Методическое пособие 544

мени. В одномерном явлении соответвенные граничные условия ставятся на граничных поверхностях слоя x 0 и x l.

Возможно несколько вариантов постановки граничных услови применительно к адачам теплопроводности.

1. Граничное условие первого типа при условии, что в любой точке поверхности тела известна температура

2. Граничное условие второго типа при условии, что на поверхности S тела известен тепловой поток qn q n, здесь

Таким образом, граничное условие второго типа интерпери-

3. Граничное условие третьего типа моделирует тепловой режим на поверхности тела, отвечающий конвективному теплообмену согласно закону Ньютона с окружающей внеш-

что плотность теплового потока на границе тела прямо про-

71

порциональна разности температур тела и окружающей среды, что означает

ся в зависимости от характеристик среды и, вообще говоря,

имеет одно и тоже значение в любой точке поверхности тела.

Замечание. Граничные условия первого, второго и третьего типа представляется возможным произвольно записать в форме общего граничного условия

ная на поверхности тела зависимость. Задавая в соотношении

а P, t hu* P, t , получим условие третьего типа 110 .

72

4. Нелинейное граничное условие. В слчае, когда энергия с поверхности тела уносится, главным образом, вследствие излучения, то согласно закону Стефана-Больцмана

(нелинейно), зависит от температуры.

5. Математические модели температурных полей в многослойных телах и оболочках на поверхности соприкосновения двух тел имеют граничные условия сопряжения, иначе говоря, граничные условия четвѐртого типа.

В случае идеального теплового соприкосновения данные условия

отражают равенство температур и тепловых потоков на поверхности соприкосновения .

В случае неидеального теплового соприкосновения с

вения тел присутствует равенство тепловых потоков, однако образуется прямо пропорциональное им приращение температур тел, что записывается в виде

Метод Фурье для уравнения теплопроводности. Однородное уравнение.

73

тонкий однородный стержень с теплоизолированной от внешней среды боковой поверхностью. Пусть на концах данного стержня фиксируется одинаковая температура: на левом температура A, на правом – температура B. Начальное рас-

пределение температуры в стержне выражается зависимостью x . Определим температуру в точке x в момент времени t 0, считая, что внутри стержня нет источников и по-

глотителей тепла.

Данная задача заключается в решении дифференциального уравнения

Произведѐм подстановку с условием выполнения для искомой функции однородных граничных данных. Конкрет-

ления переменных идентично решению задачи о колебаниях струны, зафиксированной на концах.

Конкретно, сперва будем искать нетривиальные решения уравнения 118 , удовлетворяющие граничным данным

что равносильно

Таким образом, получим задачу о собственных значениях:

уже изученной при рассмотрении колебаний однородной ограниченной струны. Нами было получено, что лишь при значениях , равных

существуют нетривиальные линейно независимые решения

с такими же граничными данными согласно принципа наложения является ряд

Найдѐм коэффициент An при условии удовлетворения начального условия 119 . Считая t 0, будем иметь

76

ратурных волн. Амплитуда температурных волн сокращаается с течением времени, так как она содержит множитель

Пример 1. Решить однородное уравнение теплопроводности на отрезке:

77

4. Таким образом, вспомогательные решения заданного уравнения представляются в форме

5. Решение исходного уравнения теплопроводности ищем в виде

Эта функция является решением исходного уравнения и удовлетворяет исходным граничным условиям при любых An ,

при которых ряд для функции u x, t сходится.

влетворяет исходному начальному условию, которое запишем в виде:

Подставляя эти коэффициенты в формулу для решения исходного уравнения теплопроводности из пункта 5, получаем:

Пример 2. Решить однородное уравнение теплопроводности на отрезке:

Решение.

1. Находим вспомогательные решения исходного урав-