратно-симметричная матрица, а λmах - ее максимальное собственное значение.

Тогда справедливо равенство λmax = n , и матрица А будет согласованная. В том

же случае, когда

λmax ≠ n

(всегда λmах > п), в качестве степени согласованности положительной обратносимметричной матрицы А можно принять отношение

λmax − n ,

n −1

которое называется индексом согласованности матрицы А.

Степень согласованности, как правило, считается удовлетворительной, если индекс согласованности не превышает 0,1.

Таким образом, возникает проблема нахождения максимального собственного значения λmах положительной обратно-симметричной матрицы.

В общей постановке алгоритмы решения такой задачи хорошо известны, но весьма трудоемки. Более простыми являются приближенные способы решения. Но, учитывая, что

9

при формировании организационно-технологических решений высокая точность не требуется, воспользуемся имеющимися приближенными алгоритмами. Наиболее применимым является алгоритм вычисления собственного вектора, а затем по найденному собственному вектору вычисляется приближенное собственное значение.

Опишем алгоритм нахождения приближенного собственного вектора для обратносимметричной матрицы [6]:

1)вычисляется сумма по каждому столбцу матрицы;

2)элементы каждого столбца делятся на их сумму,

3)вычисляется сумма элементов каждой строки полученной матрицы;

4)полученные результаты записываются в столбец, и каждый из элементов этого столбца делится на порядок исходной матрицы п.

Следует отметить, что описанные способы вычисления приближенного собственного столбца матрицы эффективны лишь для обратно-симметричных матриц, достаточно близких к согласованным.

Рассмотрим пример построения интегральной оценки по аддитивному методу для случая оценки вариантов календарного плана для реализации строительного проекта. Соответствующие данные представлены в табл. 1.

Осуществим вычисление приближенного собственного вектора данной обратносимметричной матрицы 5-го порядка.

1 шаг. Находим сумму элементов каждого столбца матрицы парных сравнений. В результате получаем по столбцам

2, 018; 3,643; 8,75; 16,5; 22.

2 шаг. Разделим элементы каждого столбца на сумму. В результате получаем следующую матрицу

3 шаг. Находим сумму элементов каждой строки в полученной матрице. Данные

10

приведены в предыдущей таблице в последнем столбце.

4 шаг. Разделим каждый из элементов столбца, содержащего сумму, по строкам, на порядок исходной матрицы п, то есть на 5. В итоге получаем

0,46

0,31

0,13

0,07

0,04

Таким образом, приближенный собственный вектор вычислен. Теперь необходимо вычислить максимальное собственное значение для рассматриваемой матрицы. Эта операция выполняется с помощью следующего алгоритма:

1. Умножить матрицу А на найденный собственный вектор: Ах = у,

или в развернутом виде

2. Разделить элементы полученного столбца у на соответствующие элементы столбца х, то есть вычислить отношения вида

Если все вычисленные отношения будут равны между собой, то есть будет выполняться следующее выражение:

то их общее значение и есть максимальное собственное значение матрицы А, отвечающее данному собственному вектору х.

Если же хотя бы одно из равенств (6) нарушается, то вектор х уже не будет являться собственным вектором матрицы А. Именно данный вариант и рассмотрим.

В качестве приближения к искомому максимальному собственному значению выберем среднее арифметическое отношений (5), тогда можно записать:

Для отыскания приближенного значения наибольшего собственного числа заданной 5 х 5 матрицы используем приближенное значение собственного вектора, найденное выше.

Умножим исходную матрицу парных сравнений на найденный собственный век-

тор:

В результате получим вектор-столбец, компоненты которого необходимо разделить на соответсвующие компоненты собственного вектора. Тогда получим

5,17; 5,16; 5,05; 5,04; 5,03. Находим их среднее арифметическое значение:

Следовательно, индекс согласованности составляет примерно 2 %, а это означает, что матрица парных сравнений, полученная в результате экспертного опроса, будет иметь приемлемый уровень согласованности.

Полученный в результате решения собственный вектор может служить в качестве набора весовых коэффициентов, позволяющих, используя соотношение (1), получить интегральные оценки организационно-технологических решений, принимаемых на стадии реализации строительного проекта. Таким образом, основываясь на данных, задаваемых исходной матрицей парных сравнений, можно утверждать, что среди используемых критериев наивысший приоритет имеет критерий стоимости С (46 %), затем критерии продолжительности Т (31 %), коэффициент эффективности Кэф (12 %), коэффициент совмещенности Ксв (7 %) и коэффициент критичности Ккр(4 %).

В данном случае, чем выше значение интегральной оценки, тем лучше анализируемое организационно–технологическое решение.

Помимо данного подхода, используются и другие, менее распространенные модели [3]. Достаточно широко может быть использован способ получения интегральной оценки на базе так называемого метода расстояний [2]. В этом случае интегральная оценка получается из соотношения вида

n

R = ∑ qi (1− ai )2 .

i=1

Вэтой модели, чем меньше рейтинговая оценка, тем лучше вариант организацион- но–технологического решения.

Рассмотренный класс так называемых аддитивных моделей может дать несколько одностороннюю завышенную оценку за счет значительного превышения значения одного из показателей над всеми остальными. Этот недостаток в какой-то степени призван ком-

пенсировать весовые коэффициенты qi , но их выбор, как правило, достаточно субъективен

и отражает только мнение исследователя или группы экспертов по данному вопросу. Данный недостаток можно компенсировать, используя мультипликативные модели,

в которых рассматривается произведение показателей. Наиболее характерной моделью этого класса является модель «трудности», в которой рассматривается показатель трудности достижения поставленной цели, под которой понимается трудность достижения «хо-

тигнутое значение показателя. Очевидно, что к рассмотрению принимаются только те организационно – технологические решения, у которых xi ≥ xi* .

12